文摘
的变换在信号处理方面发挥了重要作用。摘要变换的广义的耦合变换和当地部分复杂的微积分。在文献中当地的分数变换应用于分析信号,在接下来它将被用来分析信号在康托尔集。给出一些例子显示的信号处理的效率和准确性康托尔集。
1。介绍
积分变换(1,2),如傅里叶,拉普拉斯,梅林,希尔伯特,和汉克尔变换,扮演了一个重要的角色在应用数学解决数学问题,数学物理和工程科学。近年来,分数微积分(3- - - - - -11)是开发和使用扩散模型还一些异常行为(12- - - - - -21)和运输(22- - - - - -27]。分数积分变换是适当的归纳古典的和被一些研究者最近提议。例如,分数傅里叶变换被认为是在28,29日]。在[30.),给出了部分希尔伯特变换。部分梅林变换(31日,32)提出了用于图像加密。提出了分数小波变换和一些应用研究[33- - - - - -35]。在[36),据报道为了分数汉克尔变换研究charge-amplitude状态表示。
的变换方法(1,2,37)是应用于处理线性定常离散系统(线性时不变离散时间系统)和差分方程域。然而,分数阶导数和积分(部分pdi)被用来转移部分线性时不变离散时间系统域(38]。出现信号定义在康托尔集,最引人注目的nondifferentiable函数的性质。经典的变换方法和pdi没有处理这些问题。为了克服这些困难,当地分数微积分(39- - - - - -43]可能适用于处理函数定义在康托集如图1。当地部分积分变换通过当地分数微积分理论提出了在44- - - - - -51]。例如,当地分数傅里叶变换在报道40,44)被用来寻找当地部分常微分方程和pd nondifferentiable解决方案(45- - - - - -47]。拉普拉斯变换通过当地分数微积分(40)是广义和报道为了解决当地部分常微分方程和pd (48- - - - - -50]。
分形信号处理(51- - - - - -59科学家和工程师来说是一个热门话题。最近,的概念变换方法通过局部分数微积分被认为只有在(60]。然而,没有报告信号处理利用当地的分数转换。本文的主要目的是调查当地部分的属性转换和展示一些例子来处理信号定义在康托尔集。
本文组织如下。节2,当地部分复杂的衍生品和积分的概念。节3,当地部分的概念和属性变换方法。节4一些例子,显示了该方法的应用。最后,部分5是结论。
2。当地部分复杂函数的微分和积分和最近的结果
在本节中,我们介绍当地的分数导数和积分的概念复杂的功能。让我们先给当地部分复杂函数的连续性。
定义1(见[40,60])。这个函数据说是当地部分连续吗如果存在 有当地部分连续关系在以下形式: 在哪里
定义2(见[40,60])。当地部分复杂函数的导数的订单被定义为
在哪里
如果的极限(4)存在在一个地区,那么复杂的函数据说是当地部分分析在一个地区。
当地的分数阶导数的性质提出了一些复杂的功能如下(40]:
在哪里
定义3(见[40,46- - - - - -50,60])。当地部分复杂函数的积分的订单在封闭的轮廓被定义为 当地的属性部分一些复杂函数的积分表示如下(40]:
定理4(见[40])。如果是本地部分中分析和一个简单的封闭轮廓吗和内部任意一点吗,那么我们就有
证明。参见[40]。
定义5(见[40,60])。如果是一个孤立奇异点的,然后我们有一个当地的分数劳伦级数在给出的 的系数的被称为当地部分残留的在和经常写成
定理6(见[40])。如果是本地部分分析内部和边界的一个地区除了极数在,拥有一个残留,然后
证明。参见[40]。
定理7(见[40])。如果是本地部分分析内部和边界的一个地区除了极数在数量的残留物,然后
证明。参见[40]。
3所示。当地部分变换及其属性
在本节中,我们给当地的分数变换及其属性。
定义8(见[60])。当地部分变换的的订单被定义为 上述公式的收敛。
对于一个给定的序列,的值为其在当地的分数变换收敛收敛叫做地区(ROC),也就是说, 当地部分逆公式变换的的订单读如下(见[60): 在哪里是一个逆时针关闭分形路径环绕的起源和在该地区完全收敛。
让在该地区的收敛,让在该地区的收敛。
属性1(线性)。我们有 在该地区的收敛。
证明。从(15)我们有 在该地区的收敛。
属性2(时间转移)。如果变量有一个有用的时间延迟的诠释,那么我们呢
证明。从(15),我们有
财产3(调频)。我们有
证明。从(15),我们有
4所示。一些说明性的例子
在本节中,我们给一些样品nondifferentiable信号定义在康托尔集。
例1。让我们考虑以下信号的形式: 在当地部分变换,我们有
例2。现在我们建议以下信号形式: 在当地部分变换,得到 当虚数单位的(40,44- - - - - -50),我们得到 因此,从(28),我们得到 与真正的图在图的一部分2和虚部图在图3。
例3。有以下形式的信号: 在当地部分变换,我们有 当,我们得到 的图如图4。
例4。我们有以下信号的形式: 当地部分转换为以下形式: 收敛与该地区。
例5。我们考虑以下信号的形式: 在当地部分变换,我们到达以下形式: 收敛与该地区。
例6。我们提出以下信号形式: 当地部分转换为以下形式: 收敛与该地区。
5。结论
在这项工作中,我们调查了当地的分数变换基于当地部分复杂的微积分和获得的一些性质也。一些说明性的例子。结果表明了所提方法的准确性和效率。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
承认
这项工作是由江苏省科学技术委员会计划项目(没有。BE2013737)。