文摘
钩端螺旋体病是一种传染性的疾病,损害肝脏和肾脏,发现主要在狗和农场动物和由细菌引起的。在本文中,我们目前的最优控制问题,应用于动力钩端螺旋体病感染的向量和人口通过使用多个控制变量。首先,我们展示的存在控制问题,然后使用分析和数值技术调查存在成本有效控制的努力有直接和间接预防这种疾病的传播。为了做到这一点,我们考虑三个控制功能两个人类和一个向量的人口。我们完全确定最优控制问题的数值解和计算最优系统使用一个迭代的方法。
1。介绍
钩端螺旋体病疾病是一个全球重要的传染病。这种疾病是由细菌引起的钩端螺旋体。人类和牲畜从这种疾病主要是感染1]。人类被感染的喝的水老鼠被发现已经死了,和牛,喝这水成为传染性。人类的尿液被其他动物和牛也因为钩端螺旋体病病菌感染的尿出来。那些通过脏水韦德的大多是感染这种疾病。威尔的第一次1886年称钩端螺旋体病是一种独特的疾病过程,而30年前Inada和他的同事们发现了因果生物体。钩端螺旋体病的症状为高烧、头痛、发冷、肌肉酸痛、结膜炎(红眼睛),腹泻,呕吐,和肾脏或肝脏问题(可能还包括黄疸),贫血,而且,有时候,皮疹。症状可能会持续从几天到几个星期。死于这种疾病可能出现,但他们是罕见的。在某些情况下可以轻度感染,没有明显症状2- - - - - -6]。
提出了许多模型来代表人类和向量的动态人口(7- - - - - -9]。Pongsuumpun et al。10)开发的数学模型研究钩端螺旋体病疾病的行为。他们代表的速度变化对大鼠和人类人口。人类人口进一步分成两个主要团体:青少年和成人。Triampo et al。11)被认为是确定性模型对钩端螺旋体病的传播疾病(11]。在他们的工作,他们认为在泰国和钩端螺旋体病感染人数显示数值模拟。扎曼(12)被认为是[提供的真实数据11]研究动力学行为和最优控制理论的作用。钩端螺旋体病的动态交互包括本地和全球稳定感染向量和人口可以在Zaman et al。13]。他们在工作的同时也提出了分岔分析,提出数值模拟不同价值观的感染率。在[14),作者提出了疟疾的流行病模型,通过使用三个控制变量,并获得最优解;更多的引用,例如,(14- - - - - -17]。
在这篇文章中,我们考虑到基本模型研究[13将一些重要的流行病学特征。我们用最优控制理论来减少人类感染的比例和受感染的向量群通过使用多个控制。在感染人类的长期水平,平均每感染人类导致另外一个中等情况。因此,如果我们能进一步减少感染人类,这种疾病做得并不好,增加恢复人类。这里我们定义控制变量;第一个控制是覆盖所有削减和穿干,全覆盖的靴子,鞋和长袖衬衫在处理动物。第二个控制代表定期彻底洗手和洗澡。清理工作地点和家是我们的第三个控制。要做到这一点,我们首先显示最优控制系统的存在。然后,通过求解最优的系统分析,包括原始状态的系统,伴随系统及其边界条件。 The real data presented for leptospirosis epidemic in Thailand have been used in numerical simulations. We also conclude by discussing the results of the numerical simulations for our epidemic mathematical model.
论文的结构组织如下。部分2致力于问题的数学公式和解决方案是进一步分为以下部分。部分2.1包括制定的数学模型部分紧随其后2.2它包含最优控制问题而部分2.3解释了分岔控制问题的分析。最后一节2.4讨论了控制问题的存在。部分3致力于最优系统的数值解。最后,结论部分给出了4。
2。数学公式和解决方案
2.1。数学模型
在本节中,vector-host流行病模型直接传输。宿主人口在时间分为敏感,感染和恢复个人。向量(老鼠)种群在时间分为敏感和受感染的向量群。人类用的总人口和总人口的向量用。因此,和。的数学表示系统的模型,该模型由五个状态变量的非线性微分方程给出 在这里是人口的招聘速度,受到人类可以通过两种方式感染传播,也就是说,直接或通过被感染的个体,然后呢,是调节传输系数。是人类的自然死亡率;是人类从感染的回收率。我们认为,疾病可能是致命的感染宿主,所以从感染类疾病相关的死亡率发生在人类。人类再次免疫易感速度常数。人口是招聘速度向量。由于疾病传染性向量模的速度向量的数量。代表了敏感的疾病携带矢量单位时间内每个主机;的死亡率是向量。
2.2。最优控制问题
最优控制理论是一种强大的数学工具使决策涉及复杂动力系统(18]。最优控制方法已被用于研究疾病的动态;我们参考读者19- - - - - -21];没有这样的方法,根据作者的知识,确定最优控制vector-host防疫措施直接传播。问题是尽量减少感染人类和向量人口和最大限度地恢复人口。在系统(1我们有五个状态变量,,,,。在这个最优控制问题,我们使用三个控制变量。(我)第一个控制(图7)代表,人类应该覆盖所有削减,擦伤和防水敷料,放牧,穿着干衣服,穿全覆盖的鞋子,手套和使用长袖衬衫在处理动物。(2)第二个控制(图8下班后)表明,人类应该经常泡澡或者淋浴和采用经常洗手的习惯。(3)我们的第三个控制(图9)代表了家庭和工作区域清洁。
人口,相关的感染是减少的因素和,分别。我们假设向量人口死亡率的增加速度成正比,在那里和速率常数。考虑到上面的扩展和假设,接下去的动力系统(1)是由以下五个微分方程组: 首字母条件 在哪里,,,是积极的保持生态平衡常数的大小个人吗,,,,分别。我们考虑控制变量的最优控制问题。在这里,,,是可测量的;,,。
2.3。分岔分析的控制问题
在本节中,我们目前的地方病平衡分岔分析进一步使用。为了做到这一点我们左边的系统(2)等于零,使用该技术开发的(22),得到 在哪里 的繁殖数量控制系统(2)是由 没有的繁殖数控制系统是由 在哪里和。在上面的表达式地方病平衡受感染的组件是零。使用的价值,,第一个方程的系统(2),我们得到 在哪里 这里的系数积极总是和取决于的价值;如果该值的,然后是正的;否则负。上述方程的正解的值取决于和。的值为上面的方程会导致两个根,积极的和消极的。如果我们的替代品,那么方程没有积极的解决方案。当且仅当这是可能的。为和平衡取决于;然后有一个开区间有两个正根,也就是说,和。为要么或,然后上面没有积极的解决方案。
我们落后的分岔集和和解决的临界值,这是由 实践证明通过模拟参数值在表的集合1。图1显示控制系统的分岔(2)。高大胆的黑线显示了分岔,也就是说,没有控制。小的黑色粗线显示了分岔,与控制。迅速的改变发生在分岔当我们运用控制变量。所代表的是第一个控制,这是大胆的虚线,虚线虚线代表第二个控制、显示的变化控制,非常狭窄的虚线代表第三控制和分岔控制变量的发生。
2.4。存在的控制问题
我们使用有界勒贝格可测的控制和我们的目标函数定义为 在(11),,,,,,,代表重量/平衡因素只是为了保持平衡个人的客观功能。被定义为设置的控制
请注意。控制变量的详细信息,,在节2.2。
首先,我们发现存在控制系统(2)。让,,,,状态变量与控制变量,,。我们认为存在控制系统(2)。然后我们可以把系统(2)以下形式: 在哪里 在哪里表示对时间的导数。系统(13)是一种非线性系统的有界系数。我们设置 右边第二项(15)满足 在积极的常数是独立的状态变量。我们也 在哪里。所以,由此可见,这个函数均匀李普希兹连续的。从控制变量的定义和非负初始条件我们可以看到,系统的解决方案(13)存在;参见[23]。现在,我们考虑到控制系统(2)与初始条件(3)来显示控制问题的存在。请注意,对于有界勒贝格可测控制和非负初始条件,存在非负有限状态系统解决方案(23]。让我们回到最优控制问题(2)- (3)。为了找到一个最优解,首先我们会发现拉格朗日和哈密顿光学控制问题(2)- (3)。我们的控制问题是由拉格朗日 拉格朗日函数的最小值,我们定义的哈密顿控制问题: 我们控制存在的问题,我们国家和证明以下定理。
定理1。存在一个最优控制这样 的控制系统(2)与初始条件(3)。
证明。为了证明最优控制的存在,我们使用的结果24];控制和状态变量都是非负的值。在这种最小化的问题,必要的目标函数的凸性,,是满意的。控制变量的集合也凸和封闭的定义。最优系统有界决定所需的密实度最优控制的存在。被积函数的目标函数(11)是在控制凸集吗。我们也可以很容易地看到,存在一个常数和积极的数字和这样 即存在一个最优控制问题。
为了找到最优解,我们应用Pontryagin的极大值原理25)由以下给出。
如果是一个最优控制问题的最优解,那么存在一个非平凡的向量函数满足如下不等式: 现在我们应用哈密顿的必要条件在(19)。
定理2。假设,,,和最优状态和最优控制变量相关解决方案吗最优控制问题(2)- (3)。然后存在伴随变量,因为,满足 横截性条件(边界条件) 此外,最优控制,,是由
证明。找到伴随方程和横截性条件下,我们利用哈密顿(19)。通过设置,,,,并区分哈密顿(19)对,,,,分别得到(23)。然后求解方程,,的内部控制集,然后利用最优性条件和控制空间的属性,我们可以推出(25)。
在这里,我们调用公式(25)最优控制的特征。最优控制和国家是由解决最优系统,由国家系统(1),伴随系统(23),初始条件(3),边界条件(24),最优控制的特征这是由(25)。此外,拉格朗日对的二阶导数,,分别是正面的,它显示了最小的最优控制,,。替换的值,,控制系统(2),我们获得以下系统:
与哈密顿在:
3所示。数值结果与讨论
在本节中,我们提出该模型的数值模拟和控制系统。提出的模型(1)和(2龙格-库塔订单4)解决方案,然后我们比较和没有控制的控制系统。获得的最优策略是解决国家体制和横断的伴随系统条件。在数值模拟中,我们第一次开始解决控制系统(2)利用龙格-库塔订单4方案提出方法时间然后解决落后的状态方程和伴随系统方法之前的迭代和值描述的系统(25)。重量常量用于客观功能,,,,,,。表中给出的参数的值2。
数据2和3代表着易感,感染人类。在这些情节虚线代表了控制系统和粗线显示了系统没有控制。在图2虚线显示控制的人口感染人类和粗线显示了人口受到人类的控制。虚线比粗线大幅下降。图3代表了情节的人口感染人类系统和没有控制。粗线显示感染人类的人口没有控制和虚线显示与控制的人口感染人类。虚线相比大幅减少粗线;这意味着感染者的人口减少控制系统。
在图4情节代表的人口恢复个体的两个系统。粗线显示的人口没有控制的系统和系统的虚线显示了人口控制。恢复人的人口大幅减少,而没有控制的系统。数据5和6代表的人口感染易感向量和向量,分别。图5代表矢量的人口和在两个系统中,有和没有控制。数据的虚线5和6显示了人口的矢量控制系统。图中的虚线5和6显示了人口的矢量控制系统。易受影响的人口矢量图中5减少一点的虚线。的人口感染矢量图6大幅减少的虚线。
4所示。结论
在本文中,我们研究了两个非线性系统的交互的哪一个是人,另一个是向量。最优控制问题的理论研究和数值模拟给出了。我们使用了最优控制策略来减少感染人类,受感染的向量和最大化的人口感染人类。模型开发从系统最优的数值模拟表明,感染人类的人口感染向量增加和人类敏感的人口减少。我们还表明,某些值的控制利率存在相应的最优解。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者感谢尊敬的编辑器和评论者的仔细阅读和建议大大提高了展示这项工作。