文摘

比较定理在振荡行为是首先建立了一类并且非线性中立型时滞差分方程。通过使用获得的比较定理,派生类的两种振动标准并且非线性中立型时滞差分方程。给出两个例子显示了结果的有效性。

1。介绍

最近有很多研究论文与差分方程的解的振动性有或没有中性的条件。文献对中立型时滞差分方程的振动性增长非常快,它可以广泛应用于现实。事实上,中立型时滞差分方程的造型出现在网络包含无损传输线(如高速计算机的无损耗传输线用于互连开关电路)。最近的贡献对振荡的理论部分和提供系统的治疗方案的中立型差分方程,读者可以参考最近的专著,阿加瓦尔(1),Gyori和拉达(2]。

并且非线性中立型微分方程的振荡行为 建立了由张et al。3]。在这篇文章中,上述方程的离散模拟。我们认为并且非线性中立型差分方程, 在哪里 是一个连, ;让 表示所有自然数的集合; ; 是一个非负整数; 表示定义的向前差分算子 , 。

在这篇文章中,认为持有下列条件: 是一个非负实数序列, , 是一个非负实数序列 不是最终同等于零; 是一个连续的奇函数, 对所有 。

之前获得的主要结果,给出下面的定义。

定义1。的解决方案(2),意味着一个真正的序列 定义为 满足(2) 。
在这篇文章中,我们限制我们注意到重要的解决方案(2)。

定义2。一个非平凡解 (2如果条款)据说是振荡 序列的最终最终既不积极也不消极。否则,它被称为非振动。

定义3。一个方程是如果其所有的解决方案都是振荡振荡。

2004年,Stavroulakis [4)研究了一阶时滞差分方程的所有解的振荡行为, ,建立了一个新的振动准则。Thandapani et al。5]研究了振荡行为的二阶中立型时滞差分方程的所有解决方案, 并建立了一个新的振动准则。2000年,周et al。6]研究了振荡行为并且中立型时滞差分方程的所有解, 在一定条件下,建立了三个新的振动准则。所有解的振荡行为的研究并且时滞差分方程,我们建议指(7- - - - - -10]。在上述工作的基础上,我们研究了振荡行为的解决方案(2)。首先,建立了比较定理对振荡行为(2)。比较定理改变振动的判别标准(2在一阶振动的判别标准nonneutral时滞差分方程。然后,通过使用上面的比较定理,我们得到一些振荡条件(2)和提高拉达等著名的结果。11),Erbe和张12],Stavroulakis [4]。特别是,结果新时 , 。

本文组织如下。节2比较定理,振荡行为是首先建立了一类并且非线性中立型时滞差分方程。然后比较定理的判别振荡变化并且非线性中立型时滞差分方程振动的判别的一阶nonneutral时滞差分方程。节3,一些振动标准获得了一类非线性中立型时滞差分方程并且通过上述比较定理。节4给出两个例子。

2。比较定理

获取比较定理在本节中,我们需要下面的前题,可以成立于(1];看到陈(7]和Thandapani Arul [8]。

引理4。让 是一个序列的实数 。让 和 是持续的迹象, 不等于零吗 。如果 然后(我)有一个自然数 这样的序列 持续的迹象吗 ;(2)存在一个数量 与 这样

引理5。观察到的假设下引理4,如果 正在增加的 ,那么存在一个自然数 这样, , 在哪里 。

定理6。假设条件下 和 持有。让 对所有 。如果存在一个常数 一阶差分方程等 振荡,那么(2)是振荡。

证明。假设(2)有一个非振动解 。没有普遍性的损失,我们假设 是一个最终正解(2);然后有一个自然数 这样 , , , 对所有 。让 然后,从( )和( ),存在一个自然数 这样 由引理4存在一个整数 和一个整数 ,在那里 是一个奇数。对所有 ,我们可以得到 因此从(12), 和 为 。由引理5,存在一个整数 。对所有 ,我们得到 从(10), 因此,我们有 注意的是, ,尽管 ,我们获得 通过 , , ,我们获得 因此,我们有 现在,通过使用(13),我们有 , 因此,我们得到 在哪里 。让 ;然后足够大 ,我们得到 在哪里 。因此,不平等(21)有一个最终正解。由引理5 (9),(9)有一个最终正解的矛盾,9)是振荡。这就完成了证明。

3所示。应用程序的比较定理

下面的引理是众所周知的(见,例如,(2,11,12),在其中的引用)。

引理7。让 最终是一个序列的非负实数 ;如果任何一 或 一阶差分方程 振荡。

因此,从定理6和引理7,我们可以得到以下结果。

定理8。假设条件下 和 持有。让 对所有 。为 ,如果不是 或 然后(2)是振荡。

证明。从(25)和(26),我们可以获得 或 在哪里 。由引理7,我们知道(9)是振荡。类似于定理的证明6,结果立即跟进。这就完成了证明。

根据定理8,得到推论9。

推论9。假设条件下 和 持有。让 对所有 。为 ,当 , ,如果不是 或 二阶差分方程 振荡。

下面的引理给出了(4定理2.6)。

引理10。让 是一个非负实数序列 一个正整数。假设 如果任何一 或 然后(24)是振荡。

因此,从定理6和引理10,我们可以得到以下结果。

定理11。假设条件下 和 持有。让 对所有 ,让 是一个正整数。假设 如果任何一 或 然后(2)是振荡。

证明。从(36)和(37),我们可以获得 或 在哪里 。由引理10,我们知道(9)是振荡。类似于定理的证明6,结果立即跟进。这就完成了证明。

根据定理11,我们可以获得以下推论。

推论12。假设条件下 和 持有;让 对所有 ,让 是一个正整数。为 , ,假设 如果任何一 或 然后(31日)是振荡。

4所示。例子

例1。考虑到方程 在哪里 , 是一个偶数, 是一个正整数,那么我们有什么 在哪里 是一个积极的序列。然后 因此 因此,通过定理8,(43)是振荡。

例2。考虑到方程 在哪里 , 是一个偶数, 是一个正整数,那么我们有什么 在哪里 是一个积极的序列。表示 ;然后 因此 因此,通过定理11,(47)是振荡。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者衷心感谢评论者对他们有价值的建议和有用的意见,导致目前的原始论文的改进版本。这项工作是由山东省自然科学基金的资助中国没有。ZR2013AM003)和山东省科技发展计划,中国没有。2010 gwz20401)。