文摘
信息在现代社会起着重要的作用。在本文中,我们提出了一个数学模型的信息传播与孤立。发现这样一个模型有丰富的动力学包括霍普夫分岔。结果表明,对于大范围的参数,是一种双稳态现象在信息传播的过程中,因此无法很好的得到控制的信息。此外,该模型有一个极限环,意味着信息展览周期性的爆发与真实世界的观察是一致的。
1。介绍
近年来,信息中发挥着越来越重要的作用在现实世界中。对于一个决策者,如果他没有合理的信息,他将做一个错误的决定可能会导致不良后果。但是,长时间序列的信息很难获得,因此它可能提供有用的信息通过构造数学模型。因此,建模过程中信息传播一直是科学领域的中心主题(1,2]。
信息可以分为许多类型。先进文化等一些有用的信息和有用的知识,鼓励发展广泛和深入。然而,也有一些不良信息,典型的一个谣言3- - - - - -8]。谣言是一种社会现象伴随社会的发展可能会带来一些腐蚀性的社会效应。例如,在2007年,一些人传播虚假新闻,海南的香蕉是有毒性的,造成巨大的经济损失(9]。从这个意义上说,我们需要隔离一些信息通过采取控制措施。
有一些工作信息传播利用数学模型。基于SIS模型,Leskovec等人提出了一个级联信息模型,发现博客行为和信息传播如何通过博客圈(10]。Gruhl等人构成了众位模型计算节点之间的信息的传播速度(11]。Narayanam和Narahari提出一个线性阈值模型来描述信息传播(12]。此外,一些学者利用动力学模型(13和统计分析14]调查信息的传播。
在本文中,我们的目标是提出一个数学模型来描述的信息传播与孤立。更重要的是,我们想要揭示其动力学行为的数学分析和数值结果。本文组织如下。节2,我们构建一个信息传播模型通过使用三个常微分方程(ode)。节3,我们表明,该模型具有丰富的动力学。最后,给出了结论和讨论部分4。
2。一个数学模型
描述模型,我们首先给四个主要假设,如下。(我)有三种人:人没有信息,人口信息,人是孤立的通过隔离。(2)有出生和死亡事件和所有新生儿没有信息。(3)信息的传播速度 具有饱和效应(cf。图吗1)。(iv)由于信息传播阶段,隔离术语可能有不同的形式在不同阶段的信息传播。我们选择孤立词有以下形式:
小数量的,和为大量的。
基于以上假设,我们有以下模型: 在哪里人口的出生率,吗是自然死亡率的人口。因为前两个方程(3),(3 b)和(3 c)是独立的变量,它可以考虑下面的简化模型:
3所示。动力学行为
系统(4)和(4 b总是有一个平衡没有信息的对应情况。雅可比矩阵的线性化系统(4)和(4 b)在这个平衡15] 负特征值,暗示的渐近稳定平衡当且仅当
表示 如果,就没有信息;否则将传播的信息。
为了获得积极的解决方案(5)和(5 b),我们消除使用的第一个方程(5)和(5 b),代入第二个方程给出方程的形式 在哪里
应该注意的是,(或)当且仅当(或)。也就是说,有一个独特的非零解(9)表示如果并积极当且仅当。自平衡的持续依赖的左边,有一个时间间隔有两个积极的平衡和
因此,我们可以得出结论,系统(4)和(4 b)有一个向后分岔当且仅当(16,17]。
我们也可以给一个明确的标准在其他参数存在的落后的分岔=。意味着 因此 等于
如果(14)是满意的,有一个向后分岔。然后,有两个积极的平衡值的区间从一个值来。计算,我们使用得到一个二次方程的参数,它具有以下形式:
请注意,和,等于
在这种情况下,我们有 结果的表达
我们修复,,,,和显示系统(4)和(4 b)有一个向后分岔图2。
在下面,我们将讨论时的情况。如果系统(4)和(4 b)有一个积极的解决方案,必须满足以下条件:
请注意,=。和=。因此,我们有导致。
上面的讨论取得以下成果。
(我)的情况,始终是一个边界的平衡系统(4)和(4 b),独特的积极的平衡系统(4)和(4 b)当且仅当。
(2)的情况,始终是一个边界的平衡系统(4)和(4 b)和系统(4)和(4 b)有一个独特的积极的平衡。此外,系统(4)和(4 b)有两个积极的平衡和如果和。
在下面,我们的目标是探讨全球稳定平衡的考虑两种情况:(i)和(2)。
对于第一种情况,我们可以获得系统的雅可比矩阵(4)和(4 b在平衡是 通过直接计算,我们可以很容易获得,如果。因此所有的特征方程的特征值有负的实际部分,这意味着平衡是局部渐近稳定的。
让 由(4)和(4 b),我们有 表示;然后 因此,是一套积极不变的(4)和(4 b),吸引了所有的积极的轨道(4)和(4 b)国家,这意味着平衡是全局渐近稳定如果。
很容易获得在本地稳定时。然后,我们使用霍华斯定理来排除极限环(18]。
把霍华斯函数 然后,我们有 这意味着系统(4)和(4 b)没有极限环和积极的平衡是全局渐近稳定的。
因此,我们有以下的结论。(我)平衡是全局渐近稳定如果和不稳定。(2)当唯一的地方病平衡点是全局渐近稳定的。
在图3,我们固定,,,,,满足。从这个图可以发现,是全局渐近稳定的。
在图4,我们固定,,,,,满足。从这个图可以发现,不稳定和独特的地方病平衡点是全局渐近稳定的。
对于第二种情况,我们需要讨论三种情况:(我) ;(2) ;(3) ;(IV) 。
因为系统的动力行为(4)和(4 b)的情况(我)很简单,我们将调查后3例。
通过计算,可以发现,这意味着雅可比矩阵零特征值2多样性。换句话说,积极的平衡的系统(4)和(4 b)是一种尖端的余维数2 (19]。
如果,然后系统(4)和(4 b)展示多个积极的平衡。在这种情况下,它已经表明,一个稳定的积极的平衡与稳定边界的共存平衡(),称为双稳态现象。
在图5,我们固定,,,,,满足。从这个图我们可以看到和是稳定的。在这种情况下,信息无法控制。
我们假设。如果,那么积极的平衡的系统(4)和(4 b)是一种稳定的节点或焦点;如果,然后不稳定和系统(4)和(4 b)至少有一个极限环;如果,然后是一个中心。
在图6,我们固定,,,,,满足。从这个图我们可以看到不稳定和系统(4)和(4 b)有一个稳定的极限环霍普夫分岔发生在系统(4)和(4 b)。这些结果表明,展览周期性爆发的信息和真实的数据是一致的(20.]。
4所示。讨论和结论
对社交网络信息有很大的影响,这是一把双刃剑。在本文中,我们研究了一个信息传播模型与孤立。动力学模型,我们获得了全球平衡的稳定性和分岔行为,基于数学分析和数值结果。总之,信息传播模型可以有丰富的动力学可能会提供一些新见解对决策信息。
应该注意的是,我们的研究结果是基于人口混合均匀的假设。也就是说,我们假设接触不同的人相同的形式。这种假设忽视了个体差异,因此是不合理21- - - - - -24]。因此,我们需要调查社交网络的信息传播模型进一步研究。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。