文摘
特殊的捕食猎物的系统调查人口展品羊群行为提供自卫对捕食者,当捕食者中间,人口显示了个人主义的行为。考虑到总存在一个时间延迟的生物质转换的猎物的捕食者在此系统中,我们获得一个延迟捕食模型与功能反应和二次平方根死亡率。对于这个模型,我们主要调查正平衡态的稳定性和霍普夫分岔的存在通过选择时间延迟作为分岔参数。
1。介绍
在过去的几十年里,已经有很大兴趣的建设和研究种群动态模型的捕食系统。经典的捕食模型可以用广义形式(见[1]) 在哪里,表示数量或掠食者和猎物物种的密度分别猎物物种的相对生长函数在没有捕食者的情况下,是食肉动物物种的相对死亡率函数没有猎物,是捕食者对猎物的功能响应函数可以被解释为猎物的数量的变化连接每单位时间内捕食者与猎物数量的变化,然后呢生物质能转换或消费。
对于系统(1)、动态行为是由三个关键组件:,,。陈等人在1某些类型的总结和确定物种固有的种群动态(初级生产和死亡率,resp)。例如, 功能响应函数也可以分为不同的类型:温和I-IV类型(2,3),Beddington-DeAngelis类型(4,5),Ivlev类型(6),ratio-dependent类型(7),和这些类型的修改形式8- - - - - -18]。多年来,不同的数学模型,,已被许多研究人员描述构造不同的捕食系统;参见[2- - - - - -18]。
最近,一种捕食系统,羊群行为被一些研究者认为[19- - - - - -23]。在这种系统中,如在大草原和他们的大型食肉动物,食草动物猎物物种一起聚集在一起为了提供对捕食者,自卫和捕食者与猎物的外走廊群猎物(20.,21]。因此,它更适合模型的响应函数的猎物的猎物的数量的平方根为这类系统。在[20.],Braza视为一个平方根捕食系统功能的动态响应和比较系统的动力学捕食系统,使用一个典型的生态相互作用项。
此外,有一些论文关注的影响死亡率的形式条款动力学(23- - - - - -26]。Brentnall et al。24)指出,死亡率的捕食者通常是所描述的“线性形式”或“二次型”和二次死亡率适合中级捕食者(如食)。最近,元et al。23]研究羊群行为和空间捕食模型得出的结论是,图灵模式引起的二次死亡。富尔顿等人在25]表明,大型和相互关联的网用于生态系统模型,模型的行为是放牧的形式更敏感词比的死亡率接近食物网建模的条件。
另一方面,对于大多数的自然生态系统,每个物种不即时响应环境的变化或与其他物种在社区内的相互作用。因此模型与延迟更现实的(27- - - - - -31日),许多研究人员的关注延迟捕食系统;参见[32- - - - - -40)和参考引用。例如,肖和阮34]讨论了延迟捕食系统非功能性反应,表明有ibt奇点任何延时值和霍普夫分岔系统可以展览时间延迟通过一些关键值。许等人在36)提出了一种延迟周期L-V捕食系统的猎物two-patch环境中传播,并存在的充分条件,周期正解的唯一性和全球稳定。
出于上面的摘要,我们的目的是考虑猎物的捕食系统表现出从众行为,食肉动物物种是中间,存在一个时间延迟的公约生物量的猎物的捕食者。
本文组织如下。在下一节中,我们首先介绍我们的工作系统。节3通过分析特征方程,讨论了局部稳定性的一个积极的平衡和霍普夫分岔的研究存在积极的平衡。节4,利用范式理论和中心流形参数,显式公式推导确定方向的分岔和分支周期解的性质。一些数值模拟和最后一节给出了一个简单的讨论。
2。工作系统
Braza [20.)提出了基本的捕食系统与物流增长猎物,线性死亡率食肉动物物种,一个平方根函数响应函数。它是由 在哪里,表示数量的掠食者和猎物物种在时间,分别。的参数猎物的增长率,是它的承载能力,是食肉动物物种的死亡率没有猎物,捕食者对猎物的搜索效率,是生物转化率,捕食者猎物的平均处理时间。
以下引用(23]和[24),我们选择二次死亡率食肉动物物种的系统(3)。如果我们进一步考虑延迟,系统(3)应该被修改为以下形式: 在哪里代表了二次食肉动物物种和死亡率是时间延迟这意味着食肉动物物种的增长率取决于数量的猎物单位的时间。
通过同样的方式(20.,23),我们做一些扩展和假设平均处理时间为零。然后工作系统 系统的初始条件(5)的形式 在哪里,。
很容易验证系统(5总是有一个简单的均衡和一个边界平衡对于任何可行的参数。如果我们假设,然后系统(5)有一个独特的积极的平衡,在那里
3所示。稳定性分析和霍普夫分岔
由于生物系统的解释,我们只考虑积极的平衡。在本节中,通过选择作为分岔参数和分析相应的线性化方程组,我们调查正平衡态的稳定性和时间延迟的影响的动态系统(5)。
研究当地的正平衡态的稳定性,我们首先利用线性变换,,系统(5可以书面形式) 在哪里 因此,积极的平衡系统(5)转化为零的平衡系统(8)。
相对应的线性方程(8)是由 和它的特征方程 研究霍普夫分岔零平衡和稳定的系统(8),我们应该分析特征方程的根的分布(11)。一个简单的计算显示;因此不是一个根(11)。
当没有延迟,特征方程(11)减少 如果的两个根(12)将总是负的实际部分。因此,我们可以得到以下结果。
引理1。假设和;特征方程的两个根(11),总是负的实际部分;也就是说,零平衡系统(8),是局部渐近稳定的。
现在,让()的根(11);然后满足以下方程: 我们分离的实部和虚部 这意味着 请注意;我们可以发现(15)如果没有积极的根源,有一个积极的根如果,在那里 定义 我们有下面的结果。
引理2。假设和;然后下面的陈述是真实的。(1)如果的根(11)总是负的真实部分。(2)如果,(11)有一对纯虚根为。
接下来,引理的情况下2(2)中,我们将探讨横截条件是否满足。表示由的根(11附近)令人满意的,,。区分双方(11)对,我们得到 这是 我们可以进一步得到 然后我们有以下的结论。
引理3。假设,,;然后满足横截性条件;也就是说,
总结以上三个前题,我们可以获得以下稳定性定理和霍普夫分岔系统(5)。
定理4。假设和。对于系统(5),下面的结果是正确的。(1)如果,积极的平衡是局部渐近稳定吗。(2)如果,然后是局部渐近稳定时和不稳定时和系统(5)经历了霍普夫分岔当,。
4所示。霍普夫分岔方向和稳定性
在前面的小节中,我们获得的条件一个家庭正周期解分叉的平衡作为穿越的关键值。在本节中,我们将研究的方向霍普夫分岔和分支周期解的稳定性和时间运用范式理论和中心流形定理从Hassard et al。41]。方法是标准以来,我们只省略详细过程和主要结果。读者可以看到[41更多详细的推导过程。
假设系统(5)经历了霍普夫分岔为,然后相应的纯粹的虚构特征方程的根(11)。让 我们可以选择 这样特征向量的运算符对应于,特征向量的运算符对应于, 因此,我们可以计算 在哪里 现在,让 可由参数决定的系统(5)。定义 我们有下面的结果。
定理5。霍普夫分岔的方向是由:如果霍普夫分岔,然后是超临界(亚临界)和分支周期解存在;确定分支周期解的稳定性:分支周期解是稳定(不稳定);和决定的分支周期解:这段时间增加(减少)。
5。数值模拟和讨论
在本节中,我们提出一些数值模拟来验证我们的理论结果证明了利用MATLAB解决DDE在前面。我们模拟系统(5与初始值)。在数据1- - - - - -3起始点和积极的平衡分别由绿星和红星。
(一)
(b)
(c)
(d)
首先,我们选择参数,。在这种情况下,系统(5)只有一个积极的平衡。简单的计算表明,,满足条件的定理4(1)通过定理4(1),我们预计任何延迟值是稳定的。我们进一步选择四种不同的延迟值:,,,。计算模拟是描绘在图1。显然,计算模拟可以支持定理的结果4(1)。
接下来,我们选择参数,。积极的平衡系统(5)是。很容易证明,满足条件的定理4从公式(2)。在前一节中,我们可以计算出的值,,,作为 从中我们得出结论是渐近稳定的霍普夫分岔和系统(5)发生在关键的价值是超临界分支周期解存在什么时候十字架向右;的分支周期解是稳定的。通过和,我们可以在数据显示计算模拟2和3,分别。很容易看到,计算模拟的结果支持定理4(2)和定理5。
在本文中,我们考虑延迟猎物的捕食系统表现出从众行为和捕食者物种与二次死亡。我们的研究表明,对于系统(5),积极的平衡总是渐近稳定在一定条件下(见定理呢4(1))。换句话说,在这种情况下,相应的ODE体系是稳健的动力学行为的时间延迟。但是,在其他情况下(见定理4(2)),将失去它的稳定性和霍普夫分岔时出现延误通过一些关键值。在这种情况下,时间延迟系统动力学具有重要的影响。
我们的研究结果可能在捕食者-猎物丰富的动力学系统,帮助我们更好地理解捕食者与猎物之间的相互作用在一个真正的生态系统。进一步的研究是必要的分析更现实的动力,但复杂的系统,比如延迟扩散捕食系统与从众行为。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢处理编辑和审稿人的宝贵的意见和建议,导致论文的真正的显著改善。这项研究是由中国国家自然科学基金(没有。11271260),上海市重点学科建设项目(没有。XTKX2012),上海市教育委员会(没有创新项目。13 zz116)和上海市研究生创新基金项目(没有。JWCXSL1401)。