文摘

在本文中,我们研究的欧拉数和欧拉多项式是分析继续和。我们调查的零动态的新概念分析持续多项式与伯努利方程的解决方案。最后,我们观察到一个有趣的现象“散射”的0。

1。介绍

通过使用软件,许多数学家可以探索概念比过去更容易。能够创建和操纵数据在电脑屏幕上允许数学家快速可视化并产生许多问题,检查的属性数据,寻找规律,并作出推测。这个功能尤其令人兴奋,因为这些步骤是必不可少的对于大多数数学家真正理解基本概念。最近,计算环境将使越来越多的快速发展,出现了越来越浓的兴趣借助计算机解决数学问题。数学家们研究不同种类的欧拉,伯努利,切线,Genocchi数字和多项式。伯努利方程的数值实验多项式,欧拉多项式,Genocchi多项式,和切多项式近年来广泛研究的主题,已经取得了许多进步数学和计算(见[1- - - - - -18])。在这篇文章中,我们总是使用以下符号:表示自然数的集合,表示的非负整数,表示整数的集合,表示实数集表示复数的集合。让一个复数和。伯努利方程是一个众所周知的一阶非线性微分方程。这是写成 在哪里和是连续函数。为和方程是线性的,否则它是非线性的。当,伯努利方程的解决方案的功能指数生成函数的欧拉数。西姆西可(18]介绍了欧拉数和多项式。他给了复发的身份欧拉多项式和连续的交替的权力整数。在[13),我们描述了美丽的0欧拉多项式使用一个数值调查。我们也调查了零的分布和结构欧拉多项式通过使用计算机。

让我们定义欧拉数和多项式如下: 观察,如果,然后和,在那里和分别表示欧拉多项式和数字(见[2,5,8,16,17])。

因此欧拉数通过定义生成函数 众所周知,当一个特殊的伯努利方程 有解决方案 ,伯努利方程有解的指数函数生成的函数欧拉数。因此,一个现实的研究分析继续多项式使用电脑是非常有趣的。本文的目的是观察一个有趣的现象分析的“散射”的零多项式在复杂的飞机。

通过使用电脑,欧拉数可以明确地决定。其中的一些

定理1。为,我们有

由定理1一些基本的计算后,我们有

自,(9),我们得到

然后,它很容易推断出多项式的程度。这是第一个列表欧拉的多项式:

2。分析的延续欧拉数

在本节中,我们介绍了欧拉ζ函数和赫维茨欧拉ζ函数。通过欧拉ζ函数,我们考虑的功能分析的延续欧拉数。更多的研究这个问题时,你可能会看到2- - - - - -5,7- - - - - -9,12,13,18]。

从(4),我们注意到 通过使用上面的方程,我们现在准备定义欧拉ζ函数。

定义2。让与。考虑
观察到是亚纯函数。很明显,(见[3,4,7- - - - - -9,12,13,18])。请注意,欧拉ζ函数可以分析整个复杂的飞机,继续和这些ζ函数的值欧拉数为负整数。

定理3。为,我们有

观察到函数篡改数字在非负整数。

通过使用(3),我们注意到 由(16),我们现在可以定义Hurwitz-type欧拉ζ函数。

定义4。让与。考虑
请注意,是亚纯函数(见[3,4,7- - - - - -9,12,13,18])。之间的关系和由以下给出定理。

定理5。为,我们有

我们现在考虑的功能分析的延续欧拉数。从上面分析的延续欧拉数,我们考虑

在图1(一),我们选择和。在图1 (b),我们选择和。

所有的欧拉数同意分析的延续欧拉数评估在(见图1),

事实上,我们无法用语言来表达而言,的导数,,如下所示: 从关系(21),我们可以定义其他分析持续的一半欧拉数 由(22),我们有 曲线贯穿的点和成长渐近的(见图2)。

在图2(一个),我们选择和。在图2 (b),我们选择和。

3所示。分析欧拉多项式的延续

在本节中,我们观察分析欧拉多项式。回顾(13)和(22),一致性的定义,应该类似地重新定义为欧拉多项式 让γ函数。然后解析延拓可以获得 在哪里给出了整数的一部分,所以给出了小数部分。

由(25),我们获得分析的延续欧拉多项式为和如下: 通过使用(26),我们绘制曲线的变形的曲线通过实际分析延续,,(见图3)。

接下来,我们调查的美丽的0通过使用计算机。我们策划的0为,,,(图4)。在图4 (b),我们画和轴,但没有轴在三维空间中。在图4 (c),我们画和轴,但没有轴在三维空间中。在图4 (d),我们画和轴,但没有轴在三维空间中。

在图4我们观察到,,,已经反射对称分析复杂函数(图4)。明显的推论是0还将继承这些对称性: 在哪里表示复杂的共轭。

最后,我们调查的美丽的0通过使用计算机。我们策划的0为,,,(图5)。

在图5(一个),我们选择。在图5 (b),我们选择。在图5 (c),我们选择。在图5 (d),我们选择。

自 我们获得

观察到,,已经反射对称除了通常的反射对称分析复杂的函数(见[14])。问题是,发生反射对称(29日),当一个人考虑欧拉多项式?证明,,没有反射对称分析复杂函数(图4)。然而,我们观察到,,已经反射对称分析复杂函数(图5)。

栈的零为,,提出了三维结构(图6)。

在图6 (b),我们画和轴,但没有轴在三维空间中。在图6 (c),我们画和轴,但没有轴在三维空间中。在图6 (d),我们画和轴,但没有轴在三维空间中。

我们的数值结果的零的近似解,,会显示出来。我们观察到一个非常普通的结构复杂的根源欧拉多项式。我们希望验证非常常规的结构复杂的根源欧拉多项式(表1)。

接下来,我们计算一个近似的解决方案满意,,,。结果在表2。

在图7,我们把真正的零欧拉多项式为,,,(图7)。在图7(一),我们选择。在图7 (b),我们选择。我们想找一个公式,最适合一个给定的一组数据点。最小二乘多项式拟合的方法用于或一组函数给定的数据点集。使用最小二乘方法,我们可以找到和这样是最小二乘适合给定的数据表2。数据点的图像显示在图7。我们获得为。我们还获得为和为。真正的零渐近的。

的欧拉多项式多项式的程度。因此,有0和有0。当离散分析继续连续参数吗,这自然会导致以下问题。

如何分析的延续,拿起另外一个零不断增加的一个?

这介绍了令人兴奋的零动态分析的概念继续欧拉多项式,的想法看零如何在移动复平面上不同的参数。

有一个零的运动的物理图像复杂飞机,想象,每一次逐渐增加,不断,一个额外的真正的零苍蝇从正无穷沿着积极的轴,逐渐减慢,好像通过粘性介质“飞行。”

对于这门课更多的研究和结果,你可能会看到(6,11- - - - - -15]。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。