文摘
本文的目的是首先扩展模型描述的非线性波运动noninteger阶导数的概念。扩展方程迭代方法的研究范围内。迭代方法的稳定性和收敛性分析详细介绍了扩展方程。特殊解的唯一性也被调查。简历的方法求解这个方程。算法被用来推导出独一无二的特殊解决方案给定的初始条件。
1。介绍
Kadomtsev-Petviashvili方程(或基本上KP方程)是一个非线性偏微分方程在两个空间和一个时间坐标,说明非线性的发展,延长了一波又一波的小振幅的横向坐标的依赖。有两种不同的KP方程描述。不过这个版本我们有趣的在下面 这个案子被称为KPII方程和模型,例如,水波和较小的表面张力。这个案子被称为KPI方程和可用于模型波在薄膜表面张力高1- - - - - -4]。方程是经常与不同的系数在黑色和白色的各种条款,但特定的值是无关紧要的,因为他们可以通过适当修改重新调节依赖和独立变量5]。KP方程是一个全球可积结构在两个空间维度的类似攻击KdV方程可以看作是一种普遍的可积系统在一个空间维度,因为许多其他可积系统可以减少(5]。本身,KP方程综合考虑了数学学会在过去四十年。KP方程也是一般常见的模型在非线性波理论中,也出现了减少系统二次非线性,承认弱色散波,在近轴波近似(3]。不出所料进入视图作为一个著名的边界方程的渐近的解释这样的系统中,只是最重要的订单条款订婚了和一个渐近平衡两侧弱散射,二次非线性和衍射。波兰人单独行动的两个空间变量占的不对称的方式出现在方程(4]。
在过去的十年中,许多物理问题已经取得了巨大的成功在与整数阶微分方程描述和分数阶。更重要的是它是观察到的大部分时间,所有物理问题描述或文件夹内的分数阶导数建模比传统的更可预测的阶导数,例如,在地下水问题的研究(6- - - - - -10)和其他(11- - - - - -15]。本研究的一个方面是恢复传统的KP方程分数阶导数的概念。然而现实世界中遇到的一个重大问题建模问题也许是找到这些非线性方程的解,特别是当它来到分数微分方程。因此本文将致力于的另一个方面的推导广义KP方程的近似;我们还将呈现收敛性和独特性的特殊解决方案。研究下的普遍方程给出 我们将展示一些在以下部分中noninteger导数的基本公式。
2。基础知识部分衍生品
人们可以发现如今在文献中部分衍生品的定义不同。然而最远方的适销对路的Riemann-Liouville和卡普托衍生品。卡普托有 Riemann-Liouville的情况下我们有以下定义: 每一个部分衍生品提出了补偿和弱点(16- - - - - -18]。
定义1。让是一个有限或无限区间的实轴。我们表示勒贝格复值的设定可测量的功能在的,在那里 除了上面的定义,我们将呈现以下有用的定理。
定理2。如果和,那么他们的卷积,和下面的不平等(16]: 特别是,如果和,那么他们的卷积;然后,
引理3(见[16])。部分集成运营商是有界的:
3所示。推导的特殊解决方案
非线性方程的真正问题是找到一个合适的分析方法,可用于获取精确的或特殊的解决方案。毫无疑问,许多学者把注意力在发展中解决这些方程解析或数值的方法,但是,当混合导数的偏微分方程是没有提出well-accurate方法有关。我们将在本文中提出一种迭代方法推导出部分Kadomtsev-Petviashvili方程。
这里的方法包括应用第一个逆操作符双方(2)获得以下: 为了解决上面的方程,我们假设其解决方案是串联的形式 其次我们介绍一个人工参数根据同伦的概念,现在用后(10)(9)和放在一起的人工的力量参数相同我们到达以下方程: 迭代公式(11)可用于获得所有条款提供的初始条件。我们将在简历上面的过程通常被称为算法来帮助读者通过计算机的数值方法领域的实现方法。
算法4。考虑(我)输入:早寄膳宿者,(2)
系列中术语数量计算,(3)输出:,特殊的解决方案。
一步1。把和。
一步2。为来步骤3,4,5。
一步3所示。计算
一步4所示。计算
一步5。计算
停止。
4所示。该方法的收敛性和独特性分析
近年来,许多论文已发表在迭代方法是用来给非线性方程组的近似解。然而在这些文件中,没有研究的稳定性,收敛性和独特性分析已经完成。如今这已成为常规而收敛性的研究是非常重要的,非常困难,因为收敛的证明显示的强度的方法。因此,我们把本节的研究使用的融合方案,应用于部分非线性波动。为实现这一目标,我们将考虑以下部分sub-Hilbert空间希尔伯特空间的(19)可以被定义为一组的功能: 我们承诺相应微分特工下限制规范。我们认为上述部分Kadomtsev-Petviashvili方程的假设,然后算子方程的形式 这里使用的同伦分解方法是收敛的实现(参见[如果跟踪两个建议20.)和引用)。(H1) ,对所有。(H2)对于任何积极的常数存在一个常数这样,与,。我们有 我们将内部产品的一些属性。
4.1。属性的内积21,22]
希尔伯特空间上的评论娱乐很多插图的内积空间中产生的指标内产品利润完备度量空间。内积空间有一个本能地概述了规范接地的内积空间本身不平行四边形平等: 它是没有消极公理定义良好的内积空间的定义。可以观察到以下属性: 上面的是著名的cauchy - schwarz不等式。还可以获得以下: 以上被称为同质性。最后本文将为有趣 以上被称为三角不等式。
证明。使用我们的操作符的定义,我们有以下:
使用上面的减少,我们现在可以继续计算
我们将考虑通过案件的组件上面的方程:
关于身体的问题在检查中,我们被要求指出波只能在有限的空间传播;因此,,接近,因此,我们可以找到一个积极的常数吗这样。它遵循利用施瓦兹不等式
使用规范和导数的性质,我们可以找到一个正实数,说,例如,,满足
使用相同的属性,我们可以得到一个积极的实常数,说,例如,,这将允许我们有
现在我们可以进一步扩展到以下几点:
现在我们可以利用非线性波的传播在有限空间来获得这样
我们将继续我们的调查与以下情况:
毫无疑问,我们能找到四个位置实数,说,例如,,,和,让我们有以下关系:
我们可以进一步利用这一事实获得
也
然而,通过插入(33),(32)和(29日)(23),我们得出以下结果:
很明显,我们可以
验证和假说(H1)。
也容易证明假设两个只要意识到
然后假设(H2)也证实。因此以下假说(H1)和(H2)验证,我们可以毫无保留地建立以下定理。
定理5。让我们考虑 并考虑初始和边界条件(2);然后该方法会导致一个特殊的解决方案(2)。
上述定理的证明是直接从假设(H1)和(H2)和引理3。
定理6。考虑到初始条件(2),那么的特殊解决方案(2)而收敛是独一无二的。
5。推导的特殊解决方案
我们利用算法4获得特别的解决方案(2)。这里我们假设给出初始条件 然后使用我们得到以下的算法: 通过该算法,可以获得其余条款但为简单起见我们停在5项。描述了数值解1和2。
6。结论
近年来一些物理现象被解释与巨大的成功在noninteger秩序的概念衍生品的光。更重要的是如实复印外地、频率和history-dependent财产权力的法律现象,选择不同的造型设备构造的部分运营商必须启动。特别是,分数阶微积分报酬和分数阶模型及其应用领域的非线性波动之前一直集中重新考虑在过去的几个时代杰出的结果。有鉴于此,我们有调查和考虑非线性的运动波分数导数的文件夹内。仔细调查的稳定性、收敛性和独特性分析已经完成。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
作者的贡献
押顿Atangana写第一稿和其他三个作者修正并提交最终版本。
承认
押顿Atangana想感谢利昂·克劳德基金会的财政支持。