文摘

常见的耦合不动点定理研究摘要可比映射确保非线性收缩下令偏度量空间。鉴于定理扩大和普及的一些结论Gnana Bhaskar和Lakshmikantham (2006)。

1。介绍

收缩方法部分度量空间的不动点理论。是非线性映射收缩增大,这是由于许多作者。(cf。1- - - - - -25])。尤其是部分度量空间是一种普遍化度量空间。进一步归纳的结论(16瓦莱罗能源[]证明了25],Oltra,瓦莱罗能源[18),Shatanawi et al。23],和阿尔金Erduran [5]。此外,Caristi类型不动点定理的部分介绍了度量空间Romaguera [21]。

介绍了不动点的存在要求度量空间的跑和Reurings19]。一些不动点的应用也显示了线性和非线性方程。固定和不动点定理在最近被许多作者关于这个主题。此外耦合的巧合和耦合两映射不动点定理 和 这样 必须混合g-monotone财产由Lakshmikantham表示,Ćirić[15]。

作者提出给更多信息两定点理论存在于理论(1- - - - - -25读者)。

让我们给一些必要定义相关的混合单调映射和常见的耦合不动点的一个映射。

定义1。假设( )是一种半序集和 。假设 是单调不减少的依据 也是单调nonincreasing根据 ,对于任何 ,当时的地图 被命名为混合单调性质:

定义2。如果 和 ,然后 被定义为一个映射的耦合不动点吗 (15]。

定义3。假设 是一个非空的。部分指标 是一个真正的函数 下令对元素的 满足以下四个条件: , , , (16]。度量空间包含两个对象:一组 和部分指标 在 ,也的元素 被称为度量空间的点( )(见[16])。

注意,张成的空间任意点本身不需要空;所以普遍化的指标,即一组指标 ,命名部分指标 在 提供 对于任何 。我们参考读者检查一些结果和相关的例子在局部度量空间理论(1- - - - - -25]。

每个部分指标 在 生成一个 拓扑结构 在 ,它有一个基本的家庭p-balls开放 ,在那里

如果 部分指标吗 ,那么这个函数 给出的 是一个规 。

定义4。假设 是一个部分的度量空间和也 是一个序列 。

当时,(我) 收敛于一个点 ,(2)如果存在 ,然后 是一个柯西序列(5]。

定义5。部分度量空间 如果每一个柯西序列命名完成 在 收敛,

按照 ,一个点 , (5]。

引理6。假设 是一个部分的度量空间。当时(我)序列 柯西序列在 这是一个度量空间中的柯西序列 ,(2) 是完整的 度量空间 就完成了。除此之外, (16]。

定理7。假设 是一个完整的部分度量空间,也假设吗 是一个映射。那么存在一个常数 提供 对所有 。所以 有一个不动点(16]。

最近,Gnana Bhaskar和Lakshmikantham8]获得以下好结果拥有混合单调属性映射,它普及定理7马修斯(16]。

定理8。假设 是一个连续映射具有混合单调性质 。存在一个 这样 如果存在 与 然后,存在 与

本文的目标是建立耦合和不动点定理在半序局部度量空间的功能 提供条件 、nonincreasing和 为每一个 。提供定理普及和扩大一对映射的结论Gnana Bhaskar和Lakshmikantham8)和其他一些相关定理。

2。主要结果

定义9。假设( )是一种半序集和 。 和 映射有以下属性:如果 是偶数,那么 和 ;如果 是奇数,那么 和 。

定理10。假设( )是一种半序集和 部分指标吗 与 作为一个完整的部分度量空间。假设 是通过定义2和也连续映射具有混合单调性质 。要有一个无添加函数 这样 , 对所有 也有 和 , 为 。如果存在 与 和 当时, 与 和 。

证明。假设 与 和 。定义序列 和 在 在以下方式: 我们是来证明 序列是不减少的, 序列是nonincreasing。也就是说, 为此,使用数学归纳法。
首先假设 。有 和 ,因为 和 当 和 ,所以(10)验证 。
假设(10)满足一个常数 ;然后,因为 和 从定义9我们有 因此我们得到 和 。
在此,感应方法我们得出结论,(10适用于所有 。,
表示 显示 序列是nonincreasing。从(10)和(8)我们有 同样,我们可以获得 因此,使用的属性 函数得到 同样可以证明 然后,我们得到
因此一个序列 nonincreasing。那里,有一个 获得与
现在,我们声称 我们的替代品 在(14)。然后我们可以得到 让 在(22),我们得到 因此 。这是
现在,我们表明, 假设相反。当时存在 当获得两个子序列 和 的 与 是最小的指数在哪里 这意味着 通过 在定义3和(27),我们有 同样,我们可以获得 添加(28)和(29日)和(27)和(26),我们得到 以限制为 在(30.)和(26),我们得到 采用三角不等式, 同样,我们得到 作为 在(33)和(32)和(31日)和(26我们可以获得
因为从(12)我们有 和 和也(8)和(10), 同样,我们得到 因此 作为 在(37),我们得到 ,这是一个对比。那里(25)验证,拥有 由(3),我们有 和 在度量空间是柯西序列 。因为 完成,也是理由吗 ,然后存在 与 另一方面,我们有 得到的极限 在向上的方程和利用(40)和(38),我们得到 换句话说,拥有 对所有 。在让 ,我们实现 使用(42)和(43),我们得到 类似地,一个可以证明 暴露 , , , 。要做到这一点,我们证明以下步骤。

步骤1。证明 和 。
自 和 ,我们有 让 在(46),我们得到 。相同的人可以证明 。

步骤2。我们表明, 和 。
我们有 。自 和 作为 在 和 是连续的, 在 ,然后我们得到 也就是说, 同样可以证明 。

步骤3。指示 和 ,我们有 而 在(49)和使用(46)和步骤1和2,我们获得 。通过 在定义3,我们有 。同样可以证明 , , 。

定理11。闰的定理的假设10假设存在 , 这样 是相对于 。然后 为 是一些公共不动点。也就是说, 和 拥有两个公共不动点 。

证明。如果 堪比 当时, 堪比 。如果我们的替代品 , , , 在(8),然后我们获得 因此 。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。