文摘
我们引入一个新的方法被称为增强型多级同伦摄动法(EMHPM)是基于同伦摄动方法(HPM)和使用时间的小区间找到与强烈的非线性微分方程的近似解。我们也研究我们提出的收敛EMHPM方法基于控制参数的值h通过遵循同伦分析方法(火腿)。论文的最后,我们比较派生EMHPM近似解的非线性物理系统与相应的数值积分方案获得通过使用经典四阶龙格-库塔方法通过amplitude-time响应曲线。
1。介绍
最近进展在非线性问题的研究中,已经有越来越兴趣分析技术来解决相应的非线性方程组。然而,大多数现有的方法他们的解决方案方法基于小非线性,限制其潜在的假设使用物理和工程解决方案的应用程序。
最近的应用程序的一些渐近方法如变分迭代,同伦摄动,能量平衡,参数扩展,变分方法,改进后的振幅频率公式,极大极小方法,哈密顿方法,和同伦分析,列举几项,被用来获得近似解的高度非线性问题传统的摄动方法有一定的局限性1,2]。
获得强烈非线性微分方程的近似解析解利用同伦方法,同伦摄动的方法,同伦分析、Adomian分解(ADM),和变分迭代(VIM)是常用的文献中。ADM是一个迭代的方法提供解析近似解在无穷幂级数的形式没有线性化的非线性方程(3]。开发的HPM他(4- - - - - -6)的假设并不局限小非线性。HPM是一种有效的方法,有几个在科学和工程应用程序找到非线性微分方程的近似解。HPM夫妇传统微扰法和同伦理论用于拓扑和假设一个简单的初步分析解决方案,逐步接近的解微分方程通过一个参数收敛于团结。HPM的一个复杂的问题分解为一系列简单问题,简化了近似解的推导过程。因此,使用同伦论已经有效地产生不同类型的问题的近似解,包括非线性二阶微分方程(7,8)或非线性分式方程(9,物理和工程系统的行为模型。Hojjati和贾法里比较了HPM和ADM获得应力和位移的分布在一个旋转的环状弹性磁盘(10]。他们认为,虽然数值结果几乎是一样的,HPM更容易,更方便和效率比ADM和VIM。Abbasbandy (11]得出的一个优点相比HPM ADM与它的功能实现二次黎卡提微分方程的近似解,考虑所有的泰勒展开系列。这些结果也证实了帕慕克在[12]。
有限的HPM是一个渐近方法收敛距离方程的初始条件(13,14]。为了克服这一弱点,HPM间隔必须应用。例如,Abbasbandy这种方法用于求解黎卡提微分方程(15]。更正式的方法是由Hashim Chowdhury解决一阶微分方程组通过多个间隔。他们用这种方法,被称为多级同伦摄动法(MHPM),解决非线性常微分方程与数值预测,遵循相应的数值积分方案(16,17]。根据MHPM Gokdogan和Merdan Coullet非线性微分方程的近似解与数值模拟,同意与龙格-库塔数值积分方法(18]。小王和Yu扩展的使用MHPM获得近似numeric-analytic解决方案不仅陈混乱的分数阶系统,也是系统的分数阶洛伦兹系统数值模拟,具有良好的准确性在长时间跨度(19]。
基于这些发现这些先前的研究工作,这项工作的目的侧重于开发一个semi-numerical-analytic技术,概括了MHPM为了获得准确的非线性微分方程的近似解。评估这种新方法的准确性,其数值预测将对MHPM技术相比,介绍了(20.,21]。论文的最后,我们将得到一些非线性微分方程的近似解和比较它们的数值预测相应的数值积分方案获得通过使用四阶龙格-库塔方法。
2。同伦摄动方法的描述
为了说明HPM背后的基本概念,让我们考虑以下非线性微分方程: 有如下边界条件: 在哪里是一个微分算子,是一个边界算子,是一个已知的解析函数,Γ是域的边界Ω。
的运营商可以分为两个部分:和,在那里代表了线性条件有关非线性项。方程(1)因此可以写成如下: 应用拓扑的原则,建立了同伦:满足下列条件: 在哪里是一个嵌入参数和是初始近似(1)满足边界条件。很明显(4),设置从零到统一改变来,也就是说,通过让 在拓扑中,这被称为变形在相同的背景下,和被称为同伦的。他在[4假设的解决方案(4)可以用一系列的表达权力的形式 因此,通过考虑的近似解(1)的收益率 为了测试精度达到选举的线性算子,我们继续分析下列非线性方程(20.]: 在哪里是自变量,是运行时间,是一个常数。首先,同伦(8)建立遵循标准的同伦方法,需要经营者的选择的解决方案是不稳定,等,因此,。因此,等位的表示(8)给出 用二阶扩张到(9)和分组相同的条款订单,我们获得以下方程组: 给出的解决方案是谁的 的近似解(8),由(11),对应的二阶解20.)当。
2.1。增强的同伦摄动方法
侯赛因Nia等人提出的修改HPM通过引入一个稳定的线性算子。这个修改方法被称为加强同伦摄动方法。通过使用EHPM (8)是由考虑重写一个稳定的线性算子的形式,而非线性算子的定义是。这些操作符定义提供以下表达式: 在这种情况下,等位的表示(12)是相似的(9)。按照之前的程序和通过重组条款相同订单,我们获得 集成的(13)提供了以下表达式: 注意到的二阶解(14)同意与获得的解决方案(20.)当。
2.2。利用泰勒级数表示的HPM
为了提高HPM的收敛,Odibat提出独立变量的扩张通过使用泰勒级数(21]。因此,(8)可以写成 通过使用线性算子的同伦表示(15)可以表示为 为了得到第一个近似,这个术语必须包含在(16)。用的三阶扩张(15)(16),通过重组条款相同秩序,我们得到 因此,四阶的解决方案(8可以通过集成)(17);这个收益率 图1说明了近似解(8)通过使用EHPM和派生HPM解决方案,由他和Odibat分别。注意在图1解决方案通过使用Hosein Nia等人的方法倾向于遵循龙格-库塔数值集成解决方案提供的MATLAB函数数值,而他和Odibat解决方案倾向于偏离值的增加。但是如果我们解决(8)通过使用MHPM Hashim和Chowdhury[提出的16),给出的解决方案(11),(14)和(18)不收敛到精确的数值解,因为选择的线性算子的形式并不能保证MHPM解的收敛性。一个类似的结论可以通过使用泰勒级数扩展条款的独立变量(Odibat)。计算算法的细节见图用于获得数值预测2提供了算法1。
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(一)
(b)
3所示。增强的多级同伦摄动方法的描述
被提议的增强的多级同伦摄动方法(EMHPM)是一种算法,利用HPM解决方案及时的小区间,基于以下转变:,在那里近似解的吗子区间,满足最初的解决方案。新的时间转移变量满足以下条件:。此外,我们假设可以给出的解决方案,在那里代表了年底前间隔。这意味着最终值的近似解在一个给定的子区间代表接下来的子区间的初始条件。
为了建立一个同伦算法,将使我们能够获得近似解的非线性微分方程,我们下一个假设以下。(1)线性算子可以选择,提出了初步的解决方案等于初始条件;也就是说,。简单的符号,我们写。(2)由于同伦中定义子区间,以下关系:满足条件,在那里表示当前时间。因此,近似的阶可以通过整合有关条款,而相关的独立变量假定常数在吗子区间。因此,近似解微分方程可以写成 注意,解决方案只有在有效吗th子区间。为了获得解决方案在th子区间,我们认为的关系 成立。因此,的近似解当时是由 总之,每一个解决方案对于一个给定的子区间依次分为的小区间,不一定必须是等距的:。最后,近似解通过耦合的解决方案吗。
3.1。解决方案基于EMHPM
为了演示EMHPM提议的有效性,我们下推导出近似解(8)。注意,在这种情况下,等位的表示(8)是由(9),连同线性算子和非线性算子。利用三阶扩张,我们可以写出的一阶线性方程的结果从重组条款对应于相同的订单 通过求解(22),我们得到 注意给出的解决方案(23)可以广义递归表达式的形式 在哪里是一个整数,大于零。
图3显示了近似解之间的比较(8)通过使用EMHPM(利用第三近似和时间的小区间相同的大小)及其数值仿真集成解决方案(数值)。我们可以看到从图3现在的三阶EMHPM近似解收敛于数字集成解决方案(数值)。
在我们检查之前的应用EMHPM获得近似解的非线性微分方程,我们将下一个解决一些收敛问题我们建议的方法。
3.2。收敛的EMHPM
最近Turkyilmazoglu引入同伦级数收敛方案(22]。他表明收敛控制参数的值有强烈影响的准确性从同伦分析方法获得的解决方案(火腿)。另外,Turkyilmazoglu显示常数曲线的方法由廖和谢里夫(23相当于他收敛的方法。为了证明他的发现,Turkyilmazoglu几个方程的解的收敛性研究应用火腿和他讨论一些收敛限制HPM的解决方案基于控制参数的值。遵循Turkyilmazoglu结果,我们接下来研究的融合提出EMHPM方法得到的近似解非线性微分方程,证明我们EMHPM近似解收敛于数值仿真集成解决方案和解决方案通过使用增强的多级派生同伦分析方法(EMHAM)。
首先,我们关注的解决方案(8)通过使用我们提出EMHPM方法,得到 利用三阶扩张(25)的收益率 请注意,如果我们接受的价值在(26),那么这个方程成为类似于(23)。
图4显示之间的绝对误差数值解得到的数值子程序在MATLAB和解决方案从EMHAM获得收敛因子的函数。注意在图4最小绝对误差发生在。同样,在这个值收敛控制参数EMHPM所提供的解决方案和EMHAM有相同的绝对误差。
我们未来考虑使用的二阶非线性常微分方程(22]给出 哪有精确解的形式 用一个精确的同伦(火腿)给出的解决方案 我们下一个得到的近似解(27)通过使用EMHPM和EMHAM方法和计算其相应的绝对误差。注意,近似解(27)通过应用EMHPM方法提供了以下表达式: 在哪里振幅,是第一个衍生物的- - - - - -秩序。图5显示子区间的影响大小的顺序的解决方案获得的EMHPM方法及其收敛性的解决方案。请注意最小相对误差发生在0.1的子区间的大小。意味着融合可以达到增加订单的解决方案和/或减少子区间的大小。
图6显示了预测绝对误差通过比较EMHAM获得解决方案的精确解,给出了(28),如收敛因子的函数通过考虑的子区间大小与。我们可以看到从图6绝对误差的最小值。因此,我们提出EMHPM方法,EMHAM的一个特例重叠的精确解(28)。
我们进一步评估的准确性提出EMHPM方法,在下一节中,我们将推出一些非线性微分方程的近似解,在几个工程应用。
4所示。一些非线性常微分方程的近似解
4.1。Helmholtz-Duffing方程
在本节中,我们将探索EMHPM方法的准确性,这是应用于获得Helmholtz-Duffing方程的近似解二次和三次非线性。这个方程是用来描述一些机械工程材料的非线性响应应用程序(24]。Helmholtz-Duffing振荡器的微分方程给出 在哪里是系统位移,,,,物理参数,和系统的初始条件。通过引入以下变量的变化:,,我们可以写(31日在状态空间形式: 我们接下来写的同伦表示(32), 按照EMHPM方法,二阶扩张可以替换成(33),与给定的初始近似值为。然后,通过分组相同的条款订单,我们获得以下组线性方程组: 通过考虑初始条件,因为,然后我们得到 注意,在(35)条款可以用下面的递归形式(): 在这里,零级近似等于初始条件。重要的是要注意这一点是一个阶跃函数与价值的统一,否则为0。
为了评估的准确性EMHPM方法,导出的近似解(31日),这是由(36),是关于(a)数值相比集成解决方案和(b)的精确解(31日)最近派生(25]。我们将于探索的适用性EMHPM通过考虑两个不同的系统参数值并使用其计算机算法中列出的算法1。
案例1。在本例中,我们假设给出了系统参数值,,,与初始条件如下:,。表1显示了计算EMHPM和绝对误差值数值数字集成解决方案相比,对那些获得精确解的(31日)在不同的子区间值和大小订单的解决方案。这里提供的数值解数值子程序是通过减少误差公差,以保证其获得收敛的精确解(31日)。也表1展品比较EMHPM方法的计算时间性能的数值方法数值。从表中我们可以看出1,EMHPM方法增加其与高阶近似精度,减少小区间的数量。
图7表明我们的派生EMHPM近似解与精确解的(31日),而数值解数值,一个错误容忍1 e - 3,经历转变时期价值随着时间的增加。它应该指出的具体解决方案(31日),是基于一个第一类椭圆积分提供了一个常数时期价值通过不对称系统的行为(25]。提到的值是很重要的和EMHPM方法,应该精心挑选,以保证快速收敛,显示在表1。
例2。在这种情况下,我们解决(31日),假设以下参数值:,,,,初始条件,。从图我们可以看出8,数值解数值,一个错误宽容等于1 e-6开始偏离精确解随着时间的增加。然而,我们EMHPM近似解与精确解显示良好的协议(31日)。
接下来,我们将使用我们的EMHPM方法获取时间幅度近似解的一种非理性的非线性弹簧振子和一个elastomagnetic被动悬架系统。
4.2。非理性的非线性弹簧振子
在非线性动态系统中,有情况下的幅频响应曲线有跳跃的非线性系统。努力用立方非线性弹簧模型的幅频响应曲线表现出多个可能的动力学响应(26]。在这里,我们发现不合理的近似解非线性振荡器显示在图9通过使用EMHPM方法。在这种振荡器,两边两个螺旋状的弹簧连接滑块在一个垂直平面固定的弹簧。这种安排的结果在一个非理性的非线性刚度取决于滑块的位置。该系统的运动是由以下方程描述: 在哪里是无量纲滑块的位置相对于最初的春天未变形的长度吗,力大小,是驱动频率比率(驱动频率相对于自然频率),描述春天的延伸。
的近似解(37)通过使用EMHPM,我们第一次写这个37在状态空间形式通过引入变量的变化,。这个收益率 我们下一个找到的同伦表示(38),并遵循EMHPM方法获得的一阶近似解(37): 图10显示两个EMHPM近似解(通过考虑小区间相同的大小)和数字集成解决方案数值系统参数值,,,赫兹,。从图我们可以看出10,这两个解决方案达成一致的时间跨度。
4.3。Elastomagnetic被动悬架系统
elastomagnetic被动悬架系统的动态响应的一个自由度,显示在图9表现出非线性行为(27]。这种类型的悬架系统有几个工程应用。在此系统中,悬浮质量是附着在基地的一个线性弹簧装置和兴奋的磁悬浮力。相应的系统是由运动方程 在哪里对悬架系统的相对位置吗,是系统阻尼系数,弹簧刚度,是春天的未拉伸长度,是重力,代表了磁悬浮力可以由以下方程: 的参数,,的实验值吗纳米3,毫米,。基地被认为是兴奋的振荡信号由以下方程:,在那里的最大振幅运动。为了获得近似解(40EMHPM)的方法,我们首先写(40)的状态空间形式通过引入以下变量的变化:和。因此,(40)可以重写等价形式 通过考虑的同伦表示(42),并遵循EMHPM方法,的一阶近似解(42)可以写成 评估的准确性我们EMHPM近似解(43),我们比较图11EMHPM近似解的数值积分方案数值通过考虑系统参数的值毫米,赫兹,米,米/凹陷,公斤,Ns / m,N / m,毫米,米/秒2。从图我们可以看出11再次,提出EMHPM近似解与数值积分解决方案显示了出色的协议时间跨度显示在图11。
这里讨论在所有情况下,我们仍然可以使用不同的系统参数值,表明该派生semi-numerical-analytic技术,概括了MHPM提供良好的结果相比,相应的运动方程的数值积分方案。
5。结论
在这项工作中,我们修改了HPM和引入了一个新的数值解析方法是基于线性算子定义为和时间的小区间,不需要等距的解决强非线性变系数常微分方程的。评估这个EMHPM的收敛方法,我们使用收敛控制参数价值和派生一些非线性微分方程的近似解,以显示我们的EMHPM方法收敛不仅数值集成解决方案,从经典的龙格-库塔计算四阶算法(数值),但也相应的精确解析解。此外,我们证明了,如果时间间隔和阶近似EMHPM方法的正确选择,那么它的计算时间小于所花费的时间的标准数值提供的集成解决方案数值MATLAB函数,显示在表1。未来的工作包括适应EMHPM延迟的解决方案和部分非线性微分方程中常见的几个物理和工程应用。这项工作的结果将在未来的出版物。
利益冲突
作者宣称他们没有利益冲突与任何提到实体。
确认
这项工作是由著名德蒙特雷,校园蒙特雷,通过纳米材料的研究椅子医疗设备和智能机器的研究椅子。提供了额外的支持从Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologia (Conacyt),墨西哥。