文摘
我们考虑一个稳态传热的问题在各种几何图形的鳍,即矩形,径向和球形。非线性稳态导热问题linearizable提供的微分结果项涉及传热系数。因此,一个能够构造精确解。另一方面,我们采用谎言当问题不是linearizable对称方法。得到了一些有趣的结果和分析。等参数的影响thermogeometric鳍参数和温度的指数进行了研究。此外,翅片效率和热通量沿着鳍的球面几何学也进行了研究。
1。介绍
传热速率的热身体周围可能增加了表面延伸到周围。这些扩展表面被称为鳍。扩展表面被发现在许多工程设备。因此,通过这些表面传热的数学模型和解决方案的持续兴趣。鳍片的传热是由边值问题(BVPs)呈现高度非线性的热性能对温度的依赖关系。在这项研究中,给出了传热系数和热导率的幂律温度的函数。
鳍问题的解决方案的兴趣有增无减。许多对称分析师(1- - - - - -5]分析了鳍方程时,传热系数作为空间变量的函数。这样一个函数被直接分类方法(2)和扩展分析了(4]。只有一般的解决方案是在这种情况下提供。声称精确解的稳定鳍问题只有当存在导热系数和传热系数是常数(6]。然而Moitsheki et al。7)表明,解决方案可能存在,即使这些热参数是依赖于温度的。近年来Moitsheki [8,9]和Moitsheki Mhlongo [10)构造的精确解的对流换热鳍不同的配置文件。此外,Ndlovu和Moitsheki [11]提供了近似解析解稳态传热的鳍片不同的概要文件不能完全解决。在他们的研究建立了一个优秀的比较精确和近似的解决方案。也可以指通过Moradi [12和许多其他学者。
在这项研究中,我们考虑在鳍热传导问题的不同的几何图形,特别是球形鳍以前从未被研究过。我们比较传热在直角的精确解,径向和球形的鳍。我们进一步比较这些鳍片的翅片效率和有效性,并确定热参数的影响在一个球形的鳍,本文安排如下。节2认为,我们目前的描述模型。节3我们简要讨论这个谎言点对称的方法。线性化后,提供了精确解4。节5线性化失败时,我们分析问题。结论提供了部分6。
2。一个鳍问题的数学描述
我们考虑一个鳍的任意几何长度(或半径)和一个横截面积。周边的鳍是由。鳍是附加到一个固定的表面温度并延伸到环境温度的液体。的能量平衡方程 和相关的边界条件 希腊字母代表不同的几何图形;例如,代表了纵向矩形,矩形径向和球形鳍如图1,2,3。
引入无量纲变量和数字, 然后(1)和边界条件(2)成为 两个主要案例分析,即和。构造精确解时因为问题是linearizable和使用对称的方法。
3所示。短暂的账户点对称分析撒谎
在本节中,我们提供了一个简短的谎言点对称理论技术。简而言之,微分方程的对称是一种可逆的转变依赖和独立变量不会改变原来的微分方程。详细的理论和应用对称群可能发现撒谎的文字如13- - - - - -17]。因为在这项研究中我们处理非线性二阶常微分方程因此我们将限制讨论的决心对称性等方程。
我们寻求转换的形式 被称为无穷小的转换生成的向量 将给定的微分方程不变。在这里是一组参数。转换(生成的组6)一组单参数的转换。如果给定的方程是二阶的,例如, 然后我们扩展对称发生器(7) 在哪里 与总导数算子定义为
不变性的表面状况 收益率超定线性方程组称为确定方程可以解决获得承认对称发电机(或者说对称变换组)。在我们的分析,我们确定对称承认由单一控制方程而不是边值问题(BVP)。通常对称代数BVP较少的尺寸比控制方程(参见[13])。
4所示。线性化和精确的解决方案
它已被证明在9]方程如(4)是linearizable提供。因此假设,让然后(4)
几个子情况出现,即和任意,和。
例1 (,和)。这个案子已经解决了在7]。在这种情况下的解决方案 的解决方案给出了正弦和余弦函数。
例2 (,和)。这个案子已经解决了在8]。在这种情况下的精确解: 的解决方案给出了贝塞尔函数。
例3 (,和)。在这种情况下,我们获得确切的解决方案
解决方案(14),(16)和(17图中所示4。数据5和6描绘的情节的解决方案(17)不同和,分别。
例4 (,和)。给定一个任意,我们获得了通用的解决方案
注意,你可以获得精确的解决方案,只有当满足边界条件但这将配合解决方案(16)。时也可以构造精确解。在这种情况下的解决方案满足边界条件
5。对称的减少
在本节中,我们考虑的情况,和是任意的。在这种情况下(4)不是linearizable,因此我们采用谎言点对称分析。
5.1。情况下
在这种情况下(4)一维李代数由基向量张成的承认 注意,一个明显的额外的对称时是一个翻译。我们采用微分不变量的方法来减少的顺序(4)。的第一个延长发电机是由 并给出对应的特征方程 解决上述特征不变量 现在我们让,和写。定义的并利用链式法则 我们获得 替换成(8)我们有 我们注意到上述方程可能没有完全解决。
5.1.1。子用例
这个选择的不是身体因为没有鳍和指数的几何关系的导热系数和传热系数。然而,这种情况下是数学有趣的自(4)承认两个谎言点对称性这意味着[18ODE的]问题是可积或简化为一个一阶导数立方学位。由基向量张成的李代数是承认 我们省略进一步分析因为身体最初的假设是不现实的。
5.1.2中。子用例
在这个子用例(4)是可积的,承认一个由基向量张成的八维李代数 方程(4相当于一个简单的运动方程(18]。我们采用正则坐标的方法来演示这一说法。我们介绍的方法使用找到解决方案和从上面的维李代数向量。两个对称正则变量 和相应的规范形式的和是 写作变换(4) 将后者方程和写作它集成到我们获得原来的变量 施加边界条件,我们获得
5.1.3。子用例
在这个子用例承认八维对称代数包括撒谎
自(4)承认八对称性linearizable(参见[18])。使用对称的发电机和我们获得正则变量 中相应的发电机规范变量 写作变换(4)
6。翅片效率和热通量
翅片效率的比率被定义为实际传热翅片表面周围的流体,而整个鳍保持在相同的温度。另一方面,热通量是总热量单位时间单位面积上的流动。翅片效率和无量纲变量是由热通量 分别。这里的无量纲参数是毕奥数。
给定的解决方案(17),我们得到 在哪里指数积分(19]。翅片效率(41)是描绘在图8。
7所示。一些讨论和结论
在图4,我们观察到球形鳍的热量转移慢得多比径向和矩形的鳍。这也证实了在表的值1。现在我们只关注球形鳍,观察图5温度随值的增加而减小。记得thermogeometric鳍参数成正比的长宽比鳍。因此长鳍(大)更有效地释放热量,短的。在图6,温度增加而增加的值。最后图7描述了传热。图8是一个与不同价值观的翅片效率的情节。数据9和10描述热流。在本文中,我们集中在比较鳍的温度分布(或热)不同的几何图形。你可以观察表1这在任何给定的点在半径温度的值是在一个球形的鳍远高于径向和矩形的几何图形。事实证明球面鳍不一样有效地传输热量径向或矩形的鳍。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
r . j . Moitsheki感谢南非国家研究基金会的慷慨的财政支持。