文摘
本研究提出一类super-twisting-algorithm-based (STA-based)终端滑模控制(台积电)生物反应器系统二阶动力学类型。台积电不仅可以保留传统滑模控制的优点(CSMC),包括容易实现,鲁棒性干扰,和快速的反应,但也会使系统的状态收敛等价点后在有限的时间内系统的状态的滑动面相交。台积电将原本存在的抖振现象在滑动面前的系统状态达到滑动面和系统状态到达等价点。但是,通过使用超级扭曲算法(STA),可以明显降低抖振现象。该方法也与其他两个方法:(1)CSMC没有STA和(2)没有STA台积电。最后,控制方案应用于生物反应器的控制系统来说明其有效性和适用性。仿真结果表明,它可以使用该方法来实现更好的性能。
1。介绍
众所周知,非线性几乎所有存在于现实世界的控制系统。如果动态行为是由非线性现象,它通常是不足以应对这类控制系统通过简单的线性控制方案。因此,许多研究非线性系统和控制已被许多研究人员讨论(1- - - - - -26]。传统的滑模控制(CSMC)计划是一个有效的鲁棒非线性控制方法具有不确定性的系统和/或干扰。它有许多优点,如快速响应、小敏感的系统不确定性和/或干扰环境,和易于设计。基于这些原因,CSMC方法已被广泛应用于各种控制问题(1- - - - - -3,27- - - - - -39]。CSMC的设计由两个主要步骤。第一步是选择一个合适的滑动流形(或滑动面)。选定的表面应该是不变流形,因此所需的控制性能将会实现,如果系统状态仍在滑动面。第二步是一个合适的组织控制律,这迫使系统状态到达滑动面在有限的时间内,使滑动面不变流形。
CSMC设计通常采用线性滑动流形只能保证系统状态渐近收敛。换句话说,与线性滑动流形CSMC不能提供系统状态与限定时间收敛性质。终端滑模控制的概念(台积电)首次提出了Zak [40),然后研究了许多其他研究人员(40- - - - - -54]。主要是开发实现限定时间收敛系统动力学的非线性滑动面。通过适当的设计参数矩阵的台积电,系统的状态可以达到控制目标点在有限时间滑动面,然后闭环系统将会更稳定。因此,台积电不仅可以保护CSMC的优点,但也会使系统状态收敛到期望的点在一个有限的时间。
虽然台积电设计可以用来解决唯一的“渐近跟踪”功能在传统滑模控制设计(CSMC),台积电不可避免地经历了“抖振效应”这是一个不受欢迎的现象在CSMC和台积电,因为这种现象可能会导致令人兴奋的被忽视的谐振模式,控制精度低。1993年,所谓的超级扭曲算法(STA)教授提出的黎凡特(55]。莫雷诺和奥索里奥讨论了严格的李雅普诺夫函数为超级扭曲算法(56]。这是一个二阶滑模算法求解颤振现象。在这项研究中,我们将采用台积电与STA设计控制律。这种混合方法不仅可以实现在有限的时间内跟踪性能,还可以降低抖振现象在原始台积电设计。最后,控制方案的控制将被应用到生物反应器系统来说明其有效性和适用性。
在这里,生物反应器的概念只是回顾从[57- - - - - -60]。生物反应器是指设备系统的生化反应可以在体外进行。它可以相对简单时自己的一些变量。然而,它仍然是非常难以控制因其非线性强,很难准确的模型。在其最简单的形式,一个包含水和细胞生物反应器是一个简单的坦克(例如,酵母或细菌),消耗营养物质(基质)和生产产品(想要的和不想要的)。也可以非常复杂自细胞自我监管机制可以调整他们的增长率和生产不同的产品从根本上取决于温度和浓度的废料(如酒精)。与加热或冷却系统,多个反应堆,或不稳定操作非常复杂的分析。基准,然而,一个相对简单的系统将更好的处理控制问题。更多细节,读者可以参考(57- - - - - -60]。
本文的其余部分组织如下。部分2州问题制定和本文的主要目标。这是紧随其后的是控制器设计的描述,包括CSMC,台积电,STA-based台积电。节4,获得分析结果应用于生物反应器系统。最后,部分5给出了结论。
2。问题公式化
在这项研究中,我们主要关注的控制问题的一类bioractor与二阶动力学系统。生物反应器的最简单的版本的问题之一是一个连续流搅拌釜反应器(CFSTR)细胞生长只取决于营养喂养系统。被控制的目标值是细胞群。生物反应器系统的规范化动态模型可以写成(57- - - - - -60] 在这表示归一化细胞浓度,代表了规范化的营养单位体积,和表示增长率和营养抑制参数,分别是归一化流量(控制输入)。
这个系统是很难控制有几个原因。(1)控制方程是高度非线性和极限环。(2)最优行为发生在或接近一个不稳定的地区。(3)问题表现出多重性:两种不同的控制参数值,也就是说,流量,会导致同样的想要的设置点在细胞质量收益。
从[57- - - - - -60),我们知道,规范化,,满足给定的条件如下: 主要控制目标是组织的滑模控制律所以归一化和生物反应器系统收敛到所需的值和。
控制律的设计之前,我们引入坐标变换(改变变量)60如下,这样生物反应器系统(1)可以表示为一个常规的表单: 在哪里 转换(下3)- (5),生物反应器系统(1)可以重写正则形式的非线性系统(3]: 在哪里 显然,如果条件(2)是满意的在(8)是有界的远离零(60]。也就是说,的存在。
3所示。控制器设计
在本节中,我们设计的三种类型的控制器生物反应器系统和考虑限定时间的控制方案来改善性能。
3.1。传统的滑模控制器的设计
根据控制目标节中提到的2,让和所需的常量值和。定义跟踪误差如下: 在哪里。请注意,和总的来说,选择满足(60] 因此,跟踪性能(例如,和)是实现当趋于0随着时间的趋向于无穷。这个事实证明了文献[60]。在这里,结果是在以下引理回忆道。
引理1。如果,因为在(9),与随着时间的收敛于零趋于无穷时,然后跟踪性能。
证明。从(3)和(9),很明显,当收敛于零。此外,由于,它也遵循从(2)()和(4),当收敛于零。因此,当和收敛到零,然后我们。最后,从(10)我们可以声称和当和收敛到零。
在下面,一种传统的滑模控制(CSMC)法律将被设计来执行跟踪控制目标。根据标准的滑模控制设计过程,介绍了滑动流形,在那里 为了实现所谓的可达性条件(27滑模控制的),我们设计的滑模控制律 设计的主要结果总结了以下定理。
定理2。考虑生物反应器系统(的规范化的动态模型1),这等于系统(6);滑模控制律(12)可以实现系统的跟踪性能(1);也就是说,和随着时间的趋向于无穷。
证明。从(6)- (9)和(11),滑动变量对时间的导数是 考虑一个李雅普诺夫函数的候选人为和替代在(12)(13)。然后的时间导数沿着轨迹的系统(6)是 也就是说,所谓的可达性条件(27是满足。因此,滑动模式可以在有限的时间内实现。当系统(6从()是根据滑模,它遵循11),,这意味着随着时间的收敛于零趋于无穷时,然后也趋于0趋向于无穷。最后,根据结果给出引理1,完成证明。
3.2。终端滑模控制器的设计
在前分段,我们已经完成了设计的常规滑模控制(CSMC)标准化的生物反应器系统的动态模型,以便执行跟踪性能。然而,跟踪任务是取得的“渐近”,而不是“限定时间成就的感觉。渐近跟踪“解决这个问题在传统的滑模设计,在本节中,我们使用所谓的终端滑模控制(台积电)技术组织控制律,使跟踪性能可以在有限的时间内实现而不是渐近跟踪的感觉。
考虑相同的归一化动态模型(1)在前分段;为简单起见,我们开始我们的设计考虑到系统(6)。根据标准的终端滑模的设计过程,介绍了滑动流形 在哪里,,是积极的奇数满足条件(41,47]。为了实现所谓的可达性条件(27(终端)滑模控制的),我们设计的滑模控制律 设计的主要结果总结了以下定理。
定理3。考虑生物反应器系统(的规范化的动态模型1),这等于系统(6)。终端滑模控制律(16)可以实现跟踪性能系统在有限的时间内(1);也就是说,和随着时间的,在那里和是时候实现滑动模式。
证明。从(6)- (9)和(15),滑动变量对时间的导数是 考虑一个李雅普诺夫函数的候选人为和替换在(16)(17),接下去的时间导数沿着轨迹的系统(6)是 也就是说,所谓的可达性条件(27是满足。因此,滑动模式可以在有限的时间内实现。当系统(6滑模(即下)。后,从(),它是15),,这意味着在有限时间收敛(41- - - - - -47),然后在有限的时间也接近零。最后,根据结果给出引理1,完成证明。
3.3。Super-Twisting-Algorithm-Based终端滑模控制器的设计
尽管终端滑动控制设计可以用来解决唯一的“渐近跟踪”功能在传统滑模控制设计、终端滑动控制设计不可避免地经历了“抖振效应”在滑模设计,因为这是一个不受欢迎的现象可能会导致令人兴奋的被忽视的谐振模式,控制精度低。1993年,所谓的超级扭曲黎凡特教授提出的算法(55]。这是一个受欢迎的二阶滑模算法解决在设计滑模抖振现象。在本节中,我们将使用终端滑模技术与超扭曲算法设计一个生物反应器系统的控制律。跟踪性能可以在有限的时间内实现。此外,抖振现象在原始的终端滑模设计也可以减少。
考虑相同的归一化动态模型(1)的部分2。为简单起见,我们开始我们的设计考虑到系统(6)。作为终端滑模的设计,我们介绍了滑动流形 在哪里和,是积极的奇数满足条件(41- - - - - -47]。结合超级扭曲算法,控制律的组织结构如下: 请注意,控制律(20.)- (21)是连续的,不同于原来的终端滑模控制(或传统的滑模控制)。我们开始调查之前提出的控制律的有效性,可以看出滑动变量对时间的导数 用控制律(20.)- (21)(22),然后我们有 让,然后(23)可以写成 显然,如果变量和在(24)- (25)收敛于零并保持零后的,也就是说从(24),和对所有。滑模后实现。注意,从(24我们可以发现是连续的,而聊天的确实是减少了。现在我们必须显示变量的收敛(为零)和在(24)- (25)。幸运的是,变量的收敛和被证明在56]。结果表明在56回忆在以下引理。
引理4。考虑(24)- (25)和持续的增长,。然后下面的语句是等价的。(我)原点(24)- (25)是限定时间稳定。(2)持续增长是积极的;也就是说,,。(3)矩阵 赫维茨;即其所有特征值有负的真实部分。(iv)对于每一个对称正定代数李雅普诺夫方程(ALE) 有独特的对称正定解,在那里中定义的矩阵(26)。在这种情况下,函数,在那里是一个全球性的严格系统的李雅普诺夫函数(24)- (25)。它的时间导数沿着轨迹系统(24)- (25),是一个常数取决于收益,和矩阵。
证明。请参考[56]。
到目前为止,我们知道可以实现滑模(在有限的时间内)和控制律(20.)- (21)选择是正的。其余部分是探讨在滑模系统响应。由于滑动面(19)是设计成一样,最初的终端滑模的设计,给出了(15),因此,当滑动模式实现,系统的性能(6)是一样的系统(6终端滑模控制(下)16)。本节的主要结果总结了以下定理。
定理5。考虑生物反应器系统(的规范化的动态模型1),这等于系统(6)。super-twisting-algorithm-based终端滑模控制律(20.)- (21)可以实现跟踪性能系统在有限的时间内(1);也就是说,和随着时间的,在那里和是时候实现滑动模式。
证明。指前讨论,和这里的细节都省略了。
4所示。应用生物反应器系统
验证了该方案的有效性在这项研究中,在本节中,三个控制律:传统滑模(SMC)标记,终端滑模(标记为台积电),和super-twisting-algorithm-based终端滑模(标记为STA +台积电)控制律,给出了(12),(16)和(20.)- (21),分别用于生物反应器系统(1)完成跟踪任务。相关的参数(和)的生物反应器系统可以称为(60]。所需的轨迹规范化细胞浓度和归一化细胞浓度的选择是常数和(60]。初始条件选择这是符合要求的在说谎所需的点。除此之外,三个方案的控制参数选择如下。SMC,滑动面和控制律的参数设置和分别;台积电,,,选择的参数对应的滑动面,而控制增益也选择是什么;最后,选择STA +台积电的控制参数STA的滑动面,而参数+台积电是台积电的相同。
从数据1和2,我们可以发现跟踪任务,正如所料,实现对所有三个方案。此外,从图3,它可以发现滑模行为也可以实现这三个方案;然而,抖振现象明显出现在控制输入的时间响应和相应的滑动变量CSMC和台积电,可以观察到数据3,4,6。与SMC和台积电,控制输入和滑动的时间响应变量STA + SMC会更顺利。这个同意这项研究的主要理论的结论。图6显示了三种不同的控制方案的控制输入,分别比较在三种不同的控制方案。此外,从数据1和2,它可以观察到,收敛速度(所需的点STA +台积电的速度比SMC和台积电,而所需的最大控制STA +台积电级也小于所需的SMC,台积电。一个合理的解释是,由于STA +台积电不接受高频抖振滑动变量,它只需要相对较小的控制力比所需的SMC和台积电系统在滑模。此外,系统状态的准确性相对较低的SMC,台积电躺在相应的滑动面与STA +台积电可能会导致一个相对缓慢的收敛速度。值得注意的是图5STA +台积电的滑动变量没有直接到达零,之前提高振荡收敛于零。这个来自超级扭曲的设计算法的本质,它只会让和最终收敛于零(有限收敛时间),而不是要求的距离是一个递减函数。最后,从这个仿真,得出STA +台积电设计不仅可以有效地减少有害喋喋不休SMC和台积电的设计还可以保留的好处限定时间跟踪台积电设计提供的成就。
注6。计算的复杂性,关于时间和/或空间,是一种算法的一个重要指标23]。复杂性越低,算法将会更有价值。由于超级扭曲算法的计算复杂度低,因此可以成功地应用于台积电。
5。结论
在这项研究中,三种类型的非线性控制方案应用于跟踪设计在生物反应器系统二阶动力学类型。super-twisting-algorithm-based (STA-based)提出了终端滑模控制(台积电)。它不仅可以保留传统滑模控制的优点(CSMC),包括容易实现,鲁棒性干扰,和快速的反应,但也会使系统的状态收敛等价点后在有限的时间内系统的状态的滑动面相交。抖振现象将原本存在于系统状态实现后的滑动面滑动面和前系统状态到达等价点。通过使用超级扭曲算法(STA),可以确实减少有害的抖振现象。该方法也与其他两个方法:(1)CSMC没有STA和(2)没有STA台积电。这些控制方案应用于生物反应器系统的控制。仿真结果表明,它可以使用该方法来实现更好的性能。
在未来,工作可能会进一步扩展考虑其他算法和其他可能的应用和一些条件,比如networked-based环境,时间延迟,量化,数据驱动的方案4- - - - - -7,10,24]。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢编辑哈米德Reza卡里教授。作者还想表达感谢匿名评论者对他们有用的评论和有价值的建议的修订。本研究部分由国家科学委员会,台湾,在资助NSC 101 - 2221 e - 011 102 - 2221 - 056和NSC - e - 011 - 121,信息产业研究所(III),台湾,以及国立台湾科技大学(NTUST)资助下台湾,嗯- NTUST - 103 - 06和本校NTUST - 103 - 12所示。