文摘

本文给出了一个新版本的时间尺度上Gronwall不等式。证明的方法非常不同于在文学。最后,给出了应用程序显示的可行性得到Gronwall不等式。

1。介绍和动机

最近,一个有趣的研究领域是研究动态方程在时间尺度上,已进行了广泛的研究。例如,一个可以看到[1- - - - - -17)和引用引用。一个时间尺度是一个任意的非空的闭子集实数吗。的向前和向后跳转操作符是由。一个点,,据说离开密集如果和正确的密度如果和。映射定义为被称为粒状。一个函数据说是rd-continuous提供在right-dense点是连续的。所有这类的集合rd-continuous功能用。一个函数提供的是递减的为。表示。

重要的话题之一是时间尺度上的微分不等式。的非线性版本Gronwall不等式给出了(2定理6.4,页256)。这个版本声明如下。

定理。让,,。然后 意味着

采取,Gronwall不等式的经典版本(见[2推论6.7,页257)。

定理B。让,,,。然后 意味着

本文提出一种新版本的Gronwall不等式如下。

定理1。让和。假设,,。然后 意味着

备注2。注意,对不平等(5)减少 这是不同于不平等(3)定理定理以来B需要,我们看到定理B不能应用于(7)。此外,该方法用于证明定理不能用来证明定理1。解释这个,召回定理的证明(2]。让。然后和 通过比较定理和常量的变化公式, 因此定理一个遵循的。
现在我们尝试采用同样的想法用于(2估计不平等(7)。让。然后和 通过比较定理和常量的变化公式, 这意味着 如果我们使用相同的想法在2),我们应该结合(12), 然而,一方面,;另一方面,。这两个不平等不能带来什么。
因此,一些新奇的证明是用来证明定理1。在下一节中,你可以看到详细的证明。

2。主要结果的证明

在我们的证明定理1,我们需要一些前题。

引理3(链式法则(2])。假设在三角洲可微的。进一步假设是连续可微的。然后是δ可微和满足

引理4。假设是正的三角洲可微的和是递减的。然后是preantiderivative功能,在那里和是主要的对数函数。

证明。让。很明显,上是连续的。为了证明引理4,这就可以证明。事实上,利用引理3,我们有

定理的证明1。为了证明定理1,我们把它分成两种情况。
情况下1。为在这种情况下,我们有 因此,很容易得出结论为。
情况下2。为,让。对于任何,我们有 注意的是,,我们有。因此,我们有 乘以上面两边的不平等,它遵循 或 自,。使用这一事实不减少的对吗为,我们有 上面一个集成的不平等导致 它遵循从引理4那 或 导致 因此,为。这就完成了定理的证明1。

3所示。一个应用程序

不平等(5)有许多潜在的应用。例如,它可以用来研究房地产解决方案的动态系统。考虑下面的线性系统: 让和有两个解决方案(26)满足初始条件和,分别。

定理5。假设是有界的。然后一个 在哪里

证明。积分(7)/,我们有 表示,简单的计算使我们 由定理1,它遵循从(29日),

注6。可以看到,对于这种情况,(29日)减少 如你所见,定理B不能用于(31日)因为定理B的必要条件。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这项工作被JB12254支持。