文摘

多组分割平等问题(MSSEP)需要找到一个点,这样,在那里和是正整数,和闭凸子集的希尔伯特空间吗,分别为,,是两个有界的线性算子。当,MSSEP称为分裂平等问题(9月)。如果,然后MSSEP和9月减少到著名的多组分离可行性问题(MSSFP)和分裂可行性问题(SFP)。本文的目的之一是引入一个迭代算法来解决9月和MSSEP无限维的希尔伯特空间框架的一些温和条件下的迭代系数。

1。介绍和预赛

1.1。介绍

让和非空的闭凸子集的希尔伯特空间和分别,让是一个有界的线性算子。多组分割可行性问题(MSSFP)是找到一个点令人满意的属性: 如果存在这样的点。如果,然后MSSFP减少到著名的分裂(SFP)的可行性问题。

SFP和MSSFP审查和Elfving[首次引入的1和审查等。2),分别吸引许多作者的关注由于其在信号处理中的应用(1和调强放射治疗2]。不同的算法被发明出来解决它;参见[1- - - - - -8),外星人。

最近,Moudafi [9)提出一种新的分裂平等问题(9):让,,是真正的希尔伯特空间;让,是两个非空的闭凸集;,让,是两个有界的线性算子。找到,令人满意的 当著名的SFP, 9月减少。

自然,我们提出以下多组分割平等问题(MSSEP)要求找到一个点,这样 在哪里和是正整数;和闭凸子集的希尔伯特空间吗,分别为,,是两个有界的线性算子。

在文献[9),Moudafi了交替CQ-algorithm和放松交替CQ-algorithm迭代算法求解分割平等问题。

我们使用表示9月的解集,也就是说, 并承担9月这样的一致性关闭、凸、非空的。

让在和定义通过;然后的矩阵形式 9月的问题可以作为寻找新配方与或解决最小化问题如下: 在文献[10),我们使用了众所周知的Tychonov正规化,有一些算法收敛强烈minimum-norm SEP的解决方案。

请注意,上述算法的收敛迭代系数取决于具体的需求。因此,本文的目的是介绍一个迭代算法来解决9月和MSSEP无限维的希尔伯特空间框架的一些温和条件下的迭代系数。

在本文的其余部分,表示希尔伯特空间上的标识符和是算子的不动点的集合。一个操作员在希尔伯特空间是扩张如果为每个和在,。据说是平均,如果存在和一个扩张映射算子这样。

让表示的投影到一个非空的闭凸子集的;也就是说, 众所周知,特点是下列不等式: 和是扩张和平均。

我们现在收集一些基本事实将用于我们的主要结果的证明。

引理1(见[11,12])。让巴拿赫空间,一个封闭的凸子集,一个扩张映射的映射,。如果是一个序列弱收敛于如果强烈收敛,然后。

引理2(见[13])。让是一个希尔伯特空间一个序列这样存在一个非空的集合满足以下。(我)对于每一个,的存在。(2)任何weak-cluster点的序列属于。
然后,存在这样弱收敛于。

引理3(见[4])。让和是平均运营商和假设非空的。然后。

下面的引理是至关重要的在我们的主要结果。

引理4。让,在那里与自共轭算子的谱半径在。然后我们有以下:(1) (例如,是扩张)和平均;(2) ,;(3) 当且仅当变分不等式的一个解决方案吗,尽管。

证明。(1)它是容易证明;我们只证明是平均的。事实上,选择,这样;然后,在那里是一个扩张映射的映射。也就是说,是平均的。
(2)如果,很明显。相反,假设,我们有。因此;然后;我们得到。它遵循。
现在我们证明。通过,是显而易见的。另一方面,,都和从引理,平均吗3,我们有。
(3)考虑

2。迭代算法为9月

在本节中,我们建立一个迭代算法收敛弱9月的一个解决方案。

5算法。选择任意初始点和序列是由以下迭代: 在哪里和与自共轭算子的谱半径在。

为了证明其收敛性,我们需要下面的引理。

引理6。序列生成的算法(10)是Fejer-monotone对;也就是说,每一个, 如果和。

证明。让并选择;由引理4,,我们有 此外,我们有 因此,我们可以得到 由此可见,,尽管,。

定理7。如果,那么序列生成的算法(10)9月收敛弱的解决方案(2)。

证明。让是9月的解决方案;根据引理6,我们可以得到的序列是单调下降,收敛于一些积极的现实。自和,(14),我们有
自Fejer-monotonicity,它遵循了吗是有界的。让weak-cluster角度,让指数的顺序,这样弱收敛于。由引理1,我们可以得到。由此可见,。
自,接下去弱收敛于。另一方面,。利用引理1我们再次获得。也就是说,。
因此。由引理4,我们得到9月是一个解决方案(2)。
整个序列的弱收敛适用所有著名的产生条件的引理(引理2)是实现与。

3所示。迭代算法MSSEP

在本节中,我们建立一个收敛的迭代算法,解决MSSEP弱。

我们使用表示MSSEP的解集,也就是说, 并承担MSSEP这样的一致性关闭、凸、非空的。

不失一般性,我们假设。事实上,如果,让,因为。

让在和定义通过;然后矩阵具有以下形式: 最初的问题现在可以作为寻找新配方与,或者更一般的,最小化函数在。

算法8。对于任意初始点、序列是由以下迭代: 在哪里,是一个序列,与自共轭算子的谱半径在。

下面的引理的证明类似于引理4,我们省略了证明。

引理9。让,在那里与自共轭算子的谱半径在。然后我们有,,。

证明其收敛性,我们还需要下面的引理。

引理10。任何序列生成的算法(18)是Fejer-monotone对;也就是说,每, 前提是是一个序列和。

证明。让并采取;由引理9,,尽管,我们有 此外,引理的证明都是一样的6,我们有 因此,我们有 由此可见,,尽管,。

定理11。如果,那么序列生成的算法(18)收敛弱MSSEP溶液(3)。

证明。从(22),这一事实和,我们获得 因此,
自Fejer-monotone,它遵循了吗是有界的。让weak-cluster角度。将子序列的这样弱收敛于那么,由引理1,我们可以得到;由此可见,。
让;由此可见,弱收敛于。
自 由此可见, 另一方面 因此 我们可以得到,和对所有。
此外,对于任何, 因此,对所有。利用引理1我们再次获得。也就是说,对所有。
因此。由引理9,我们获得是一个解决MSSEP (3)。
整个序列的弱收敛适用所有著名的产生条件的引理(引理2)是实现与。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这项研究得到了国家自然科学基金委资助。11071279;不。11226125;也没有。11301379。