文摘

本文提出了最小二乘方法估计漂移参数的随机微分方程由小的声音,比纯粹的更一般的跳稳定的噪音。最小二乘估计量的渐近特性在某种规律性的条件下研究了。显示了估计量的渐近分布是一个稳定的分布和正态分布的卷积,这是完全不同于经典的案例。

1。介绍

随机微分方程(sd)被广泛用作模型来描述一些现象是受随机因素的影响;它已经发现许多应用程序在生物学(1)、医药(2)、计量经济学(3,4)、金融(5),地球物理(6),和海洋学7]。然后,统计推断这些微分方程的极大兴趣,成为一个具有挑战性的理论问题。最近的一个全面讨论,我们指的是(8,9]。

扩散过程的参数估计的渐近理论基于连续时间观察小白噪声以及发达国家和它已经被许多作者研究(见,例如,(10- - - - - -14])。有很多小噪声的应用数学金融学;见,例如,(15- - - - - -18]。

在参数推断,由于不可能观察扩散不断在一个时间间隔,它更实用和有趣的考虑渐近估计扩散过程与基于离散观测噪声小。有许多方法离散观察扩散漂移估计(见,例如,(19- - - - - -23])。长(24)已经开始对参数估计的研究了一类随机微分方程由小稳定噪音。然而,并没有研究对随机过程参数推理小利维的声音。

在这篇文章中,我们感兴趣的研究参数估计下列随机微分方程由一般征税噪音基于离散观测。我们将采用最小二乘方法来获得一个渐近一致的估计量。

让是一个基本完整的过滤概率空间满足通常的条件;也就是说,右边的过滤是连续的包含所有空集。在本文中,我们考虑一类随机微分方程如下: 在哪里和已知函数和,是已知的常数。让是一个标准布朗运动,让是一个标准利维稳定运动的独立,为,。

让是一个实值,平稳过程满足随机微分方程(1),我们假设这个过程观察到定期间隔的时间点。假设是潜在的解决常微分方程(ODE)漂移参数的真正价值: 然后,我们得到

2。预赛

在本文中,我们表示作为一个通用的常数的值可能会有所不同从一个地方到另一个地方。

以下规律条件假设持有: 的函数和满足李普希兹条件;也就是说,存在一个常数这样 存在常数和满足增长的条件 存在一个正的常数这样。 为, 伦敦政治经济学院的被定义为 在对比功能 然后可以显式地表示如下: 基于(3)和(9),是一种特殊的分解 现在我们给一个显式表达式。通过使用(10),我们有

我们将雇用的一个重要工具是底层引理(见在引理3.2的24])。

引理1。条件下,一个

3所示。最小二乘估计量的渐近性质

定理2。条件下,因为,,,,一个 在哪里和是独立的随机变量稳定分布和与标准正态分布是一个独立的随机变量。

将证明这个定理建立若干命题。我们将考虑的渐近行为,,,分别。

命题3。条件下,,,一个

证明。条件下,命题3可以证明通过使用条件(见3.3命题的证明(24])。

命题4。条件下,因为,和,一个

证明。为,, 由此可见, 使用Gronwall不等式,我们得到的 的收益率 因此,条件下和, 然后, 使用(13在引理1、条件和,我们得到作为,和(见在[24])。通过使用相同的技术,在条件,我们可以证明,,因为,,分别。

命题5。条件下,因为,和,一个

证明。条件下,命题5可以证明通过使用条件(见4.4命题的证明(24])。

命题6。条件下,因为,,一个

证明。请注意, 为,让,。然后它很容易看到和是独立的正态随机变量。
由此可见, 作为,。
为,使用马尔可夫不平等和Ito的等距性质,对于任何给定的, 通过使用(13),,因为。
类似的技术应用到,,我们得到,,因为,。

现在我们可以证明定理2。

证明。通过使用命题3,4,5,6Slutsky定理,我们可以得到的结论。

4所示。例子

我们考虑下面的非线性SDE由一般征税的声音: 在哪里,,和已知常数,然后呢是一个未知参数。

为简单起见,我们,;我们得到的颂歌: 和解决方案 然后,渐近分布

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。