文摘

给出了解析解和一类奇摄动的级数解偏微分方程(SPPDE)结合传统微扰法(PM)和再生核方法(RKM)。研究了数值例子证明本方法的准确性。结果的表示方法是简单而有效的方法。

1。介绍

奇摄动问题(许可证)经常出现在数学的许多分支,如流体力学和化学反应器理论。众所周知,许可证具有多尺度特性的解决方案。所以有一些主要的计算困难。近年来,已研制出许多特殊的方法来处理许可证。许多论文(1- - - - - -4常微分方程)是致力于许可证和作者讨论了边界层的情况和宽度(s)和提供一些有效的数值算法。但是很少有论文(5- - - - - -7SPPDE)处理。

功能再生核希尔伯特空间已被证明在8- - - - - -10)解决一类大型线性和非线性问题。然而,在(8- - - - - -10),它不能被直接使用许可证。这项工作的目的是为了填补这一缺口。在本文中,我们解决一类许可证复制内核空间。通过使用传统的微扰法和RKM,一类SPPDE的级数解。本文的主要贡献是使用RKM SPPDE。我们使用这种方法的原因是,我们的目标是解决一些问题在许多领域的科学和提高精度高。

让我们考虑以下SPPDE: 在哪里是一个正数,功能和足够光滑,。在合适的连续性和兼容性的条件下,这个问题(1)有一个独特的解决方案。在[5- - - - - -7),我们注意到一个小的变化参数产生一个大变化的解决方案。很有名的,解决这些问题涉及边界层。

2。微扰法

让;(1可以同样变成了) 在哪里 针对传统微扰法(11),我们使用参数扩展解决方案 用(4)(2),我们得到 并将系数相同的权力收益率以下方程:

接下来,我们使用复制内核方法解决上面的方程,后获得的,从(6),(7),(8),…,因为;因此,分析解决方案(2)。现在,让我们介绍如何使用复制内核方法解决(6),(7),(8),…。

3所示。再生核方法

获得从(6),(7),(8),…,我们让 方程(6)可以转化为等价的形式如下: 方程(7),(8),可以转换成以下形式:

的目的是为了解决(11)和(12),我们需要引入复制内核空间,。就像在12),我们给复制内核空间: 然后,我们定义的内积。考虑以下: 从[13),我们可以证明再生核希尔伯特空间,内核的繁殖吗 所有这些之后,我们引入复制内核空间(14] 和它的内积;参见[15),和复制内核是

类似的定义,我们可以定义这是复制内核,在那里也是一个复制和繁殖内核内核空间吗(见[16- - - - - -18])。

很容易证明是一个线性有界算子,因为问题(1)有一个独特的解决方案;换句话说,也是一个可逆的运营商,所以19如果,在那里和,是存在的,是可数密集点。让,那里的gram - schmidt标准正交化和产生的系数,;然后 是方程的解析解。

(我)的线性问题。假设方程是一个线性问题;也就是说,;我们定义一个近似解通过

定理1(见[20.- - - - - -22收敛性分析)。让;然后实数序列是单调递减,和序列是收敛一致。

(2)非线性问题(见(23])。假设方程是一个非线性问题;也就是说,,在那里是一个非线性算子;我们给一个迭代序列: 线性方程的解决方案吗; 线性方程的解决方案吗。

引理2。如果,然后方程解吗。

定理3。假设非线性算子满足压缩映射原理;也就是说, 然后是收敛的。

使用复制内核方法,我们可以得到

因此,分析解决方案(2)。

在计算中,我们使用 的近似解(2)。

4所示。数值实验

例4。考虑非线性平流方程的扰动项 在哪里,是真正的解决方案,然后呢是近似解(表吗2)。当我们把,,数值结果给出了表1。

5。结论和讲话

本文结合传统的扰动和内核空间繁殖方法采用成功求解非线性平流方程奇异项。数值结果表明,本方法是一种准确、可靠。此外,该方法也有效解决其他非线性奇异摄动问题。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

本文由中国自然科学基金(11361037),内蒙古自然科学基金(2013 ms0109)和项目应用技术研究和开发内蒙古(没有的基础。20120312)。