文摘

基于复制内核定理是一个数值方法提出了三点边值问题的数值解与不可或缺的条件。使用复制属性和正交基的存在在一个新的再生核希尔伯特空间中,我们获得的表示级数形式的精确解和近似解通过删除系列。此外,证明了一致收敛和用一些示例说明了该方法的有效性。

1。介绍

在本文中,我们考虑的是以下三阶偏微分方程的数值解与三点边界条件(1]: 在哪里 及其衍生物满足条件 , , 给出光滑函数 。

注意,三阶偏微分方程(1让许多的动力学数学模型的基础土壤水分和底土水域(2),传播的声波弱异构环境(3]。许多物理现象和机械情况制定与积分边界条件的边值问题(4,5]。后来出现了许多工作如Ashyralyev和Aggez [6],Ashyralyev和Tetikoglua [7],Pulkina [8],和Ashyralyev Gercek [9]。应该注意的是,有那么多工作致力于解决方案的存在这种类型的抛物方程边值问题,双曲方程,和混合型方程被认为是(10,11]。解的存在性和唯一性的证明尤其是(1)研究了由Latrous和Memou [1]。最近,复制内核空间方法(RKSM)中扮演着关键角色在微分和积分方程的数值解12- - - - - -20.]。RKSM的主要思想是基于复制内核空间的施工(地基)。复制内核函数可以吸收所有明确的条件。定的数值解问题是由再生核函数近似。很明显,构造一个合适的复制内核空间和有效计算再生核函数表达式应用RKSM成为关键。

然而,由于复杂的三值条件与不可或缺的条件(1),RKSM没有构造合适的地基处理数值解。更准确地说,传统的建立地基处理在很大程度上依赖于两个端点。因此它不能扩展到三分非局部边值问题基于中间点,尤其是在边界条件的积分。此外,据作者的知识、问题的数值近似方程(1)没有被研究过。出于以上的作品,我们描述一个改善RKSM查找的数值解(1)。成功地建立了一些新的地基处理技术(3)和(7)。此外,其他偏微分方程多点边值条件可以使用类似的数值求解过程。

本文的概述如下。在下一节中,新的复制内核空间解决问题(1)构造。部分3建立一个有界的线性算子和一个使用RKSM正交基。因此,考虑问题的近似解。节4给出了一些数值结果,证明本方法的准确性。在部分也给出一个结论5。注意,我们使用数学编程计算的数值结果。

2。建设性的方法复制内核空间

定义1(见[12])。让 是一个希尔伯特空间在一组函数 。 被称为复制内核空间当且仅当,对吗 ,有一个独特的功能 ,这样 对于任何 。与此同时, 被称为复制内核。

自 ,一个具有以下属性。

引理2。真正的复制内核空间的再生核函数是对称的。

定义3。 绝对是连续的实值函数在吗 , , , , 。产品是由内部

定理4。 是一个复制内核空间。此外复制内核 可以用

证明。 是一个是一个泛化的地基处理12,定理 )基本相同的证明。让 的再生核函数 。鉴于(2), , ,我们有以下平等利用分部积分: 在这里 是一个任意的函数 。为了获得繁殖特性,即 让
的特征值(7)都是0和6倍,一般的解决方案(7)的形式(3)。接下来,我们需要建立38方程计算函数的系数 。很明显,4个方程可以得到边值条件和(6)给10方程。根据(7),我们有12个方程。最后,12遵循从连续性方程 。

为 的具体表达式 由引理给出2

类似于定理4,我们将展示另一个地基处理: 绝对是连续的实值函数在吗 , , 。产品是由内部 我们计算再生核函数 为以下形式:

定义5。让 , 是一个完全连续的实值函数 , , , 。的内积 是由

定理6。的空间 是一个内核空间及其繁殖复制内核是什么 在哪里 和 复制内核的功能吗 和 ,分别。

证明。我们需要证明 满足繁殖财产;也就是说,

3所示。数值方法

一个子空间中 被定义为 然后我们定义了一个线性算子 :

引理7。 是一个可逆的有界的线性算子。

证明。考虑以下 由于的定义 ,我们得到 , 和 ;然后 由此可见, 因此(1)变成了算子方程如下: 自(19)有一个独特的解决方案(1),它表明 是可逆的。证明已经完成。

的再生核函数 ,我们选择一个可数稠密子集 和定义 在哪里 指示符 而作用于 。

引理8。系统功能 一个完整的系统在吗 。

证明。由此可见, 定义的 和 。接下来我们将看到它完成;也就是说,如果 ,然后我们可以得到 。对于每一个 ,它拥有 请注意, 一个可数稠密子集在吗 ;因此, 。由此可见, 存在的 。

应用gram - schmidt过程,我们得到一个正交基 在 :

定理9。如果 的解决方案(19),那么就可以形成近似解

证明。从 和(21),它认为 的近似解(19)是 截断的傅里叶级数精确解 在(28),所以 在 作为 。

定理10。的近似解 及其衍生物一致收敛于精确解 分别及其衍生物。

证明。的属性 ,我们知道存在积极的实数 ( 和 ),这样 因此,作为 我们有

4所示。数值模拟和比较

在本节中,我们将给出一些多点边值问题的数值例子表明我们提出的精确和有用性的过程。

例11。这个问题对应于(1), 和 。确切的解决方案是 。数值结果给出了表1为 。在这里我们把 和 。

表1
计算结果为例11。

示例12。考虑以下三点外地elliptic-parabolic问题[9]:

这个问题的精确解 。的(24),我们计算近似解 为 。比较的最大绝对误差的方法和有限差分方法,表2表明,我们的方法具有更好的精度。

表2
最大绝对误差为例12。

5。结论

总的来说,提供了一种新的数值算法来解决三点边值问题在一个非常有利的繁殖内核空间。使用复制内核空间的好属性如繁殖财产和正交基的存在,我们获得系列模式通过算子方程近似解。数值结果表明,本方法是一种准确、可靠的分析技术。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢提供建设性的意见和建议从裁判和编辑。这项工作是由哈尔滨师范大学学术青年基金会(KGB201226),科学研究基金海外黑龙江省(没有返回中国学者。LC2013C01),科学研究黑龙江省(没有的基础。A201411)。