文摘

弗雷德霍姆积分方程的近似解的方法,第二种,使用自适应hp-refinement首先结合有限元离散和斯隆迭代法应用于伽辽金方法的解决方案。线性帽子和修改功能集成的勒让德多项式作为基函数近似。最适当的细化是由由Demkowicz给出一个优化问题,2007年。在计算预测可能发生的近似解在四个不同的网格计算粗网格和细网格之间。根据误差值,这些程序可以重复连续或可使用不同的网格以减少误差值。

1。介绍和预赛

本研究的目的是找到弗雷德霍姆积分方程近似解的第二种通过应用自适应细化和伽辽金法和斯隆的迭代法。应用自适应细化我们的原因是搜索网格上我们可能会获得更好的近似所提到的问题的解决方法。节2我们解释了如何获得细孔网从一个给定的网格,叫做粗网格,以及如何构造所用的基函数近似。节3我们解决了这个问题(10通过伽辽金方法),然后为了确定一个最优网格我们解决的优化问题(18)自适应细化。节4作为后续步骤,我们通过斯隆迭代法迭代有限元离散的解决方案,我们解决了同样的优化问题对于这种情况为了使自适应细化。最后一节5我们提出了一些问题的例子。在本节中,我们将给出一些基本知识两个重要课题,本研究:积分方程和自适应细分。

1.1。在积分方程

积分方程的理论在数学方面具有显著的重要性,这也是科学各个领域密切相关。很多问题,如普通和偏微分方程、数学物理问题,可以提出积分方程。Hochstadt [1]提到,许多存在唯一性结果可以从相应的积分方程的结果和几乎没有应用数学和数学物理积分方程不发挥作用的地方。许多研究可以发现,这些地区的使用积分方程。拉赫巴尔和Hashemizadeh2]表示高适用性的积分方程在不同领域的应用数学,物理,工程,和他们特别提到一些地区这些方程广泛应用,如力学、地球物理,电和磁、气体分子运动论,遗传现象在生物学、量子力学、数理经济学和排队论。我们可以更多的这些领域使用的例子如下:自动控制理论、网络理论和核反应堆动力学(3)、音响、光学和激光理论,潜在的理论、辐射传输理论,心脏病学、流体力学和静力学(4),连续介质力学,物理和生物的遗传现象,更新理论、辐射、优化、最优控制系统、通信理论、群体遗传学、医学和辐射平衡的数学问题,粒子天体物理学和反应堆理论的交通问题,稳态热传导和断裂力学5]。

作为Pachpatte [3)表示,积分方程的开始可以追溯到n h·亚伯在1812年发现了一个积分方程从一个问题开始于1895年在力学和V。沃尔泰拉强调积分方程理论的重要性。

Lonseth [6)表示,弗雷德霍姆发表了他的著名论文《数学(7)1903年,他给了第一个详细的帐户解的存在性和多重性的以下两个方程的内核和已知函数的值(适当的值)值来确定这样一个持续的解决方案存在: 在他的书中Pachpatte [3)表示数量很少的专著,他接受了作为一个优秀的账户积分方程可以发现在以下:伯顿(8],Corduneanu [9- - - - - -11),Gripenberg et al。12],Krasnoselskii [13米勒],[14],Tricomi [15]。

1.2。在自适应细分

1988年Babuška [16公布他的工作在进步和版本的有限元方法,在本研究中他杰出的三个版本的有限元法(FEM)如下:- version,- version,的版本。的主要思想- version是细化网格的大小,而度的多项式近似保持固定(通常使用);在- version恰恰相反:网格的大小不变,但多项式用于近似度的增加。在版本变化都是同时完成:大小网格的细化和多项式用于近似度的增加。在[16),而介绍了有限元- version标准,其他版本据说发达后,第一个理论论文有关- version和版本出现在1981年给出的(17]和[18),分别。

在Demkowicz的书19关于计算)——自适应有限元素,他研究了一维或二维椭圆和麦克斯韦的问题和他提到两个主要组件的一维版本的算法作为细网格解决方案和最优网格选择。对于第一个组件,一个给定的(粗)网都是精致和获得相应的细孔,然后细网格上的问题已经解决了细网格解决方案。在后一种组件,他用这细网格解决方案来确定最优网格粗网格的细化,通过最小化基于投影的插值误差解决以下离散优化问题,,,,分别表示,细网格上的解决方案,的interpolant细网格解决方案对原始网格,interpolant细网格解决方案的新的最优网格,相应的新的最优网格上的自由度数量待定和相应的原始网格上的自由度数量: 优化问题的目标是最大化的减少速度表示插值误差。Asadzadeh和埃里克森20.)给了几个数量的引用(21- - - - - -25)与有限元解积分方程在他们的论文中,他们选择了在单层潜在问题的拉普拉斯方程诺伊曼边界条件要具体。在他们的论文中,研究采用自适应有限元法求解积分方程,给出与[25- - - - - -28]。自适应有限元法通常用于解决偏微分方程;但在文学这些方法也被用于解决不同类型的问题在不同的分支科学,如流体动力学(29日,优化设计30.),椭圆随机方程(31日],抛物问题[32],抛物系统[33],椭圆问题[34),椭圆偏微分方程(35),椭圆边值问题(36,37),静电学(38],电磁问题[39)、生物流(40),和拉普拉斯特征值问题41]。

2。精炼从粗网格和细网格建设的基础功能

2.1。从粗网格细化细孔网

让是给定的节点分(有限元)网格被接受为粗网格和表示这些节点点列表如下: 为每一个表单的间隔被称为一个元素(或有限元)有两个参数:元素长度和元素局部多项式近似()。是什么意思元素局部多项式近似可以解释如下:“如果一个元素元素局部多项式近似的顺序点菜了吗,这意味着该元素的非线性基函数的多项式学位从2:“让的列表数量的元素局部多项式近似粗网格元素的顺序: 首先将每个元素从中间的网(细化),然后增加元素局部多项式近似的顺序为每个新元素(1细化),我们获得一个细孔网拥有新的列表节点分和元素局部多项式近似订单下面的长度和分别为:

2.2。建设的基函数

在这项研究中,为每个元素的网格两种使用基函数:函数和泡沫函数。这些被称为的原因可以解释如下:线性基函数被称为帽子函数,因为他们的形状看起来像一顶帽子和非线性的被称为泡沫函数,因为他们在节点消失点泡沫。考虑到粗网格与列表(3)和(4我们解释如何构建粗网格上的基函数作为样本。基函数的网格可以建立类似。配方的数量帽子的功能属于粗网格如下: 建设泡沫职能的粗网格集成的勒让德多项式都加上一个函数映射任何闭区间(元素)域的集成的勒让德多项式,给出如下: 让表示程度的集成的勒让德多项式。泡沫程度的函数在th ()元素用于近似定义如下:

3所示。Demkowicz金法解决方案和自适应优化利用的优化

首先我们计算细网格上的有限元离散近似解在部分构造2。为了决定最优网格,我们解决的优化问题,由Demkowicz [19),在细网格的每个元素。为此我们需要预测的细网格解决方案的每个元素在粗网格的对应元素在粗网格元素的四种可能的最优网格细化。可能的四个最优网格细化定义显然在后者的部分。

3.1。金法在细网格解决方案

考虑第二种的弗雷德霍姆积分方程: 和细网格列表(5)和(6)。在这个网基函数的总数我们表示,。让 是我们正在寻找的近似解的基函数(帽子函数和泡沫函数)和的系数计算吗。用(10)剩余函数的伽辽金方法(42),我们获得以下平等: 剩余函数必须满足下列等式: 重新安排(13),为所有 获得一个方程组,该系统可以用矩阵形式表示通过使用矩阵定义如下: 系统(14)可以表示为 因此,系数矩阵发现如下: 通过用这些系数平等(的左手边11),所需的伽辽金方法的近似解。

3.2。自适应细化Demkowicz利用有限元离散的优化解决方案在细网格上

作为自适应细化抽象的解释说,我们解决的优化问题,所使用的最初Demkowicz [19)与水列夫空间求解一维,二维椭圆和麦克斯韦的问题。在本研究中,而不是水列夫规范,规范使用和自然内在的产品内的产品。在这种选择优化问题变成 确定最优网(18)是解决在细网格的每个元素。为简单起见我们在元素的形式解决问题作为所有元素的代表元素的粗网格的形式。换句话说,我们将开始只是一个元素组成的网格区间本身。让的列表元素局部多项式近似元素的顺序。炼油这个元素和我们得到以下新列表的细网格节点点: 还有其他可能的改进(就在或或在两个但不同选择的改进),产生以下四种可能的最优网格选择: 考虑到细网格解决方案鉴于与(11)。首先预测的在粗网格和最优网格计算。在这些计算我们介绍了一些矩阵和符号,我们所需要的。让基函数的总数,让,和,粗的基函数和最优网格情况下,分别为: 让,相对应的系数矩阵(24)和(25),分别。我们计算伽辽金方法的预测解决方案(11),拉尔森和Bengzon解释(43]。计算鉴于与(24),我们定义两个矩阵和我们需要如下: 我们得到的系数矩阵如下: 用这些系数(24),我们得到投影功能。计算鉴于与(25),我们需要两个新矩阵和定义如下: 我们得到的系数矩阵如下: 用这些系数(25),我们得到投影功能。

用右边的优化问题(18)的矩阵我们之前介绍过的使用(27)和(29日)如下: 值(30.)计算每个四种可能的最优网格细化的粗网格元素。为最小值是粗网格的元素所取代。从第一个元素开始的粗网格我们重复这个过程对于每个粗网格元素,分别。加入这些元素取代粗网格的节点点,得到自适应细化新网格是最优网我们正在努力实现的目标。在这个过程中保证近似解的连续性在粗网格的节点点,边界条件在粗网格的节点点必须是固定的。换句话说,细网格的值的解决方案和它的预测被迫采取相同的值在粗网格的节点点。

我们开始与投影功能。如果我们的平衡系数投影功能与细网格解决方案在节点分和样品元素的我们得到以下结果: 在这种情况下计算系数矩阵的系数除了和就足够了。删除给定的矩阵的前两列(26)和前两个元素的矩阵和解决剩余的系统带来所需的系数。从给出的最优结构元素(20.)类似于粗网格,计算对于这种情况是类似于一个获取的系数矩阵。对于这个最优的情况下,和。删除给定的矩阵的前两列(28)和前两个元素的矩阵和解决剩余的系统带来了剩余的投影函数的系数。

其余三个最优情况下给定(20.),(21)和(22我们遵循相同的方式: 这些情况下的最优网格,第一和第三列的矩阵(28),第一个和第三个元素矩阵的删除,其余系统是为了解决剩下的投影系数。

4所示。斯隆迭代解决方案和自适应细化使用Demkowicz的优化

第二种给弗雷德霍姆积分方程的公式(10)可以新配方 在哪里,。阿特金森(44)定义迭代投影的解决方案对于一个给定的投影方法的解决方案作为 旁边,他提到,尽管这样的迭代在文献中被发现在许多地方,斯隆(45)首先认识到的重要性做一个这样的迭代和在他的荣誉通常被称为斯隆迭代。我们表达(34)在一个更明确的和通用的方法如下: 用伽辽金方法与公式给出的细网格解决方案(11)到右手边的公式(35),获得细网格上的迭代的解决方案如下: 我们解决的优化问题(18)迭代解决方案,因为它解决了伽辽金方法的解决方案。在这种情况下在(18)是作为迭代的解决方案鉴于与(36)。

我们定义两个矩阵和需要计算的鉴于与(24)如下: 我们得到的系数矩阵作为 用这些系数(24),我们得到投影功能迭代的解决方案。我们需要两个新矩阵和计算的给出如下: 我们得到的系数矩阵如下: 用这些系数(25),我们得到投影功能迭代的解决方案。

右边的优化问题(18以矩阵形式)是新配方的伽辽金方法解决方案,同样的将迭代的解决方案。用右边的优化问题(18)的矩阵我们之前介绍过的使用(38)和(40)如下: 作为有限元离散解解释的部分3所示。2,在粗网格的每个元素表达式(41)计算每一个可能的最优网格细化用例和的最小值是粗网格的元素所取代。连续性的近似解在粗网格的节点点,边界条件在粗网格的节点点是固定的计算以同样的方式作为金法是解决方案。

5。一些应用程序

这两种方法应用中存在的问题(46在弗雷德霍姆积分方程与光滑的内核和第二类不连续的内核和结果。为每一个例子中,我们提出了在两种不同的误差值表。在第一种,我们给连续的误差值的解决方案表示重复订单。这里产生的粗网格细化网格用作之后。第二,当我们使用我们给的错误值粗网格上的等距节点点数量元素局部多项式近似在粗网格的每个元素的顺序。在两个表和表示错误,和表示的最大绝对误差在细网格的节点点(从粗网格)的伽辽金方法解决方案和迭代的解决方案,分别。

在这项研究中我们的主要和最终的目标是达到更好的近似应用自适应细化和斯隆迭代有限元离散的解决方案和检查它们。因为这个原因在所有例子中,我们给两种图形与相对误差在对数尺度:一个相对误差规范和一个相对误差最高标准设在和两个度的自由设在通过斯隆迭代的结果。图表清楚地表明相对误差的减少而自由的度增加。为简单起见日志的数量程度的自由是由“日志(#自由度)”设在。

为了说明我们提供更多细节的提炼过程更好的第一个例子比后者的:除了错误情节斯隆迭代我们也为伽辽金法和添加相应的图表显示了网格细化为五个连续运行。

例1。问题的精确解, 给出了用。让粗筛得到的列表,。问题已经解决了连续的5倍。

当我们看到表的每一行1斯隆迭代导致都减少和每次运行的错误值。我们也看到所有错误类型的普遍减少,尤其是这是更清楚的错误通过斯隆迭代给出最后两列的表。

当我们研究与数据的相对误差图1和2,我们看到通过斯隆迭代得到相对误差较小的值,而不是通过有限元离散的。

在表2我们给的错误计算从四个不同的初始粗网格与20 30、40、50等距节点点区间局部多项式和初始元素的顺序。从这个表格我们可以看到,在一个运行的过程中,我们可以达到更小错误值较低的元素局部多项式近似的顺序通过增加节点的数量。在[46)错误节点获得通过使用Nystrom方法得到的值。只是对于这个例子作为一个样品,我们给一个图表包括图表向我们展示了网格细化一步一步连续五个运行通过伽辽金方法结果,获得最优网格列表的最后5个连续运行两种方法。

在图3我们看到最优网格选择选择的优化问题(18)。在第一次运行它选择了就去做元素细化,增加局部多项式近似的顺序从2到3对应的选择(20.)。在第二个选择使运行它和细化一起通过选择案例(22)。第三选择优化运行它在第一个元素(23)和第二个(20.)。第四运行时选择细化第三级别的第一和第三元素(22),它选择完善中间元素(20.)。最后在第五运行精炼IV级的第一个元素(23),第二,第四和第五元素(IV级的20.IV级的),第三个元素(22),最优网格连续5月底运行下面的伽辽金方法获得。

伽辽金方法的解决方案, 为我们获得最终的最优网格迭代的解决方案

例2。问题的精确解 是。让粗网格有列表和。问题已经解决了连续的四倍。

我们观察从表的行3斯隆迭代降低了和错误中我们看到的例子1。除了错误值通过连续运行时通过伽辽金方法并未显示差异,通过斯隆的迭代降低速度。图的图表4例如2清晰地显示出相对误差的减少和最高准则。

同样我们在第一个例子中,我们使用三种不同的初始粗网格,在30、40、50点间隔等距节点和作为初始元素局部多项式近似的顺序在每个元素这些粗网格元素的三种情况。在例子中1再次,我们看到表4我们达到更小错误值较低的元素局部多项式近似的顺序通过增加节点的数量。在[46)错误节点获得通过使用Nystrom方法得到的值。

例3。方程的解 与 是。让粗筛得到的列表和。问题已经解决了连续的7倍。

表5表明,斯隆迭代导致减少误差值获得通过伽辽金方法,他们在每个连续七运行越来越小。图给出的图5清楚地表明,相对误差都在减少和最大准则与前面的例子。

通过使用相同的三个不同的粗网格中使用的例子2,最后我们看到表6我们可以获得较低的小错误元素局部多项式近似的顺序通过增加节点的数量。在[46)错误节点获得通过使用Nystrom方法得到的值。

6。结论

两种方法提出了旨在发现和改善弗雷德霍姆积分方程近似解的第二类和观察的影响自适应细分为两种方法对这些解决方案。使用多项式型函数的近似解多种问题的数学是最常用的方法之一。一般在整个解决方案中间隔,多项式使用了相同的程度。背后的主要思想为什么我们喜欢用自适应细化在我们的研究中观察到的变化结果当我们改变这种一般方法。当我们用自适应细化网格,这让我们有机会使用多项式不同程度在不同小区间的解区间,这可能导致获得更好的近似。当比较的最大绝对误差值在节点的例子1和2结果在46),我们看到我们的方法能够达到更小的误差值通过增加节点的数量分甚至利用多项式低学位的这些例子中,有光滑的内核。例如3节点与绝对误差值时的(46)我们看到他们相互接近我们使用更多的节点点再次利用多项式度较低。在我们的研究中我们也看到,在斯隆迭代获得更好的近似而不是伽辽金方法从例子。相对误差图告诉我们,斯隆迭代带来的预期相对误差值下降误差和最大绝对误差在细网格的节点点。结果表明,一般误差值好当我们使用多项式2和6之间的程度,这是一个优势减少我们花时间来解决问题。我们的方法的另一个优点是近似解发现很容易通过使用计算机Matlab编写的代码。也观察到使用多项式和更高的学位会引起振荡的错误。方法不仅可以提高,从而获得更好的结果,但也通过一些修改来解决其他问题模型。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者感谢帮助和宝贵意见裁判来改善。