文摘

本文提出了一种变系数线性薛定谔方程的辛方案和随机扰动项通过使用紧凑的太空计划。数值稳定的方案进行了分析。计划保持一个离散电荷守恒定律。他们也遵循一个离散能量转换公式。数值实验验证我们的分析。

1。介绍

微分方程(DEs)是重要的科学和工程模型。DEs理论和数值分析,我们可以获得一些数学的解释许多现象在应用科学1- - - - - -5]。含时薛定谔方程出现在量子物理学、光学、和许多其他领域(6,7]。一些对此类方程数值方法,如辛方案和multisymplectic计划,提出了在8- - - - - -14]。方案具有良好的数值稳定性。紧凑型方案最近很流行由于精度高、密实度和经济资源在科学计算(15- - - - - -17]。本文应用紧凑的运营商,我们构建辛方法的初始边界问题与变系数线性薛定谔方程和随机扰动项(用ls): 在哪里 , 是一个真正的微分函数, 是一个微分函数, 是一个小的实数, 意味着Stratonovich产品。 是一个实值白噪声在时间和光滑或δδ相关空间相关。为一个整数 , 和 的意思是 阶偏导数的 关于 和 ,分别。系统(1), 是一个确定性系统。当 很小,我们可以认为(1)是由随机摄动项。

乘以(1) 或 然后将其整合对 和 ,很容易验证下面的结果。

命题1。在周期性边界条件下,(一)解决方案(1)满足电荷守恒定律 (b)相应的确定性系统( )(1)具有能量守恒定律

本文组织如下。节2,我们给一个ls的辛结构。节3,我们提出新的ls辛方法。首先,我们使用一种紧凑的方案在离散化的空间导数。然后,在时间离散化,采用辛中点的方法。新方法是用LSC方案。我们也分析LSC方案的数值稳定性。我们给两个数值例子来支持我们的理论部分4。最后,我们做一些结论。

2。ls的辛结构

让 。伦敦政治经济学院(1可以用)

引入的变量 ,(4)在随机读取辛上下文 在哪里 该系统满足辛守恒定律(7,12,18]: 数值方法,保持离散辛守恒定律叫做辛方法。辛方法具有良好的数值稳定性。

3所示。LSC方案

3.1。紧凑的计划

介绍以下均匀网格网格: 在哪里 和 分别是空间和时间步大小。表示的数值 在节点 通过 。这些符号 和 指的是数值解向量 和 与组件 ,分别。此外,我们表示

介绍下面的线性算子 我们采用公式(19] 近似 ,这意味着 通过泰勒展开,我们可以得出一个家庭的四阶方案 领先的截断误差的方法 。如果 ,我们得到一个较小的方案模板。sixth-order方案了 表示两个对称和循环矩阵 在哪里 和 。然后的矩阵形式(11)是

3.2。ls的离散化

应用近似(11)线性系统(4),我们获得以下讨论随机哈密顿系统: 在哪里 时间离散化的(17),我们应用辛中点的方法 它的离散公式是

根据傅里叶分析,LSC方案(19)是无条件稳定的。事实上,我们可以推出 在哪里 然后,(19)和(21),我们可以获得 与 在哪里 。通过直接计算,我们可以得到矩阵的谱半径 是1, 。因此,该计划(19)是无条件稳定的。此外,通过对称,他们是nondissipative。

定理2。让 。然后, 的离散电荷不变LSC计划(19),这意味着离散电荷守恒定律(2)。

计划(19紧凑的形式)可以改写 乘(24) 和求和 ,我们获得 自 和 是对称的,前三个求和条件在上面的平等纯粹是虚构的,而最后四求和条件是真实的。表示 现在,的虚部(25),我们可以得到 表示 根据格林公式,我们获得 然后, 因此,从上面的分析,我们给出下面的结果。

定理3。在周期性边界条件下,LSC计划(19)满足离散能量转换法(27)。

4所示。数值例子

我们使用LSC方案解决LSESs和调查其数值行为。根据精确的数学定义的白噪声13,14),我们可以模拟噪声 ,在那里 , 是一个独立的随机变量序列与正常法律 在每个时间增量。表示 数值的残差 和 是衡量 和 ,分别。我们数值计算 , , 。

例1。伦敦证交所与常系数和周期性边界条件。
考虑 确定性系统的精确解 。右边上面的系统可以被视为一个随机扰动项。
图1情节的振幅 一个轨迹。图2显示的进化 一个轨迹和平均标准50多个轨迹。我们看到,白噪声产生随机扰动孤波和扰动的大小取决于噪声的大小。图2块离散电荷的残差的轨迹,验证了离散电荷守恒的紧凑的计划。图3情节一个轨迹离散能量的残差和平均标准50多个轨迹。这个数字告诉我们,离散的随机噪声使残差能量随时间线性增加。

(一)
(一)
(b)
(b)
图1
一个轨迹。
(一)
(一)
(b)
(b)
图2
一个轨迹和平均标准50多个轨迹(a)。残差的离散电荷一轨迹(b)。
(一)
(一)
(b)
(b)
图3
残差的离散能量轨迹和平均能量超过50轨迹。

例2。伦敦政治经济学院与一个变量系数和周期性边界条件。
考虑 确定性系统的精确解 。
图4情节的振幅 一个轨迹。图5显示的进化 一个轨迹和平均标准50多个轨迹。我们看到,白噪声产生随机扰动孤波和扰动的大小取决于噪声的大小。图5块离散电荷的残差的轨迹,验证了离散电荷守恒的紧凑的计划。图6情节一个轨迹离散能量的残差和平均标准50多个轨迹。这个数字告诉我们,离散的随机噪声使残差能量随时间线性增加。

(一)
(一)
(b)
(b)
图4
一个轨迹。
(一)
(一)
(b)
(b)
图5
一个轨迹和平均标准50多个轨迹(a)。残差的离散电荷一轨迹(b)。
(一)
(一)
(b)
(b)
图6
残差的离散能量轨迹和平均能量超过50轨迹。

5。结论

在本文中,我们应用一个辛计划时间和一种紧凑的区别在太空计划解决ls。无条件稳定的方法。在周期性边界条件下,他们保持一个离散电荷不变,满足一个离散能量转换定律。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

Xiuling阴支持创新基金会主任ICMSEC研究院、中科院的基础,NNSFC(91130003和91130003号)。Yanqin支持刘山东省自然科学基金(nos ZR2013AQ005和BS2013HZ026)。