文摘

通过使用微分做好人员的方法,我们得到多价分析函数的一些性质。这里介绍的所有结果均锋利。

本文致力于踩踏Mateljević教授在他的65岁生日

1。介绍

让表示函数的类的形式 分析在开放单位磁盘。让和分析在。然后,我们说隶属于在,写成,如果存在一个解析函数在,这样和。如果是单价的,那么从属相当于和。让分析在。然后,对于,很明显 当且仅当

最近,许多参数属性的结果给出了解析函数的几个作者(见,例如,1- - - - - -5])。本文的目的是进一步推导出一些有趣的多价解析函数的性质。这里使用的基本工具是微分做好人员的方法。

获得我们的结果,我们需要下面的前题。

引理1(见[6定理1,776页)。让分析和星形的单价的与。如果分析在和,然后

引理2(见[5定理1,1814页)。让,,,。也让 如果分析在与和 在哪里 (close-to-convex)单价的在吗,然后 范围和在(9)函数的锋利定义为

备注3(见[5引理2,1813页)。这个函数定义为(10)是分析和单价的凸和

2。主要结果

我们的第一个结果是包含在下面。

定理4。让和。如果满足和 在哪里是最小的积极的方程的根吗 然后 绑定是锋利的每个。

证明。让 我们可以很容易看到,(13)有两个积极的根源。自和,我们有 把 然后,从这个定理的假设,我们可以看到分析在与和对所有。双方的对数的分化(17),我们得到 对所有。因此,不平等(12)等价于 利用引理1,(20.)导致 或 根据(16),(22)可以写成 现在,通过和在(2)和(3),我们有 对所有因为。这证明(14)。
接下来,我们考虑的功能定义为 对所有。很容易看到 对所有。自 它遵循从(3), 因此,我们得出这样的结论:绑定对于每一个是最好的。

接下来,我们得到以下。

定理5。如果满足和 在哪里 然后 绑定(31日)是锋利的。

证明。让 然后,假设的定理我们可以看到分析在与和对所有。根据(32)和(29日),我们立即 也就是说, 现在,通过使用引理1,我们获得 因为这个函数中凸单价的和 从(35),我们得到不平等(31日)。
显示的绑定(31日)不能增加,我们考虑 很容易验证功能满足不等式(29日)。另一方面,我们有 作为。现在,这个定理的证明是完整的。

最后,我们讨论下面的定理。

定理6。让。如果满足和 对所有,在那里 然后 绑定在(39)是锋利的。

证明。定义的函数由(17)。为,它遵循从(17)和(18), 对所有。把 在引理2和使用(42),我们看到,如果 在哪里 然后(41)适用。
让和,我们推断出 利用(46),我们获得 因此,如果满足(39),然后从属(44),因此,我们获得(41)。
函数的 我们发现 在哪里被定义为(45)。鉴于(46)和(49),我们得出这样的结论:绑定在(39)是最大的数量,(41)适用。这就完成了证明。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者想表达自己的真诚感谢裁判,仔细阅读和建议,帮助他们提高。