文摘
一个新的存在的结果向量均衡问题是第一个获得。然后,通过使用的存在性定理向量均衡问题,弱锥鞍点定理也获得了向量值映射。
1。介绍
鞍点问题是重要领域的优化理论和博弈论。至于优化理论,研究鞍点的主要动机是他们与特点极大极小对偶问题的解决办法。同时,至于游戏理论,主要动机的决心二人零和游戏基于极大极小原则。
近年来,基于向量优化的发展,大量的论文一直致力于研究锥鞍点问题向量值映射和集值映射,如(1- - - - - -8]。Nieuwenhuis [5]介绍了锥的概念向量值函数的鞍点在有限维空间和获得了锥鞍点定理一般向量值映射。龚(2)建立了一个强大的锥向量值函数的鞍点定理。李等人。4)获得词典鞍点的存在性定理向量值映射。Bigi et al。1)获得了锥鞍点定理,利用向量均衡问题的存在性定理。Zhang et al。9)建立了集值映射的锥宽松的鞍点。Zhang et al。8)获得了极大极小定理和锥鞍点的存在性定理利用Fan-Browder集值映射不动点定理。一些其他类型的存在结果可以发现在3,10- - - - - -18]。
另一方面,在某些情况下,它不可能找到一个最优化问题的精确解,或根本不存在这样一个确切的解决方案,例如,如果可行集不紧凑。因此,它是有意义的去寻找一个近似解。也有许多论文探讨近似解的问题,如(19- - - - - -21]。木村等。20.)获得几个存在的结果向量均衡问题和解决方案的下半连续性的映射向量均衡问题。安和同庆19)被认为是两种解决方案集参数广义向量quasiequilibrium问题的充分条件,建立了豪斯多夫半连续性(或Berge半连续性)这些解决方案的映射。李x b和s . j .李21建立了半连续性的结果向量均衡问题。
本文的目的是描述锥鞍点向量值的映射。为了这个目的,我们首先建立一个存在性定理向量均衡问题。然后,通过这个存在的结果,我们得到一个存在性定理锥鞍点向量值的映射。
2。预赛
让是一个真正的豪斯多夫拓扑向量空间,让是一个真正的局部凸拓扑向量空间分离。假设一个指出封闭的凸锥在吗与非空的内部。让拓扑的对偶空间。表示的双锥通过: 请注意,从引理3.2122我们有
定义1(见(7,23])。让是一个向量值映射。据说是上断断续续的上当且仅当,和任何,有一个开放的社区的这样 据说是-减少半连续上当且仅当是上断断续续的上。
引理2(见[17])。让是一个向量值和映射。如果是-减少半连续,然后断断续续的低。
定义3(见(24])。让和非空的子集的和是一个向量值映射。(我) 据说是-concavelike第一变量当且仅当,和,存在这样 (2) 据说是-convexlike第二变量当且仅当,和,存在这样 (3) 据说是-concavelike-convexlike上当且仅当是第一个变量和-concavelike-convexlike第二变量。
定义4。让是一个非空的子集。(我)一个点据说疲软最小的点当且仅当和表示所有弱的集合最小的点。(2)一个点据说疲软最大的当且仅当和表示所有弱的集合最大的。
定义5。让是一个向量值和映射。一个点据说疲软- - - - - -鞍点在如果
3所示。的存在向量均衡问题
在本节中,我们处理以下向量均衡问题(简称VAEP)。找到这样 在哪里是一个向量值映射,是一个非空的子集的和。
如果,,如果是一个解决VAEP呢是一个解决方案向量优化,在那里是一个向量值映射。
表示解决方案组(VAEP)
引理6(见[20.])。让是一个非空的子集。假设是一个向量值映射和满足以下条件:(我) 是一个紧集;(2) ;(3) 是-减少半连续上。然后,为每个,。
接下来,我们给出一个充分条件的条件(2)引理6。
引理7。让是一个非空的子集。假设是一个向量值映射对所有并满足以下条件:(我) 是一个紧集;(2) 是-concavelike-convexlike上;(3)为每一个,是-减少半连续上。然后,存在这样
证明。对于任何和,我们定义了一个多功能通过
首先,通过假设,我们必须有
事实上,如果存在这样,尽管,然后
特别是,,我们有,这与假设相矛盾。
然后,通过引理2,是一个闭集,为每一个。由(11),为任何,我们有
自紧凑,存在一个有限点集吗在这样
也就是说,对于每个,存在这样
现在,我们考虑一组
显然,(ii)的条件,是由(凸集。15),这一事实。
凸集分离定理,存在这样
自,我们可以得到和,尽管。的定义,对于每一个,
由(18),。然后,通过(17)和(19),
由(20.),。因此,通过条件(2),为每一个,存在这样
的假设和,存在这样
这就完成了证明。
定理8。让是一个非空的子集。假设是一个向量值映射对所有并满足以下条件:(我) 是一个紧集;(2) 是-concavelike-convexlike上;(3) 是-减少半连续上。然后,为每个,。
备注9。注意,条件(我)不需要这一事实是一个凸集。因此定理呢8不同于定理3.2 (20.]。下面的例子解释这个情况。
示例10。让,,, 很明显,然而,是一个紧集。不是一个凸集。因此,定理3.2 (20.不适用。的定义,是-concavelike-convexlike上和-减少半连续上。因此,所有条件的定理8持有。事实上,每个, 也就是说,。
4所示。的存在锥鞍点
引理11。让是一个非空的子集和。让,让向量值映射,在那里,,,。如果存在这样 然后是一个弱- - - - - -鞍点在。
证明。假设,我们有 然后, 由(27),以, 这意味着。然后,通过(27),以, 这意味着。因此,是一个弱- - - - - -鞍点在。这就完成了证明。
定理12。让和非空的集合,。假设是一个向量值映射和满足以下条件:(我) 和紧凑集;(2) 是-concavelike-convexlike上;(3) 是上断断续续的上;(iv) 是-减少半连续上。然后,有一个弱- - - - - -鞍点。
证明。让和是一个向量值的映射
接下来,我们表明,所有定理的假设8是通过。
显然,(i)的条件,紧凑。然后,通过条件(2),这一事实,和,存在这样
,为每一个和,存在
由(31日)和(32),为每个和,存在这样
也就是说,是-concavelike-convexlike上。
现在,我们证明是-减少半连续上。(3)的条件,为每一个和,有一个开放的社区的和的这样
,为每一个和,有一个开放的社区的和的这样
由(34)和(35),这一事实,,
也就是说,是-减少半连续上。因此,通过引理11,有一个弱- - - - - -鞍点。这就完成了证明。
的话13。条件(3)和(4)的定理12不意味着是连续的(见[23])。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢匿名裁判对他们有价值的意见和建议,这有助于提高。本文致力于教授踩踏Mateljevi 'c在他的65岁生日。