文摘

运用临界点理论中的极小极大方法,我们获得的存在周期解与线性非线性二阶常微分方程。

1。介绍和主要结果

考虑二阶常微分系统 在哪里,,是一个非负整数;和满足以下假设: 是可测量的对于每一个和连续可微的为,存在和这样 对所有和,在那里是所有非负实数集。

在的情况下,周期解的存在性问题(1)获得的文章(1- - - - - -17)有许多可解性条件,如强制类型潜在条件(见[1]),凸类型潜在条件(见[2]),周期类型潜在条件(见[3),甚至类型潜在条件(见[4]),Rabinowitz subquadratic潜在条件的意义(见[5),有界非线性条件(见[6(见[]),次加性条件7次线性非线性条件(见[]),9,15]),线性非线性条件(见[13,14,16,17])。

在的情况下、延拓和威廉6]证明问题(1)至少有一个解决方案有界非线性条件下;也就是说,对于一些,每个,当 或

次线性非线性条件下,存在和,这样 为和。,汉族18]证明了问题(1当)至少有一个解决方案 或

最近,当、赵、吴(13,14和孟和唐16,17]也证明解的存在问题(1)线性非线性条件下;也就是说,存在这样

在这篇文章中,出于上述结果,我们调查周期解的存在性问题(1)的情况。

让是一个定义的希尔伯特空间 与规范 为。

让 然后([6])。对所有,我们有,在那里 ,,。很容易获得

此外,我们有对于一些和所有(见[6,命题1.3])。

我们的主要结果是下面的定理。

定理1。假设(一)和(8),
在哪里是一个参数和满足;
然后问题(1)至少有一个解决方案。

定理2。假设(一),(8)和(我)举行
然后问题(1)至少有一个解决方案。

备注3。(我)值得注意的是,在的情况下,一个解决方案是通过唐(9和汉15次线性非线性条件下。

(2)值得注意的是,亚线性非线性条件(15,18)是不同的9]。

2。主要结果的证明

让 对于任何。它遵循的假设的功能在是连续可微的;此外我们获得 对于任何。众所周知,问题的解决方案(1)对应的临界点(见[6])。

为了方便起见,我们表示

定理的证明1。首先,我们断言功能满足(PS)条件。让是一个序列这样是有界的,作为。的证明(6命题4.1,我们只需要证明是有界的。一方面,我们有
所以 在哪里。
自(14),所以。然后 在哪里。
另一方面,我们有
所以 在哪里。
然后 在哪里。
从(22)和(25),我们有 在哪里。
由(8),(26),我们得到 它遵循从(26),(27),的有界性那
上面的不平等和(15)暗示是有界的。因此是有界的26)。
其次,我们断言 作为在,这意味着; 作为在,对所有;也就是说,;然后由(8)和(12)我们有
为在当且仅当或。因此,通过,(14)和(15),我们得到作为在。
让;然后由(8)和(13),我们有
因此,通过(14),是有界的从下面。
因此,Rabinowitz的鞍点定理(见[19定理4.6]),我们获得的问题(1)至少有一个解决方案。

定理的证明2。定理的证明2类似于定理的证明吗1,所以我们忽略它。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢张教授s .问:他的指导下,贝聿铭于努力工作,编辑和匿名裁判,征求他们的意见和建议。本文支持部分由NSF和重庆邮电大学博士启动基金。