文摘

我们主要研究多值映射的不动点定理——远程使用Wardowski在完备度量空间的技术。让是一个度量空间,让是一个家庭的非空的有限的子集。定义通过考虑——远程,它证明了如果是一个完备度量空间和是一个多值一定的收缩,然后呢有一个固定的点。

1。介绍

不动点理论关注自己与一个非常基本的数学背景。这也是众所周知,基本和最有用的结果之一不动点理论是巴拿赫不动点定理。这个结果已经延长在许多方向单一和多值的情况下度量空间(见[1- - - - - -9])。多值映射的不动点理论是研究Pompeiu-Hausdorff度量(10,11)上定义的(关闭所有非空的的家庭和有界的子集),——远程,定义(所有非空的的家庭和有界的子集)。使用Pompeiu-Hausdorff度规,纳德勒(12]介绍了收缩多值映射的概念,展示了这种映射不动点在完备度量空间。然后许多作家关注这个方向(13- - - - - -18]。另一方面,费舍尔(19)获得不同类型的多值的不动点定理定义——远程两个度量空间的有限子集。我们可以找到一些关于这种方法的结果20.- - - - - -23]。

在本文中,我们给出一些新的多值定点结果通过考虑——远程。我们使用最近的技术,它是由Wardowski [24]。为了完整性,我们将讨论它的基本线。让所有功能的集合满足下列条件:(F1) 是严格递增;也就是说,这样,。(F2)对于每一个序列正数的当且仅当。(F3)存在这样。

定义1(见[24])。让是一个度量空间,让是一个映射。鉴于,我们说是收缩(如果存在)这样

采取不同的功能在(1),一个被各种各样的收缩,其中一些是已知的文献。下面的例子将证明这一断言。

例2(见[24])。让给出的公式。很明显,。那么每个self-mapping在度量空间令人满意的(1)是一个收缩,这样

很明显,,这样的不平等还持有。因此满足巴拿赫收缩与;因此是一个收缩。

例3(见[24])。让给出的公式。很明显,。那么每个self-mapping在度量空间令人满意的(1)是一个收缩,这样

我们可以找到一些不同函数的例子属于在[24]。此外,Wardowski认为每一个收缩是一种压缩映射,也就是, 因此,每一个收缩是一个连续映射。

同时,Wardowski得出结论,如果,与对所有和不减少的,那么每一个吗收缩是一个收缩。

他指出,映射和,和一个映射是严格增加。因此,它得到满足每个巴拿赫收缩收缩条件(3)。另一方面,(24示例2.5)显示的映射不是一个收缩(巴拿赫收缩),但仍然是一个收缩。因此,下面的定理,由Wardowski,是巴拿赫的适当的泛化收缩原则。

定理4(见[24])。让完备度量空间,让是一个收缩。然后有一个独特的定点在吗。

Wardowski后,Mınak et al。25]介绍了Ćirić类型广义的概念收缩。让是一个度量空间,让是一个映射。鉴于,我们说是一种Ćirić广义吗如果存在收缩这样 在哪里 然后下面的定理。

定理5。让完备度量空间,让是一个广义Ćirić类型收缩。如果或是连续的,那么有一个独特的定点在吗。

考虑到Pompeiu-Hausdorff规,这两个定理4和5在[扩展到多值的情况下26]和[27),分别(参见[28,29日])。在这项工作中,我们给一个固定的点结果使用多值映射——远程。首先回忆起一些定义和符号的使用。

让是一个度量空间。为, 我们定义 如果我们写还有如果,然后。是很容易证明的 如果是一个序列,我们说收敛于和写当且仅当(我) 意味着对于一些序列与为,(2)对于任何,这样为,在那里

引理6(见[20.])。假设和序列在和是一个完备度量空间。如果和然后。

引理7(见[20.])。如果是一个非空的有界序列完备度量空间的子集如果对于一些,然后。

2。主要结果

在本节中,我们证明一个多值映射的不动点定理——远程,给一个说明性的例子。

定义8。让是一个度量空间,让是一个映射。然后据说是一个通用的多值吗收缩,如果和存在这样 对所有与,在那里

定理9。让完备度量空间,让是一个多值收缩。如果是连续的,关闭所有,然后有一个固定的点。

证明。让是一个任意点和定义一个序列在作为对所有。如果存在的,然后是一个不动点的所以完成的证据。因此,假设,对于每一个,。所以和对所有。然后,我们从(10) 所以
表示,因为。然后,对所有而且,使用(10),以下是适用的: 从(14),我们得到。因此,从(F2),我们有 从(F3)的存在这样 由(14),以下适用于所有: 让在(17),我们获得 从(18),出口这样对所有。所以我们有 对所有。为了显示是柯西序列考虑这样。使用公制的三角不等式和(19),我们有 收敛的级数,我们得到作为。这个收益率是一个柯西序列。自是一个完备度量空间,序列收敛于某一时刻;也就是说,。现在,假设是连续的。在这种情况下,我们认为。假设相反;也就是说,。在这种情况下,存在一个和子序列的这样对所有。(否则,存在这样对所有,这意味着。这是一个矛盾,因为)。自对所有,那么我们就有 的限制和使用的连续性,我们有,这是一个矛盾。因此,我们得到。这就完成了证明。

示例10。让和。然后是一个完备度量空间。定义通过 我们声称是多值收缩对和。因为,,我们可以考虑下面的情况和是空的或单例。
案例1。为和,我们有
案例2。为和,我们有
案例3。为,我们有 这表明是多值收缩;因此,所有定理的条件,所以感到满意有一个固定的点。
另一方面,和,因为和,我们得到 然后不满足 为。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者感谢裁判,因为他们的建议有助于改善。