文摘

由于凸集分离定理,一个必要条件和一个充分条件ε向量均衡问题约束了。然后,通过使用Gerstewitz凸分离功能,充分必要条件ε向量均衡问题没有约束。

1。介绍

向量优化问题的统一模型,向量变分不等式问题、变分包含问题和向量互补问题,向量平衡问题深入研究。存在的结果建立了各种各样的向量平衡问题,例如,看到1- - - - - -5)和引用。但到目前为止,很少有论文的处理解决方案的属性向量均衡问题。Giannessi [3)获得充分条件有效解和弱有效解向量变分不等式在有限维空间中。龚(6)获得一些弱有效解的最优性条件,赫宁格有效解决方案,在全球范围内有效的解决方案,和超有效解向量平衡问题约束利用凸集分离定理。龚(7弱有效解的数值结果,赫宁格有效的解决方案,和全球没有约束向量均衡问题的有效解决方案。

另一方面,在某些情况下,它不可能找到一个最优化问题的精确解,或根本不存在这样一个确切的解决方案,例如,如果可行集不紧凑。因此,它是有意义的去寻找一个近似解。也有许多论文探讨近似解的问题,如(1,8- - - - - -11]。木村等。1)获得几个存在的结果 向量均衡问题和解决方案的下半连续性的映射 向量均衡问题。安和同庆10)被认为是两种解决方案集参数广义 向量quasiequilibrium问题的充分条件,建立了豪斯多夫半连续性(或Berge半连续性)这些解决方案的映射。古普塔和用9]介绍了两个新的鞍点近似的概念和研究两种类型的向量优化问题的近似解巴拿赫空间设置。李x b和s . j .李11)获得了Berge下半连续性和Berge近似解映射的连续性参数向量均衡问题。

本文的目的是描述的最优性条件 向量均衡问题。本文组织如下。节2,我们回忆起主要的概念和定义。节3,我们得到一些最优性条件 向量均衡问题和 分别约束向量均衡问题。

2。预赛

让 和 是两个真正的豪斯多夫拓扑向量空间和 是一个真正的局部凸拓扑向量空间分离。假设 和 是两个尖闭凸锥在吗 和 与非空的内部 和 ,分别。让 和 拓扑的对偶空间 和 。表示的双锥 通过 和 通过 : 让 有,我们有 是一种弱*紧凑的基础 。

定义1。让 是一个非空的凸子集 ,让 是一个向量值映射。 据说是 凸当且仅当, 和 ,

定义2(见[12])。鉴于 分离,Gerstewitz凸函数 被定义为
接下来,我们给一些有用的上述数值函数的性质。

引理3(见[13])。让 。拥有以下属性:(我) ;(2) ;(3) 是一个连续函数;(iv) 严格单调递增,如果 。

3所示。最优性条件

在本节中,我们首先处理以下 约束(简称向量均衡问题 -VEPC):找到 这样 和约束集 在哪里 是一个非空的子集的 , 是一个向量值映射, 是一个向量值映射, , 是一个正实数。

如果 , ,如果 是一个解决方案 -VEP,然后 是一个解决方案 向量优化问题的有效解决方案 ,在那里 是一个向量值映射。

首先,我们给出一些必要和充分条件 向量均衡问题,利用凸集分离定理约束。 凸性假设: 和 ,存在 这样

备注4。(我)的假设( )不需要 是一个凸集。
(2)我们说 是 -convex-like在 如果 满足(6), 是 -convex-like如果 满足(7)。
(3)如果 是一个凸集, 是 凸的 , 是 凸,然后假设( )是满意的。

定理5。让 和 是一个非空的子集 。让 向量值映射 ,尽管 ,让 是一个向量值映射。假设( )满意和存在 这样 。如果 是一个解决方案 -VEPC,然后存在 和 这样 在哪里 是一个正实数。

证明。让 是一个解决方案 -VEPC。我们考虑一组 假设,很明显, 和 是一个开放的。现在,我们证明吗 。如果不是,定义的 ,然后存在 这样 因此, 。这个矛盾 是一个解决方案 -VEPC。因此, 。
接下来,我们证明 是凸集,让 和 。的定义 ,存在 这样 然后,通过(11),我们有 假设,存在 令人满意的 和 。也就是说, 是一个凸集。
因此,通过凸集分离定理,存在 这样 让 ,存在 这样 和 。因此,对于每一个 , , 和 ,我们有 和 。由(13), 让 ,我们得到 ,尽管 。自 是闭凸锥,连续性的 , ,尽管 ;也就是说, 。同样的, 。我们下一个展示 。事实上,如果 ,(13),我们有 假设,存在 这样 。然后,我们得到 。上述 ,我们有 由(15), 。这是一个矛盾。也就是说, 。
很明显, ,尽管 , 和 。因此,通过(13),我们有 让 , 自 , 。因此,让 , 假设,很明显, 。
自 ,尽管 , , 和 ,(13),让 ,我们有 让 。然后,
这就完成了证明。

定理6。让 ,让 是一个非空的子集 。让 向量值映射 ,尽管 ,让 是一个向量值映射。如果存在 , , 这样 然后 是一个解决方案 -VEPC, 是一个正实数。

证明。让 ,假设存在 和 这样 我们接下来将会显示 是一个解决方案 -VEPC。如果不是,那么存在 这样 自 和 ,我们有 因此,通过(23), 这是一个矛盾。因此, 是一个解决方案 -VEPC。这就完成了证明。

接下来,我们考虑以下 没有约束(简称向量均衡问题 -VEP):找到 这样 在哪里 是一个非空的子集的 , 是一个向量值映射, , 是一个正实数。

如果 , ,如果 是一个解决方案 -VEP,然后 是一个解决方案 向量优化问题的有效解决方案 ,在那里 是一个向量值映射。

定理7。让 和 是一个非空的子集 。让 向量值映射 ,尽管 。然后 是一个解决方案 -VEP当且仅当 在哪里 是一个正实数。

证明。如果 是一个解决方案 -VEP,然后 由引理3(2),我们有
另一方面,假设 不是一个解决方案 -VEP。然后,存在 这样 由引理3(我) 这是一个矛盾。这就完成了证明。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究受到了项目支持的关键中国国家自然科学项目(批准号71133007),中国国家自然科学基金(批准号71373297),新世纪优秀人才计划在中国教育部大学(ncet - 10 - 0883)。