文摘
摘要弱智偏积分微分的方程的数学分析,属于类的恒温器动力学方程与时间延迟。具体来说,本文致力于温和解的存在唯一性的证明相关的柯西问题。获得的主要结果是采用集成特性曲线和连续近似序列参数。中还讨论了应用程序和视角。
1。介绍
数学框架的推导和分析最近获得关注的应用科学和专门为建模复杂现象发生在生物学、化学、车辆交通、人群/群动态,经济学和社会系统。在复杂动力学的起源,有交互以非线性的方式和随机出现的元素(颗粒细胞,和行人)组成的复杂的系统1]。复杂的系统也具有涌现性,这是系统作为一个整体的属性不存在单独的元素水平。
不同的常微分方程和偏微分方程推导出,目的是获得一个准确的描述复杂的现象。此外,恒温器动力学数学建模的框架已经开发复杂系统在物理和生命科学(2- - - - - -5]。恒温器动力学模型的目标是建模的可能性在微观尺度粒子之间的相互作用。特别是,这些框架允许建模粒子表达策略的能力。
摘要研究恒温动力学理论的进一步发展提出了(6]。具体地说,本文致力于偏积分微分的方程的数学分析与温度和时间延迟,属于类的恒温器动力学理论框架。本文着重于温和解的存在唯一性的证明相关的柯西问题。获得的主要结果是采用集成特性曲线和连续近似序列参数。中还讨论了应用程序和视角。
引入的延时是为了考虑到大多数的新兴行为发生在复杂系统在特定时间是严格相关系统的粒子之间的相互作用在以前的时间。在相关文献中,数学模型提出了时滞只有在ODE-based模型;看到等,7- - - - - -16]。的引入时间延迟爆发引起了波动和霍普夫分岔;参见[17- - - - - -20.]。
值得强调的是,我们所知,这是第一次,时间延迟是引入一个恒温器偏积分微分的方程(动力)。
开发的内容本文通过四个部分,遵循这个介绍。在细节部分2处理延迟偏积分微分的方程和相关的柯西问题;部分3关心的是一些初步结果证明所需的部分中概述的主要结果,是吗4。最后,部分5致力于一个关键的分析提出了数学方程包括研究视角和应用程序。
2。延迟积分微分的方程
本文致力于解决方案的结果的存在性和唯一性的柯西问题如下: 在哪里是未知函数,,,是下面的积分算子: 与,时间延迟,最初的基准。
在与时间延迟偏积分微分的方程 是保守的交互操作符,分裂到增益(粒子的状态)操作符和粒子的损失(状态)操作符: 记住以上的,在合适的可积性假设,阶的时刻定义如下: 特别是,零、一阶和二阶时刻代表密度(质量),意思是激活(线性动量)活化能分别(动能)。这个词 是一个阻尼算子,允许控制的活化能。这一项是基于高斯等速恒温器(感兴趣的读者被称为等(21- - - - - -23])。
接下来,我们假设为(初始功能)。
3所示。初步结果
本节涉及一些初步结果的基础,在本文的主要结果。
引理1。获得操作符(4)满足所有功能和,以下标识:
证明。它是通过简单的计算。
主要的结果是基于以下假设的概率密度函数。(一个1)的概率密度函数满足,,以下标识: 哪些模型粒子的保护。(一个2)的概率密度函数是一个偶函数对吗;然后,特别是, (一个3)的概率密度函数满足,,以下标识:
证明。条件(9)意味着 牢记条件(10),我们有 最后,条件(11)意味着 因此,引理的证明。
记住前面的引理,为1阶矩演化方程在以下的结果。
定理3。假定的假设(9),(10)和(11)举行。如果存在一个非负解偏积分微分的方程(3),这样作为,那么1阶的时刻是解决延迟的一阶非线性常微分方程如下:
证明。积分算子可以写成: 增加双方的通过,集成,考虑到(10),我们有 自 然后我们有证据。
推论4。假定的假设(9),(10)和(11)举行。如果存在一个非负解柯西问题(1),这样(我)
,(2)
作为,
然后1阶的时刻读如下:
在哪里
证明。证明了耦合延迟微分方程(18与初始条件)。如果或,那么我们就有对所有。否则,唯一的解决方案是函数(22)。
定理5。让是一个奇数。假定的假设(9),(10)和(11)举行。然后,阶的时刻满足下列延迟常微分方程:
证明。证明是两边乘以(3)考虑的假设(9),(10)和(11),恒温器上执行分部积分项。
根据推论4,(3)可以改写如下: ,经过整合的特征(25)读取如下: 在哪里 被 轴承上面所有的,积分形式的(26)是 在哪里。
4所示。温和解的存在性
定义6。一个函数据说是一个温和的解决柯西问题(1在时间间隔)如果和是解积分方程如下: 在哪里
引理7。让以下连续近似序列: 在哪里是一个非负函数这样吗。然后,承认,趋于无穷时,非负限制这样。
证明。自是一个非负函数呢,。此外,
和。
我们现在用归纳法证明序列是单调,特别是
和。
对一些人来说,假设的归纳假设,我们有和。然后,
考虑到财产(8),方程(36)因此读取如下:
通过归纳假设我们得出这样的结论:序列是单调的。此外,
考虑到财产(12),我们有
并通过归纳假设
轴承上面所有的,我们得出这样的结论:序列有一个非负限制这样,因为。然后,列维定理意味着满足以下方程:
是谁的唯一解。因此,完全证明引理。
本文的主要结果是这样的。
定理8。让是一个非负函数等。然后,存在一个唯一非负温和的解决方案 柯西问题(1)。
证明。由于引理7州解决(31日),以证明是一个温和的解决方案(1),这足以证明。为了证明,我们考虑下面的连续近似序列:
或以下的等效形式(43):
的假设意味着零的时刻。现在假设归纳假设,对于一些。整合双方的44)/关于和使用(28),我们得到
考虑到财产(12),并通过使用归纳假设,右边的45)因此读取如下:
因此,对于所有,我们有。
增加双方的44),集成关于,我们有
考虑到(12),(13)和重复计算了6),很容易用归纳法证明那
增加双方的44)和集成关于,我们有
根据(6)很容易用归纳法证明那
让。然后,
自和建设,我们有
因此,在,自是有界的,那么。
我们现在证明解的唯一性。让是任何解决方案(31日)。运营商的积极性和意味着,,,然后。自因此,我们有。
推论9。让是一个非负函数等(我)
;(2)
。
然后,温和的解决方案柯西问题(1)属于在哪里
证明。它足以记得(24),注意,假设(2)暗示 我们可以得出这样的结论:。
5。应用和研究视角
本文的主要目的是指全球温和解的存在性的证明的恒温器和时间延迟偏积分微分的方程。正如前面提到的部分2,这个方程可以提出了复杂系统的建模在自然和社会,只有在微观尺度上的相互作用受到时间延迟的影响。具体地说,与时间延迟偏积分微分的方程 可以提出一般复杂系统建模的数学框架由大量的相互作用粒子和受到外力场吗。系统的整体状态是由分布函数描述(统计描述)。粒子能够表达一个特定的函数;这种能力的粒子是建模的变量。此外,颗粒之间的接触率是州吗(或),。最后,一个粒子的概率密度状态吗最终进入状态与粒子的交互后的状态。外部力场的作用是由温控器控制的术语,如部分所示4,保持恒定的一阶和二阶的时刻(数密度和激活系统的能量)。
从应用程序的角度来看,我们认为一个简单的模型在肿瘤细胞恶性肿瘤的进化。具体来说,我们假设变量模型中肿瘤细胞的恶性肿瘤的大小是一个狄拉克δ函数(确定性输出一对相互作用)根据相互作用粒子的微观状态: 最后我们假设时增加肿瘤细胞的恶性肿瘤细胞相互作用。因此,我们有 在哪里是一个积极的参数。轴承上面所有的,积分算子读如下: 然后延迟方程(55)现在读取如下:
然而,恒温器方程(55)不包括空间和速度变量的作用;然后,应用程序是指建模复杂的现象中均匀空间和速度。数学分析执行摘要必须因此广义考虑也由这些变量描述的动力学。此外,(55)指的是复杂系统不产生相互修改数量密度(保守的交互)。
研究角度包括执行的可能性的渐近分析抛物线(低场)和双曲线(轨迹)落下的石块(见[24- - - - - -34]),目的是获得在宏观尺度的动态系统。这是一个工作进程和结果将会在适当的时候。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
勒马耳尚卡洛比安卡和安妮是部分支持跟国家de la矫揉造作的(ANR T-KiNeT项目)。