文摘
存在性和唯一性的充分条件获得连续解的线性模沃尔泰拉积分方程出现在开发系统的模型。沃尔泰拉积分方程的第一种分段光滑的内核。说明性的例子。
1。介绍
沃尔泰拉积分方程的第一种变量积分上限和下限研究了沃尔泰拉自己(1]。上半年这一主题的出版物的综述了20世纪2和后来的研究讨论了3- - - - - -5]。
明显推动这一领域的发展与研究[6),提出了一个宏观经济two-sector积分模型。Glushkov模型的发展中系统进一步扩展(7,8),在许多应用程序中使用(见[9)和引用)。特别是,一个部门Glushkov版本的模型应用于电力工程问题被认为是在10- - - - - -12]。近年来研究人员得到方程(见[所吸引13)和引用其中),在一般情况下有以下形式: 在哪里 内核和右边是给定的,而是一个未知的理想解决方案。
在解的存在性和唯一性的问题(1)的空间,以及数值方法,详细研究了(5]。在本文中,我们将感兴趣相同的问题(1)。此外,为简单起见,我们只会考虑这种情况,因为许多结果很容易推广的情况。
2。充分条件的正确性(1)成对的,
为了方便起见,现在的(1),算符形式 ((3)假设没有普遍性的损失)。
让内核和是连续的参数和连续可微的的地区和,分别,,,。我们将假设
特别是,(4)适用于,。进一步采取连续可微的函数的空间意味着什么在与规范和额外的条件。如果 然后,随着成立于(5,106页),下面的估计是正确的: 在哪里
估计(6)可以获得存在的充分条件,唯一性和稳定性的解决方案(3),对。
定理1。让下面的不平等适用: 在哪里 然后(3)在阿达玛的感觉是正确的。
证明。通过功能分析的一个著名的定理(见,例如,14212页)
然后操作员有一个有界逆,因此,(3)在阿达玛的感觉是正确的。我们表明,(8)- (9)不平等(10)适用。
作为
然后
和(10从()之前6)和(12)。
条件(8)获得了在假设内核是定义在。如果它是可能的扩展定义的域来,所以的正确性,然后充分条件(3)以以下方式修改。代表第一项(3)的形式 然后(3)可以表示为
(见[以来5,第12页) 在哪里 然后充分条件的正确性(14)给下面的定理。
定理2。让不平等 在哪里 适用。然后(14)在阿达玛的感觉是正确的。
证明。有明显变化,重复的证明定理1。
让我们用下面的例子说明结果。
考虑方程 在这里(5)- (7),,,,,,,;因此基于(8)不平等 和基于(17)不平等 给下面的估计保证存在的唯一性和稳定性的解决方案(20.)的空间: 它是有用的比较(23)从获得的估计(20.)等价的泛函方程。分化的20.)给 那里 和条件 提供的系列(25)连续函数在。
如果在(20.) 然后条件(26)是违反了。然后很容易看到齐次方程 有一个非平凡解例如,如果,非齐次方程的解 是一个单参数的家庭: 让现在 然后,根据(24), 那里 这样的右边(20.),,从(33我们获得
在本节的结论应该注意,不平等(8)和(17)可以理解为约束值,保证,正确的(可解性3)。在左边(因为所有参数8)和(17)不减少的功能和右边的(8)和(17)(),相反,单调减少,那么真正的正根相应的非线性方程,给出了保证下界的估计存在,而且是独一无二的是足够小。在某些特殊情况下,这可以找到根源分析的兰伯特的功能(15,16]。
在[17- - - - - -22]作者研究了连续解局部性的特点和兰伯特的角色功能应用于多项式(多重线性)沃尔泰拉第一类方程。测试的计算实例表明,线性方程的解的局部性特征(3)不是误差估计的结果(8)和(17)和反映出的细节考虑的问题。在本文中,我们不要停留在数值求解的问题(3)。它是独立的利益,值得特别注意。
3所示。沃尔泰拉积分方程的第一种不连续的内核
方程(2)可以写在第一类沃尔泰拉积分方程的形式: 用不连续的内核
(说明的基本区别35),(36),和古典沃尔泰拉第一类方程与光滑的内核,我们将自己限制于(20.)的形式(35) 在哪里,。特别是,在,,
内核(38) 如果是连续的参数和连续可微的对吗在,然后条件(40)意味着(35第三类是沃尔泰拉积分方程。
理论(其沃尔泰拉(见[奠定了基础24,页104 - 106)))方程是研究开发的马格尼茨基(25- - - - - -28]。
特别是,作者的25- - - - - -28]研究的结构或参数家庭的解决方案(35)。
如果是不连续的,那么解决方案(35)可能是nonunique,即使。
例如,如果和方程的解 是一个单参数的家庭: 但是,通过(37),,。
现在我们表明nonunique可以有解决方案(35)和(36即使在情况)。让 这条件是真的。
我们证明解决方案(35),(37)和(35),(43)一致。它可以表明,等效功能方程(35),(37)和(35),(43)一致。回想一下,(35),(37)等效函数方程(24)。
定理3。相当于功能方程(35),(37)和(35),(43)一致。
证明。让我们代表(43)
在哪里——是一个亥维赛函数:
替换(44)(35)给
第二个积分变换。让。然后
由于(47),分化(46)的结果
但
由于(49)我们有
从(48),最后
和(51)正值(24)。
的解决方案(35),(43)在分段连续函数的类跳线从应用程序角度很有趣。
很容易看到,这个解决方案
最后考虑的概念卷积。沃尔泰拉积分方程卷积的类型 对应用程序很重要。
给一些积分方程的反演公式 (1)如果 ,,然后 (2)如果 ,,,然后 (3)如果 ,,,然后 在,(55第三类是沃尔泰拉积分方程。(4)如果 ,,,然后 (5)如果 ,,,,然后
4所示。结论
在介绍中提到的,本研究的主要结果可以很容易地应用于案例在(1)。的方程类型(1)不仅是理论的兴趣,也扮演着重要的角色在发展中动态系统的数学建模。而且,通过,我们可以意味着一些标准,描述系统作为一个整体的发展水平,以及届任期(1的系统组件)代表一个贡献的th年龄段,其操作是反映在效率系数。作为一个规则,。例如,这种方法实现(29日,30.),问题的分析策略的长期扩张俄罗斯电力系统发电厂设备的老化的考虑。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者希望感谢评论者对他们有用的笔记。这项研究支持的俄罗斯基础研究基金会批准号12 - 01 - 00722 - a。