文摘
我们确定一些普通差分方程的对称发电机,然后找到第一个积分,减少差分方程的顺序。我们表明,在某些情况下,对称发电机和第一积分相关的通过“不变性条件。”,第一个积分可能不变的对称下原来的差分方程。当满足这个条件时,我们可能会继续减少差分方程的两倍。
1。介绍
理论、推理、处理施工和代数结构的对称微分方程(DEs)正在建立和记录。此外,这些应用程序的DEs的分析,特别是,寻找具体的解决方案,广泛应用于各种各样的领域从相对论流体力学(见[1- - - - - -4])。其次,对称性和守恒定律之间的关系一直是一个主题感兴趣的自Noether庆祝工作(5变分DEs)。这种关系对DEs的扩展可能不是最近变分已经完成(6,7]。第一个结果相互作用导致了DEs的双重下降(8- - - - - -10]。
做了大量的工作来扩展的思想和应用对称差分方程(Es)的浮现出11- - - - - -15)和引用。在某些情况下,Es DEs的构造,谎言对称性不变的代数16]。守恒定律的Es,工作更recent-see [12,17]。在这里,我们为一些普通构造对称性和守恒定律,利用方程的对称性得到削减,并显示,事实上,这些概念之间的“协会”的概念可以类似地扩展到普通Es。即对称和第一积分之间的联系存在当且仅当第一个积分是对称不变。因此,“双下降”E是可能的。
2。预赛和定义
考虑以下阶啊艾凡: 在哪里是一个光滑函数,这样吗和整数是一个独立的变量。的通解(1可以书面形式) ,取决于独立任意常数。
定义1。我们定义移位运算符作用于如下:
也就是说,如果然后 同样的,
定义2。对称生成器,,(1)是由 和满足对称条件 在哪里一个函数被称为单参数组的特征。
定义3。如果是第一个积分,那么它是常数的解决方案啊E,因此满足 在哪里移位操作符定义在(3)。
2.1。第一次积分
在[11],Hydon提出了一种方法来构造的第一积分O直接Es。对于这种方法,对称的O不需要知道。这里,我们将只考虑二阶OE。
我们首先构造积分使用(8)和一个额外的条件;也就是说, 现在我们 接下来,我们区分(9)对;我们获得 区分(9)对我们得到了 因此,满足二阶线性泛函方程第一积分条件, 在解决了和构造,我们需要检查可积性条件 是满意的。因此如果(14),第一个积分形式 解出,我们的替代品(15)(9),求解得到的一阶OE。
2.2。使用对称获取的通解OE
我们开始本节提供了一些有用的定义。我们认为提供的理论和例子Hydon (11]。
定义4。两个对称的换向器发电机和用和定义
定义5。给定一个对称二阶O发生器E, 存在一个不变的, 令人满意的
确定不变的,我们使用方法的特点。注意,不变的满足 我们假设(18可以倒获得) 对于一些功能。解决(21需要找到一个正则坐标 满足。最明显的选择(11规范的协调 的通解形式 在哪里是任何整数。
3所示。应用程序
本节的目的是考虑两个例子,找到他们的对称性,积分,通解。我们还简要讨论减少两倍是什么意思和协会。
3.1。示例1
考虑二阶啊E (11]:
3.1.1。对称发电机
假设我们寻求的形式特征。为此,我们使用对称条件和求解。这里的对称条件,(7),就 首先,我们区分(26)对(保持固定的),我们考虑的函数,,。隐函数定理的微分关于收益率 其次,我们应用微分算子,由 (26) 解决(29日),我们对区分它保持固定的。因此我们获得歌唱: 给出的解决方案是谁的 我们假设为便于计算。接下来我们用(31日)(29日),我们简化方程获得 因此, 在哪里是一个常数。用(33)(31日)导致 因此,对称发电机是由
3.1.2。第一次积分
假设;然后(13)可以改写 我们应用微分算子由(28),(36) 接下来,我们区分(37)对保持不断获得给出的解决方案是谁的 如果我们把。我们的替代品(38)(37)获得差分方程 我们选择得到 下一步由替换(40)(38) 从(11),我们得到 自可积性条件成立,我们可以计算第一个积分。从(41)和(42)我们有 找到我们的替代品(43)(9)。我们获得 给出的解决方案是谁的 最后我们用(45)(43)获得第一个积分
请注意。的对称发生器(35)作用于第一个积分,产生以下方程: 我们说和是相关的和这个属性具有深远的后果减少“进一步”的方程。
3.1.3。对称还原
回想一下,在部分3.1.1,我们计算了对称生成器,, 由(35)。假设是一个不变的。然后 我们可以使用特点 解出和构造方程。给出了独立和相关的变量 分别。因此,(51),因变量,的话,是 应用算子的转变和解决由此产生的方程 在哪里是一个常数。然后由(52)和(53)和解决我们获得
请注意。方程(25)已经减少了一个秩序(54)。解决(54)给了 第一个积分由(46减少),都是一样的。这是关系的另一个迹象和。事实上,这是协会;也就是说,是不变的下。
3.2。示例2
考虑下面的线性差分方程(11]:
3.2.1之上。对称
假设;然后对称条件 同样的,我们应用算子(57)和我们区分产生的方程: 关于得到。因此, 接下来,我们解出用(59)(58)。这给了 在哪里是一个常数。替换到(59)的收益率 替换(61年)(57)的收益率 因此, 在哪里和任意常数。最后我们用(63年)(61年),获得特征 因此,对称发电机是撒谎
3.2.2。第一次积分
假设。的第一积分条件是由 的解决方案(66年)是由 在哪里,,是常数。然后由(11),我们有 用(67年)和(68年)(15)我们首先获得积分 然后我们有 满足(8),我们认为(69年)和(70年)。这给了 在哪里是一个常数。我们这样写作为 接下来,我们检查与对称相关发电机在(65年)。(我)考虑到。人能容易验证 因此与;也就是说,如果满足以下方程: 同时解决上述方程。因此,对与, (2)考虑到。我们有 因此与如果,也就是说,如果 (3)考虑到。然后, 在这里与如果。因此
3.2.3。通解
我们现在找到的一般解决方案(56)。我们确定换向片的对称性来指示的顺序对称还原过程。(我)自 (56)将减少使用第一。假设是不变的。然后 使用特性的方法 应用算子的转变收益率 也就是说, 在哪里是一个常数。将(82年)和(84年)和解决,我们有 给出的解决方案是谁的 在哪里是一个任意常数。方程(86年)的通解(56)。请注意,解在(85年)的收益率 因此,(由(77年))和减少是相同的和。也就是说,。如果这个条件成立下是不变的。(2)我们也可以找到一个通解(56)通过使用不同的对称发生器。在这里, 因此,(56)将减少使用第一。再次假设是不变的。然后 使用该方法得到的特征 因此运营商应用转变给了 给出的解决方案是谁的 在哪里是一个常数。将(90年)和(92年)的结果 因此的一般解决方案(56)是由 在哪里是一个常数。(3)最后我们考虑的换向器和。我们有 由于换向器,我们可以先减少OE与或。然而,由于我们已经减少(56),中,我们将使用。像以前一样,假设是不变的。然后 应用特征的方法, 应用转变的因素,,(97年)和解决由此产生的方程 将(97年)和(98年)给 我们解决(99年),发现 这是一个通用的解决方案(56)。必须指出的是,(99年)是一样的(由(75年)如果和。如果这是真的下是不变的。
4所示。结论
我们有回忆的过程计算一些普通差分方程的对称发电机,然后找到第一个积分,减少差分方程的顺序。我们已经表明,在某些情况下,对称生成器,,第一个积分,,通过不变性条件相关联。当满足这个条件时,我们可能会继续减少方程的两倍。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。