文摘

我们关心的是一阶中立型时滞微分方程的振动 常系数,我们获得一些振荡的必要和充分条件在相应情况下的解决方案 和 。

1。介绍

延迟微分方程(dd)出现在许多领域广泛,像振动理论1- - - - - -9,稳定性理论10- - - - - -12),延迟网络系统的动力学行为(13- - - - - -15),等等。理论研究振荡dd具有根本意义的解决方案(见[16,17])。出于这个原因,弟弟已经吸引了许多数学家的极大的兴趣在过去几十年。

在本文中,我们考虑一种中性的dd 在哪里 是一个正数, , , , 都是正的常数。一般来说,一个解决方案(1)振荡如果最终它最终既不积极也不消极。否则,它是建立。可以看出在文献中有关解决方案的振荡理论(1)已经被广泛近年来开发的。

在[18张),得出以下结论。

定理。假设 和 ;然后所有的解决方案(1振荡。

这个结果在定理我改善相应的结果19]。之后,许多作者一直致力于研究这个问题,获得很多更好的结果。对于细节,Gopalsamy和张20.定理2所示]获得改进的结果。

定理2。如果 和 ,那么所有的解决方案(1振荡。

此外,周和Yu (21证明了以下定理。

定理3。假设 和 ;然后所有的解决方案(1振荡。
继续提高研究工作,肖和李22获得以下。

定理4。让 和 ;然后所有的解决方案(1振荡。
最后,林(23)获得V定理所示的结果。

定理V。假设 和 ;然后所有的解决方案(1振荡。
然而,所有上述结论仅限于充分条件 。本文的目的是建立系统振荡的必要和充分条件的所有解决方案(1)的情况下 和 。

2。主要结果

它是众所周知的24),所有的解决方案(1)振动的特征方程当且仅当(1) 没有真正的根。

定理1。假设 ,让 然后所有的解决方案(1振荡当且仅当 在哪里 是一个独特的零的 在 。

证明。很容易看到, ,我们有 因此任何真正的根(2)必须是负的。
接下来,我们 我们认为函数的单调性 。分化的收益率 在哪里 满足以下属性:(1) 为 ;(2) 是严格增加 因为这个函数 是严格增加 。
此外, 因此,我们得到了这个函数 有独特的零 在 。因此 为 和 为 ,这意味着 减少在 和增加 。因此, 为 当且仅当(7)没有真正的根 。很容易看到 的最小值 在 。因此, 没有真正的根 当且仅当 。自 立刻得到结果。

从定理1,我们立即获得以下。

推论2。如果 和 ,那么所有的解决方案(1振荡当且仅当 持有, 。

定理3。假设 ;然后所有的解决方案(1)振荡当且仅当拥有下列条件之一:( ) ;( ) ,
在哪里 和 独特的零吗 和 (见(3)和(4)) ,分别。

证明。让 ;然后 在哪里 ,满足 如果 显然,我们得到 对所有 。如果 ,我们也会 对所有 自 。因此, 对所有 。从这个和(11),我们得到 对所有 。因此, 是严格递减上 。此外, 因此,如果 ,我们有 。因此 。如果 ,我们有 。因此,它很容易找到这两个功能 和 有一个平等的和独特的零 。因此, 相当于 。

从定理1,所有的解决方案(1)振荡当且仅当(H之一1)或(H2)持有。

定理4。假设 ;然后所有的解决方案(1)振荡如果下列条件之一:( ) ;( ) ,
在哪里 是一个独特的零的 在 。

证明。如果 我们有, 从定理的证明1,所有的解决方案(1振荡。

如果 我们进一步假设 (否则,所有的解决方案(1由上述结论)振荡;也就是说, 。自 是一个函数的最小值 在 我们有, 和结果。

到目前为止,对 我们已经讨论了振荡的充分必要条件为所有解决方案(1)。我们的研究结果有完善的结果23)(见定理4)。接下来,我们将讨论解的振荡行为(1)的情况下 。

引理5。让 ;然后所有的解决方案(1)振荡当且仅当这个方程 没有真正的根 。

证明。由(14),我们知道 为 。不难看到 是严格递减上 而 是严格增加 。请注意, 在 ;我们发现 因此, 没有真正的根相当于吗 没有真正的根 。

定理6。假设 和 ;然后所有的解决方案(1振荡当且仅当 在哪里 。

证明。它类似于定理的证明1; 的最大价值 为 。这个引理5表示结果。

定理7。假设 和 ;然后所有的解决方案(1振荡当且仅当 在哪里 是一个独特的零(3) 。

证明。首先,我们证明 有独特的零 在 。事实上, 很容易验证 是严格增加 。此外, 因此, 有独特的零 在 。因此, 是严格递减上 和严格的增加 ,所以 有独特的零 在 作为 和 。

现在,从(8),它遵循 的最大价值 在 。由(10),我们知道(19)等价于 为 。

从定理7,我们获得以下扩展定理的推论1 (25] 。

推论8。如果 , , ,那么所有的解决方案(1振荡。

证明。的不平等 相当于 。从定理的证明7,我们得到 。这和(17)意味着 ;因此, 。

定理9。假设 和 ;然后所有的解决方案(1)振荡当且仅当拥有下列条件之一:( ) ;( ) ;( ) ,
在哪里 是一个独特的零的 在 和 的最大负0吗 。

证明。由引理5,所有的解决方案(1振荡当且仅当 从(20.),我们有 和 是严格递减上 和严格的增加 。因此, 的最小值 在 。

如果 的情况下(H1),我们有 结合(23)和(24),我们获得 这意味着 是严格递减上 ,因此,

如果 , 有独特的零 在 和一个独特的零 在 自 。因此 是严格增加 ,严格递减上 ,并严格增加 。因此, 的最大价值 在 。现在,很容易发现(22)认为如果 。

另一方面,应用 ,我们可以得到 所以 相当于 。这是(H2)。

如果 ,我们获得 有独特的零 在 和一个独特的零 在 。因此, 是严格递减上 ,严格增加 ,严格递减 。因此,不难发现,(22)当且仅当 这是(H3)。

从定理9马上,我们获得以下推论。

推论10。如果 , , ,那么所有的解决方案(1振荡。

例11。考虑下面的中立型时滞微分方程: 不难看到 , , , 。因此, , 所以,所有的解决方案(28从定理)是振荡9。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者要感谢编辑和匿名评论者的有用和有价值的评论。这项工作的部分支持由NSF的海南省111004年格兰特。