文摘
我们获得的必要和充分条件几乎保守的矩阵定义一个紧凑的运营商。我们也建立一些必要的和足够的运营商(或者只有充分)条件是紧凑的矩阵类,在那里。这些结果通过应用noncompactness的豪斯道夫测度。
1。介绍和预赛
的一些基本定义和符号这一节中,我们请参考[1,2]。让表示所有复杂的空间序列,让所有序列的集合,在零终止。让,,表示所有有界的空间、收敛和空序列,分别。我们将编写和所有收敛的空间和绝对收敛级数,分别。此外,我们将使用的约定和在哪里在th每个地方。
序列空间和,我们写 叫做的乘数空间和。的- - - - - -,- - - - - -,双刀的序列空间分别用,,,是由
在这篇文章中,矩阵是无限的复数矩阵。如果是一个无限矩阵与复杂的条目吗,那么我们写而不是。同时,我们写的序列th排;也就是说,对于每一个。此外,如果,那么我们定义- - - - - -变换的的序列,在那里 为每个提供了右边的级数是收敛的。
对任意序列空间和,我们写类的无限矩阵映射成。因此当且仅当对所有和对所有。
的理论空间是最强大的工具的特征矩阵序列空间之间的转换。
一个序列空间被称为如果是巴拿赫空间连续坐标,在那里表示复杂的领域对所有和每一个。
序列空间,,是空间与通常的一口规范给出的的上确界是接管。此外,空间是一个空间与往常一样规范定义的。
如果是一个空间和,那么我们写 提供了右边的表达式和有限的情况存在,在那里的单位球吗;也就是说,。
一个序列在一个线性度量空间被称为Schauder基础(或短暂基础)如果对于每一个存在一个唯一的序列的标量;也就是说,,在那里被称为部分的。该系列的总和被称为扩张的,被称为的系数序列的关于基础。
让和是巴拿赫空间。然后,我们写所有有界的线性算子,这是一个巴拿赫空间的算子范数对所有。一个线性算子据说是紧凑的如果域是所有的和每一个有界序列在,序列有收敛的子序列。一个操作员据说是有限秩如果,在那里表示的范围空间。操作员的有限秩显然是紧凑的。此外,我们写类的所有小型运营商来。让我们的话,每一个紧凑的运营商有界;也就是说,。更准确地说,这个班是一个封闭的巴拿赫空间的子空间算子范数。
最后,以下为我们的调查结果是基本。
引理1。让表示的任何空间,,或。然后,一个和对所有。
引理2。让和是空间。然后,一个;也就是说,每一个矩阵定义了一个操作符通过对所有。
2。Noncompactness的豪斯道夫测度
大多数的定义、符号和基本结果,本节从[3]。在,我们会写所有收集的度量空间的有限子集。如果,那么豪斯道夫测度的noncompactness的设置,用,定义所有实数的集合的下确界这样可以由有限数量的球的半径吗和中心。这同样可以重新定义如下:
这个函数被称为豪斯道夫测度的noncompactness。
如果,,有限的子集是一个度量空间吗,那么我们就有 此外,如果是一个赋范空间,那么函数有一些额外的属性与线性结构;例如, 让和是巴拿赫空间和和noncompactness的豪斯多夫的措施和,分别。一个操作员据说是,- - - - - -有界的如果对所有并且存在一个常数这样对所有。如果一个运营商是,有限的数量对所有被称为- - - - - -测量的noncompactness 。如果,那么我们写。
让和是巴拿赫空间和。然后,noncompactness的豪斯道夫测度,用,可以确定 我们有, 此外,该函数更适用于巴拿赫空间。最有效的方法在表征之间的小型运营商巴拿赫空间运用noncompactness的豪斯道夫测度。以下结果Goldenštein et al。4定理1]给出了一个估计的豪斯道夫测度noncompactness在巴拿赫空间Schauder基地。
引理3。让是一个巴拿赫空间Schauder基础和和投影机在线性的。然后,一个 在哪里和运营商定义为每一个通过,称为投影到线性的。此外,所有操作符和equibounded,表示单位算子。
特别是,以下结果显示了如何计算noncompactness的豪斯道夫测度空间和这是空间与。
引理4。让是一个有界赋范空间的子集,在那里是为或。如果定义的操作吗对所有,然后有 很容易看到 另外,众所周知,是一个Schauder基础空间和每一个序列有独特的代表,在那里。因此,一个定义了投影仪在线性的,通过 对所有与。在这种情况下,一个有以下。
引理5。让和投影仪上的线性跨度。然后,一个 在哪里是标识符。
3所示。几乎保守的矩阵
连续线性泛函在据说是一个巴拿赫限制如果它有以下属性:如果(二),(iii);在哪里是移位操作符定义为。
一个有界序列据说是几乎收敛(洛伦兹5])的价值如果所有的巴拿赫限制一致;也就是说,对于所有巴拿赫的限制。
洛伦兹建立了以下特征。
一个序列几乎是收敛的号码吗当且仅当作为统一在,在那里
数量被称为广义的极限,我们写。我们表示所有几乎收敛序列的集合;也就是说,
注6。请注意,每个包含是适当的。
注7。自,我们有因此。因此,它是自然的,(4)和引理1那对所有。
备注(见[86])。 是BK-space。
备注(见[96])。
是一个不可分的闭子空间的。
使用的想法几乎收敛,王7)定义和特征几乎保守,几乎正则矩阵。
无限矩阵据说是几乎是保守的如果对所有,我们表示它。如果除了,然后被称为几乎是常规的。
备注10(见[7定理1])。一个矩阵几乎是保守当且仅当吗(我)
,(2)
为每一个,(3)
。
现在,我们证明如下。
定理11。让几乎是一个保守的矩阵。然后,一个
证明。让我们评论,右边的表达式(17)存在,备注是有限的10(我)。我们写为短。自由引理,我们有2那。因此,我们获得的(8),
我们定义的运营商通过对所有。然后,我们有
在哪里是标识符。因此,它遵循的基本属性的功能那
对所有。此外,我们为每一个那对所有。因此,通过使用(3),(4),引理2,我们得出,
因此,我们获得的
因此
这和(19)产量(17)。最后,我们得到了(18)(9)和(17)。
这就完成了证明。
值得一提的是,条件(18运营商)只是一个充分条件紧凑,几乎是一个保守的矩阵。更准确地说,下面的例子将展示这是可能的紧凑而。因此,在一般情况下,我们刚刚“如果”(18)的定理11。
示例12。定义矩阵通过和为。然后,我们有对所有因此;也就是说,几乎是保守的。另外,很明显,是有限的所以排名吗紧凑。另一方面,我们有因此对所有。这意味着。
4所示。紧凑的运营商的强烈保守的矩阵
无限矩阵据说是强烈的保守如果对所有,我们表示它。如果除了,然后被称为强烈的常规(cf。5])。
在这最后一节中,我们建立一些必要的和足够的运营商(或者只有充分)条件是紧凑的矩阵类,在那里。
我们可以从下面的前题需要的续集。
引理13。如果矩阵在任何的类,,或,然后
证明。这可以从类以洛伦兹(5),利用这一事实,,。
这就完成了这个定理的证明。
引理14。如果,然后有
证明。它是微不足道的,(26),因为对所有。此外,通过结合(26)和引理13,我们为每一个那这意味着(27)持有。最后,它是由(27)和引理13(28)持有。
这就完成了这个定理的证明。
现在,我们证明以下noncompactness豪斯道夫测度的结果。
定理15。让是一个无限矩阵。然后,一个具有以下。(我)如果,然后 (2)如果,然后 在哪里对所有。(3)如果,然后
证明。让我们评论的表达式(29日),(30.)和(31日)存在的前题13和14。
我们写。然后,我们获得的(8)和引理2那
(我)。因此,它是通过应用引理3那
在哪里定义的操作吗对所有。这个收益率对所有和每一个。因此,通过使用(3),(4),备注7,我们为每一个那
这和(33)暗示
因此,我们得到了(29日)(32)。
为了证明(ii),。因此,我们要运用引理4得到一个估计的价值在(32)。为此,我们被定义的投影仪(13)。然后,我们为每一个那因此
对所有和每一个,在那里和是标识符。
现在,通过使用(32),我们获得通过引理5那
此外,自通过结合前题13和14那和对所有。因此,我们来自(36),
对所有和每一个。因此,它是由(4),
因此,从(37)我们(30.)。
(3)。因此,我们定义通过对所有。然后,证明可以实现同样的定理的证明11。
这就完成了这个定理的证明。
最后,我们结束我们的工作由以下推论。
推论16。让是一个无限矩阵。然后,一个具有以下。(我)如果,然后 (2)如果,然后 在哪里对所有。(3)如果,然后
评论17。在我们的例子中12,它可以显示同样的等价(42)的推论16不持有。
评论18。因为矩阵BK空间之间的映射定义这些空间之间有界的线性算子的巴拿赫空间,自然使用的豪斯道夫测度noncompactness获得必要和充分条件矩阵之间的运营商BK空间紧凑的运营商。这种技术最近已经被几位作者在许多研究论文(cf。8- - - - - -14])。noncompactness进一步的技术措施也被用于解决无限微分方程组在某些序列空间(见[15- - - - - -17])。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者欣然承认阿卜杜勒阿齐兹国王大学的金融支持,吉达,沙特阿拉伯。