文摘
与克尔非线性薛定谔方程的动态法研究了非线性扰动与两届。通过使用Melnikov方法,混沌运动周期扰动下的阈值。此外我们还研究的参数的影响通过使用数值模拟系统的动力学行为。数值模拟,包括固定的分岔图点,混沌系统在三维空间的阈值图,最大李雅普诺夫指数,和阶段肖像,也策划说明理论分析和揭露的复杂动力学行为。特别是,我们观察到系统可以把混沌区周期运动通过调整控制器e,振幅和频率外部强迫的,可以被认为是控制策略,当frequenciesy和方法的最大频率干扰,系统动荡加剧和控制强度增加。
1。介绍
光纤信号传输有着非常广泛的应用在现实生活中,使我们的生活更方便和快捷。这是众所周知的。光纤信号在现实生活中起着重要的作用。光孤波强烈的当前研究的主题,这是出于他们的重要应用领域的高容量光纤通信和全光开关由于其传播的能力在很长的距离衰减和改变他们的形状1]。
众所周知,光纤信号在现实生活中起着重要的作用。是光学孤子传播保持形状、幅度和速度恒定的光脉冲在很长一段时间。使用光学孤子可以实现ultra-long-distance,大容量光通信。
光纤信号使信号传播不能存在于纯粹的环境。它总是受到外部环境的干扰。混乱,似乎是不可避免的与外部扰动和被观察到在许多实际应用,如工程、生物学、工业、和生产。除此之外,许多其他系统与外部扰动被广泛利用解析方法和数值模拟研究[2- - - - - -5]。
然而,几乎没有受到外部干扰模型的光信号。事实上,光纤信号传播会受到很多干扰的过程中真正的传播。此外,非线性系统的动态特性在双频干涉将更丰富和更复杂。因此,我们认为有必要进行详细讨论系统(1)为了指出这一系列参数对应于特定的行为。因此,双频干扰更有现实意义。
著名的光纤模型之一是外部周期性扰动的非线性薛定谔方程非线性克尔法律[6] 在哪里三阶色散和吗和非线性色散。在这里()是真实的参数和是一个积极的常数,,新变量,()表示参数激励的振幅和频率,分别。在这里和()是真实的参数。由于这个原因,,()。
方程(1)描述非线性光纤中光孤子的传播展示法律克尔非线性。方程(1)有一个重要的应用在各个领域,如半导体材料、光纤通信、等离子体物理、流体和固体力学6- - - - - -12),和许多其他应用程序,可以很容易地描述的模型,或者类似的。方程(1)获得了更多的关注6- - - - - -10,13,14]。例如,通过第一积分法,Taghizadeh等人获得的新精确解与克尔法非线性摄动NLSE [6]。•威金斯(12使用(nls)扩张方法构造行波解。Masemola et al。9)获得新的解决方案的非线性偏微分方程直接代数方法。苗族和张11]构造摄动非线性薛定谔方程的精确解与克尔法由最简单的非线性方程的方法。
的研究与法律克尔非线性摄动非线性薛定谔方程的基本甚至实际利益。杰出的特征与法律克尔非线性摄动非线性薛定谔方程有一个内容丰富的非线性特性适合各种动力状态的详细调查。
在本文中,我们将研究的混乱行为和控制(1在双频扰动。我们研究分岔和动态行为取决于参数通过分岔和混沌理论在15- - - - - -21)和数值模拟。通过应用Melnikov方法(15,20.,21),我们证明标准存在的周期性扰动下的混乱。我们的利益有以下两点。(我)如果系统出现混乱下双频干涉?如果出现混乱,如何设计一个控制器来抑制由于混乱复杂的非线性项的系统?相比杜芬系统[4,5,12),很容易看到,没有在我们系统阻尼。一旦摄动与外部强迫,系统很容易倾向于混乱的状态。因此,我们将选择与阻尼控制器具有相同的功能和我们考虑以下方程: 在哪里表示控制器的力量。(2)我们也研究的参数的影响通过使用数值模拟系统的动力学行为。数值模拟,包括固定的分岔图点,混沌系统在三维空间的阈值图,最大李雅普诺夫指数,和阶段肖像,也策划说明理论分析和揭露的复杂动力学行为。特别是,我们观察到系统可以把混沌区周期运动通过调整控制器,振幅和频率外部强迫的,可以认为是一种控制策略。
本文组织如下。节2,我们简要介绍了不动点和相位肖像镇定系统的两种类型(1)。节3混乱的生存条件下周期性执行同宿轨所引起的扰动。给出了部分数值调查4。分岔分析节中给出5。最后,我们得出结论本文给评论部分6。
2。理论分析的系统
2.1。法律的NLSE克尔非线性方程
用(3)(1),我们得到 在哪里(),,是积极的常量和分化对'意思。
由于[6),我们有 在哪里表示线性和非线性项的参数。方程(5)是光纤信号传输系统在理想环境。但似乎信号传播不能存在于纯粹的环境。它总是受到外部环境的干扰。
不失一般性(5),我们组。的转换,,(6)可以转化为一阶非自治方程:
2.2。不动点和相位镇定系统的肖像
如果,(6)是一个非微扰系统,可以写成
系统(7)是一个哈密顿系统的哈密顿函数
和功能 被称为势函数。通过分析不动点()和对系统的稳定性(7),我们可以很容易地获得以下结果。
引理1。当,镇定系统有三个平衡分:两个中心和一个马鞍。鞍形连接本身由两个对称的同宿轨如图1 (b)。
(一)
(b)
3所示。Melnikov理论分析
在本节中,我们讨论的混沌行为(6)。Melnikov理论已经被证明是一个简单的、优雅的,成功替代多稳态振荡器的复杂动力学特征。本节中,因此,开发一个全球性的分析技术,被称为Melnikov方法,找到同宿分岔发生的必要条件。详细推导Melnikov方法,有几个不同严格和复杂的文本,读者被称为(12,22- - - - - -24]。
在本节中,我们讨论的混沌行为(6)中,和认为是小参数。转换的和都是为了应用一阶微扰方案Melnikov理论。因此,系统的(6)可以写成
3.1。Melnikov标准混乱
非微扰系统系统(7同宿轨)。同宿轨添加扰动时,关闭,可能横架或heteroclinic轨道。由Smale-Birkhoff定理(12,25),这样的轨道的存在导致混沌动力学。因此我们Melnikov方法适用于系统(7)寻找的标准同宿或heteroclinic分岔和混沌的存在。
Melnikov方法得出一个函数来描述一阶摄动稳定和平静的导管之间的距离。假设镇定的同宿轨道或heteroclinic写成。满足的条件double-well潜力产生同宿轨道在相空间。同宿轨道可以通过设置中找到。解产生的位移和差异化来决定速度,同宿轨道给出如下: 然后Melnikov函数系统(7可以由) 在哪里庞加莱映射和横截面时间可以解释为强迫项的初始时间。
因为它很难给解析表达式,我们将计算数字部分5。我们注意到,是时间的函数来。因此,我们选择的初始条件和将是一个奇函数的时间同宿轨道和偶函数heteroclinic轨道。
同宿轨的,Melnikov函数可以简化为 在哪里和是频率的函数和,分别。
使用以前的结果和Melnikov定理(26,27),下面是表示:如果和对于一些和一些参数,然后马蹄铁存在和发生混乱12,25]。如果有一个简单的零和相应的临界参数值是什么 在哪里曾经是一个常数,然后用分数阶系统中的位移(11)某些参数值的确定的混乱可能会出现满足的关系
备注2。使用Melnikov标准的摄动和非微扰分界线之间的十字路口,因此,对于固定的频率和,系统总是产生斯梅尔减刑的混乱。
3.2。控制混乱的
由于光纤传输系统的混沌状态对其初始条件非常敏感和混乱经常引起不规则行为,混乱是不可取的。不难看出系统(6)类似于杜芬系统,除了没有阻尼在前。因此,我们将选择与阻尼控制器,具有相同的函数。
方程(2)相当于以下系统:
方程(16)可以转化为一阶非自治方程: 在哪里,,。
现在,Melnikov函数系统(17可以由) 和Melnikov函数可以简化为
因此,如果 然后有一个这样和,,可以获得以下引理。
引理3。将发生在同宿分岔
备注4。(20.)之间的距离的稳定和不稳定流形同宿点()是零和集合管相交横向形成横向同宿轨。这种轨道的存在意味着,对于某些参数(21)和不稳定的周期轨道的可数无穷,不可数集有界非周期的轨道和密集的轨道混沌运动的主要特征。
4所示。数值模拟
在本节中,我们给数值模拟支持前面的理论结果和发现其他新动态。
有趣的问题是分析光纤信号的参数区域稳定控制系统的传播。控制光纤传输系统有几个参数,每个人都扮演不同的角色和虚拟系统。我们将分析影响光纤信号传播的控制系统(21)当系统的参数变化与固定的控制器。
我们研究了不变流形的十字路口的鞍点。众所周知,这些十字路口是必要条件存在的混乱。自从Melnikov函数的理论措施摄动稳定流形之间的距离和不稳定的繁殖,一架接触会发生当一个真正的解决方案可以找到一段时间这样的函数有一个简单的零。这意味着只有必要条件的奇怪吸引子从Poincare-Melnikov-Arnold分析得到,因此一个总是有机会找到充分条件甚至消除瞬态混沌。然后一般不变流形的必要条件是由相交
我们给支持的理论数值模拟结果如图2- - - - - -6。
的混沌阈值空间,,,如图2。的混沌阈值空间,,,如图3。的混沌阈值空间,,,如图4。的混沌阈值空间,,,如图5。的混沌阈值空间,,,如图6。时的值表面下,系统可能是混乱的状态。为了显示发生了什么解决方案和流动作为一个跨越这些分岔的表面,我们选择的参数值区域,然后系统(17)可以表现出混乱。
备注5。这意味着,如果是足够小,简化方程(17同宿轨)横向可能导致混乱的动态。与和常数,我们只研究混沌阈值的函数频率参数。一个典型的情节如图2。这个函数的定性形式仍然是一样的和可能的值是两口井。另一点是,当比率趋向于零,这意味着外部振幅趋于无穷时,然后Melnikov理论为这些值是无效的。
5。分岔分析
在本节中,我们给出数值模拟支持控制混沌的理论结果。
5.1。摄动和控制系统分析
我们将讨论扰动下的光纤信号传输的行为,我们画的分岔图(6)()飞机和相应的最大李雅普诺夫指数图7。系统(6)是综合利用龙格-库塔法秩序四个进行数值模拟。数值计算了所选择的参数值,,,,与初始条件和。由于方程是非线性的,因此承认它的解决方案周期和混沌轨道的可能性。
(一)
(b)
在图7,我们可以观察到李雅普诺夫指数的值是正数(积极的李雅普诺夫指数对有界的吸引子通常是混乱的标志),所以这个系统很容易转换混乱,即使有小的扰动。它表明系统摄动外,光纤传输信号很容易混乱的现象。所以需要一个合适的控制器满足光纤传播的实际应用。这些地图可以用来抑制系统的混沌动力学。
执行下一个相应的数值模拟周期摄动的情况下的系统(16);我们选择。在图8(一个)后一个大乐队的混乱的政权能找到一个落后的倍周期分岔序列作为周期运动的路线后一个周期政权;另一个分歧发生在一个关键的价值在混乱的政权的另一个大乐队小周期窗口出现。在和后,系统显示周期性行为落后的倍周期分岔。这些地图可以用来抑制系统的混沌动力学。
(一)
(b)
(c)
从图8 (b)可以看到,对于较小的值的控制器,李雅普诺夫指数是正的。作为增加,顶部李雅普诺夫指数从正值变为负值,表示1 -混沌运动的抑制。出现混沌运动的门槛之外,也有一些“周期性的窗户,“这可以瞬态混沌的特点。然而,更大的控制参数响应降低信号幅度。很容易看到,信号不能正常,可能泄漏从媒体传播,叫做逃跑。
注6。根据上述分析,控制器的系数的增加使系统稳定,但逃跑时发生跨越一定的价值。
5.2。参数分析
现在我们希望找到其他有趣的分岔结构和动力学系统(17)。分岔参数被认为在接下来的五个案例:(我)不同在范围内和修复,,,,数的值,(2)不同在范围内和修复,,,,数的值,(3)不同在范围内和修复,,,,数的值,(iv)不同在范围内和修复,,,,数的值,(v)不同在范围内和修复,,,,数的值。
情况下(i)和(ii),我们给分岔图()和()平面系统(17)和和几个值在数据9和10,分别。我们观察到一个宽混沌区图9(一个)。周期轨道的共存和混沌运动在混乱的窗户和间歇运动机构图9 (b)。图9 (c)显示混乱的发病与复杂的周期性windows n和混乱的地区后,人物9 (d)也显示了出现混乱和混乱的地区小周期窗口。比较数据10 ()- - - - - -10 (d),我们发现增加,动力学行为的复杂性降低,当只有一个周期轨道,没有分叉(见图10 (d))。
(一)
(b)
(c)
(d)
(一)
(b)
(c)
(d)
例(3),分岔图()飞机和相应的最大李雅普诺夫指数图11,我们表明,最大李雅普诺夫指数都是消极的图11 (d)为这是准周期的相应解决方案在图吗11 (b)。数据(11日)和11 (c)展览过程中准周期的途径混乱和混乱收敛于准周期的轨道。
(一)
(b)
(c)
(d)
案例(iv),分岔图的数据12(一个)- - - - - -12 (d)在()飞机不同的值绘制显示参数的影响吗在动态行为。当增加一点,混乱的行为发生变化,振幅降低了一点在图吗12 (b)。但是,正如进一步增加,只有第五周期轨道和周期的倍周期分岔。
(一)
(b)
(c)
(d)
案例(v)、分岔图的数据(13日)- - - - - -13 (d)在()飞机不同的值绘制显示参数的影响吗在动态行为。我们表明,混沌行为交替发生在较小的地区交替和混乱的运动行为发生在更大的地区增加。因此,我们发现参数起着非常重要的作用的动力学行为进行比较。它可以被看作是一个混乱的控制策略通过调整参数。
(一)
(b)
(c)
(d)
6。结论
在本文中,我们调查了与克尔法律行为的非线性薛定谔方程非线性扰动与两届和找到许多复杂和有趣的动力学行为利用解析和数值方法。我们得出结论,在容易发生混乱由于缺乏系统中阻尼。这种现象会导致失真的信息传输的过程。可以添加一个控制器来抑制混乱。这说明了该控制器的效率。复杂的光纤传输系统摄动NLSE的克尔非线性控制的法律。更重要的是,我们讨论了敏感地区,发现实际控制参数。其他结果的nls相应地可以扩展。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
这项工作是由中国国家自然科学基金(没有。11101191)。