文摘
我们引入的新组合伯恩斯坦多项式(BPs)和Block-Pulse功能(带通滤波器)在区间[0,1]上。这些函数是适合找到第二种积分方程的近似解。我们调用这个方法混合伯恩斯坦Block-Pulse函数方法(HBBPFM)。这个方法很简单,一个积分方程简化成线性方程组。另一方面,该方法收敛性分析进行了讨论。该方法计算非常简单的和有吸引力的数值例子说明了该方法的效率和精度。
1。介绍
近年来,许多不同的基本功能已被用于求解积分方程,比如Block-Pulse函数(1,2],三角函数[3],哈尔函数[4),混合勒让德和Block-Pulse函数(5),混合切比雪夫和Block-Pulse函数(6,7),混合泰勒和Block-Pulse函数(8)和混合傅里叶和Block-Pulse函数(9]。
Block-Pulse Harmuth介绍了电气工程的功能。之后的研究中,一些研究人员已经讨论了应用Block-Pulse函数(10,11]。
伯恩斯坦多项式数学在各个领域的应用。例如,一些研究人员应用伯恩斯坦多项式求解高阶微分方程(12),一些类型的积分方程(13)、偏微分方程和最优控制问题(14]。同时,我们引入新的分数阶导数和积分运算矩阵运算符伯恩斯坦多项式,然后用它们解决分数微分方程(15- - - - - -17分数阶微分方程[],系统18),和部分最优控制问题(19,20.]。
在这项工作中,我们结合伯恩斯坦多项式(BPs)和Block-Pulse功能(带通滤波器)间隔。然后,我们使用这些基地寻找第二类积分方程的近似解。我们调用这个方法混合伯恩斯坦Block-Pulse函数方法(HBBPFM)。在这种方法中积分方程化为一个线性方程组。同时,我们讨论这种方法的收敛性分析。此外,我们比较结果的准确性的带通滤波器,基点,HBBPFM一些例子。
本文的其余部分如下。节2介绍了HBBPFs;因此我们也近似函数通过使用HBBPFs和我们讨论最佳逼近和收敛性分析3。然后我们HBBPF方法来找到一个近似解申请第二类积分方程,我们调查方法的误差分析部分4。同时,我们应用该方法在一些例子。我们观察到,这种方法的准确性和效率超过不久的方法。最后,部分6总结我们的工作。
2。伯恩斯坦和Block-Pulse功能的结合
在本节中,我们回忆起一些伯恩斯坦多项式的定义和属性和Block-Pulse功能。
引理1(见[19])。伯恩斯坦多项式(BPs)th-degree定义的时间间隔如下: 在哪里 然后在希尔伯特空间是一个完整的基础。因此,任何程度的多项式可以扩展的线性组合 。
引理2。让一组Block-Pulse功能(带通滤波器),的时间间隔这样。 然后,这些函数满足以下以下属性:(我)剥离,(2)正交性,(3)完整性。
证明。剥离属性可以清楚地从Block-Pulse函数的定义如下:
在哪里。
另一个属性是正交性。很明显,
在哪里和Kroneker三角洲。
第三个属性是完整性。对于每一个,当接近无穷,Parseval等式成立:
在哪里。
定义3(混合伯恩斯坦Block-Pulse函数(HBBPFs))。 ,,,有三个参数;和分别是带通滤波器的顺序和基点,然后呢是归一化的时间。HBBPFs定义的时间间隔如下:
在下一节中,我们处理这些函数的近似问题。
3所示。近似的函数通过使用HBBPFs和收敛性分析
定理4。假设函数是次连续可微的,。然后是最好的近似的用下面的内积: 在哪里和。此外,一个可以获得以下不平等: 在哪里。
证明。我们证明是最好的近似的。我们可以证明是真正的一个凸子集内积空间(见[21])。因此,对于任何,是它的最佳逼近当且仅当它满足 定义的内积是在哪里。然后对任何,其最佳逼近是独一无二的。同时,我们知道是一个凸和关闭有限维内积空间的子集。然后对任何,都有一个独特的元素这样。因此,存在独特的系数,这样 另一方面,我们可以考虑依据多项式空间的学位。因此我们定义。因此,从泰勒展开式 在哪里。自是最好的近似的,我们假设因此,我们有 然后通过根,完成证明。
前面的定理表明错误消失。
推论5。一个可以写,这样一个定义这是一个矩阵和双矩阵表示,一个可以获得
证明。我们知道 因此,证据就完成了。
推论6。一个函数可能扩展如下: 如果在无穷级数(16)被截断,然后 在哪里 因此我们可以得到 然后 在哪里 通过使用(7), 定义如下: 我们也可以近似函数如下: 在哪里是一个矩阵,我们可以获得如下:
定理7。函数是连续可微的;然后我们有 在哪里。
证明。通过使用定理4我们得到了 在哪里和。因此通过根,证明已完成。
上述定理表明,近似误差消失。
4所示。HBBPFs第二类积分方程和误差分析
在本节中,我们处理以下弗雷德霍姆第二类方程: 在哪里,,是一个未知函数。
让我们近似,,由(18)和(25)如下: 用(29日)(28我们获得 因此,我们有以下线性系统: 通过求解这个线性系统我们可以获得向量。
定理8。假设是精确解(28),HBBPFs近似解的吗和是扰动函数,只取决于。让。然后作为。
证明。假设是近似解的误差函数确切的解决方案。因此,我们得到
以绝对值和使用持有人不平等
现在,通过规范我们获得
最后,从定理7我们可以写
在哪里。
因此,我们可以证明作为。
5。数值例子
在本节中,我们讨论新方法的实施和调查其准确性通过应用不同的例子。在下面的例子中,我们假设,,由带通滤波器近似解,基点,HBBPFM精确解吗,分别。
例1。考虑下面的积分方程: 我们知道确切的解决方案。带通滤波器的结果,基点,HBBPFs被发表在表1和2并绘制在图1和2。我们比较结果和观察HBBPFM非常有效且近似解的精度超过带通滤波器的方法,此方法个基点。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
例2。考虑下面的积分方程: 与精确解。我们通过带通滤波器获得计算,基点,HBBPFM,,,;然后我们一起进行比较。结果被发表在表3和4并绘制在图3和4。类似于前面的例子,我们可以看到,该方法HBBPFM非常有效且准确的解决方案在这个方法不仅仅是带通滤波器和基点的方法。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
6。结论
摘要HBBPFs用于解决第二种积分方程与HBBPFM我们调用这个方法。这种方法第二类积分方程转化为线性方程组的答案HBBPFs膨胀系数的第二类积分方程的解。同时,通过使用几个引理和定理,我们已经讨论了该方法的收敛性分析。数值例子显示方法的效率和精度。而且我们看到解决方案的准确性HBBPFM比带通滤波器的方法和更令人满意的基点。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突。