文摘

有两种不同的方法对如何制定伴随数值模型(ANM)。针对纠纷从ANM的施工方法,非线性浅水方程之间的差异及其伴随方程进行了分析;伴随方程的双曲性和均匀性进行了讨论。然后,基于非结构化网格和有限体积方法,一个新的先进的伴随模型通过直接伴随方程的数值模型。使用一个梯度,伴随模型的正确性验证。两个实验的结果反演底摩擦系数(曼宁粗糙系数)表明,伴随模型可以提取观测信息和生产质量好的反演。纠纷的原因的施工方法ANM也是本文中讨论。

1。介绍

数值模拟成为一个有效的工具来分析和预测流体动力学、水文、海洋和大气。然而,数学模型的不确定性,例如,初始条件,开放的边界条件,和物理参数(风阻力系数、底摩擦系数、等等),使校准的根本问题非常具有挑战性。

伴随数据同化方法(缩写为“伴随法”以后),基于最优控制理论和四维变分理论,是一种最有效的数据同化方法广泛应用在气象和海洋数值模拟的研究1,2]。同化观测的优势,在时间和空间分布数学模型,同时保持动力和物理与模型的一致性。伴随方法主要集中在减少模型的不确定性引起的错误模型(3- - - - - -6]。

的推导伴随数值模型(ANM)是一个重要的问题对于发展中一个伴随数据同化系统。有两种不同的方法如何获得ANM (7]。第一个方法是“伴随模型”,也就是说,得到数值解的向前连续方程,然后推导ANM从这个数值模型。第二种方法是“伴随方程”,也就是说,向前推导伴随方程直接从连续方程,然后确定伴随数值模型建模的伴随方程。

传统认为,应该采用第一种方法,所以大多数研究采用“伴随模式”构建ANM [1,7,8]。必须强调,使用“伴随模型”的方法从向前ANM数值模型不允许根据具体需求选择合适的数值方法,如不连续的问题解决方案。事实上,一些研究表明,“伴随方程”将有类似的效果,也可以适当下降梯度(9,10]。“伴随方程”避免了数值模型和设计能力的局限性数值方案根据伴随方程的数学性质。

大多数伴随数值模型是基于有限差分法(FDM)。FDM具有良好的计算性能和编码效率。然而,经典的基于矩形网格的有限差分法不能准确近似边界在海湾和河口,具有复杂的几何图形(11,12]。提高数值模型的拟合能力的边界在海湾和河口,基于自适应网格的有限元方法(FEM)被引入伴随数值模型(13,14]。然而,在有限元法建立了非线性代数方程和迭代过程必须解决15]。此外,伴随的计算方法本身是巨大的:远期模型和伴随模型将集成向前和向后集成一次,分别在每个同化迭代。因此,有限元的计算成本肯定会增加同化。

事实上,有限体积法(有限体积法),FDM和有限元法的优点,结合最好的FDM的属性离散编码简单、计算效率和有限元几何的灵活性。此外,积分方程可以解决数值通量的计算;有限体积法更适合保证质量守恒(16]。

发展伴随基于有限体积法的数值模型,方程的性质将首先讨论。尽管一些研究使用“伴随方程”发展伴随模型(9,10,13),一些研究处理伴随方程的性质,如双曲率和伴随方程的同质性。此外,原因是什么,有限体积法可以用来解决伴随方程?如果新的基于有限体积法的伴随模型可行吗?在这项研究中我们将讨论这些问题。

本文组织如下。节2保守的浅水方程的伴随方程的笛卡尔坐标是派生的,反演底摩擦系数的公式,以及非线性浅水方程和它的伴随方程之间的差异进行了分析。节3伴随方程的性质,如特征结构,双曲率,通量的同质性,进行了讨论。节4,提出基于有限体积模型和它的伴随模型方法和非结构化三角形网格在简短的描述。节4,新的伴随模型和代码的正确性验证通过梯度检查。然后,在节5的影响伴随模式同化的两种不同类型的观察将通过一系列的双胞胎实验讨论。结束语中包括部分6。

2。水浅方程及其伴随方程

泥沙、非线性、保守的浅水方程的源项选为向前方程在这项研究中: 在哪里是总水深;是静态的水深度;水位;,水流的东部和北部分量,分别;重力加速度;科里奥利力;;是水体密度;和曼宁系数。

伴随方法的目的是选择适当的模型参数或初始字段来最小化之间的距离计算值和观测值。因此,构造目标函数如下: 在哪里,,权重系数;,,数值;和,,观测值在同化窗口,有观测数据;否则,他们等于数值。通过拉格朗日乘子法,,,引入(1),分别为拉格朗日乘子。目标函数是写成

必须有而函数极值。利用在边界和初始领域的前进过程,让初始场。因此,伴随方程得到 和反演底摩擦系数的公式 在哪里底摩擦系数,,是同化。

最重要的区别浅水方程和它的伴随方程是浅水方程向前整合,同时伴随方程向后整合,因此浅水方程通常被称为向前方程和伴随方程通常被称为向后方程。此外,浅水方程被迫由重力项,底摩擦项,和其他外部力量;变量和术语浅水方程的物理意义。然而伴随方程来源于向前方程和由观测值和数值之间的区别。

3所示。伴随方程的性质

3.1。伴随方程的结构特征

伴随方程可以写成 在哪里 雅可比矩阵的,是 因此,如果的特征值是,,。

相应的特征向量,,,在那里,,是常数。和左特征向量,,,在那里,,是常数。

的特征值是,,。因此,特征值(右)可以获得的,,,在那里,,是常数。左特征向量是,,,在那里,,是常数。

3.2。双曲率的伴随方程

让矩阵是雅可比矩阵的线性组合和,,,是真实的参数,然后呢。因此,

让的特征值是

根据双曲型方程的定义,我们有以下。(1)为,所有的特征值是实数;也就是说,有真正的特征值。因此,伴随方程是双曲方程。(2)当,也就是说,当的特征值不相等。然后伴随方程严格双曲方程。

3.3。通量的同质性

根据表达式的,,,,,我们有

这意味着,在伴随方程满足同质性需求的属性,这样伴随方程可以用来直接构造通量向量分裂。

4所示。伴随方程的有限体积格式

节,有限体积法用于解决方程及其伴随方程,并计算控制量是基于相同的非结构化三角形网格。

至于向前方程,大量的不连续捕获方法用于解决浅水方程,包括不连续性强的情况下,如涌潮(15]。在这项研究中,数值通量评估Roe的计划(17,18)和重建细胞变量的分段线性模型(19]。为了简便起见,我们不描述一遍。

事实证明,伴随方程是双曲方程3.2。双曲型方程的一个重要特征是不连续的解决方案。因此,我们使用了不连续捕获方法用于解决浅水方程解决伴随方程。

使用基于非结构化网格的有限体积法,计算域上执行三角元素和变量设置为每个元素的中心。让的数值通量在接口控制卷;伴随方程的有限体积格式可以制定如下: 在哪里的面积是控制体积,的长度吗一边的控制音量,,的平均值,在控制体积。

双方的伴随变量控制体积边界视为不同的值()。变量设置网格的中心元素,和,与分段常数近似重建。基于Roe的伴随方程的数值通量的计划可以写成

根据推导的部分3.1在上面的方程,

使用格林公式,梯度项的伴随方程的源项()可以近似计算 在哪里,,分别是邻居的中心细胞(图1),三角形的面积是。为,,,,大约计算类似,它们可以。

5。基于有限体积法的伴随模型的验证

在本节中,我们执行数据同化实验来验证正确性和讨论伴随模型的计算效率,在潮汐河口。域是一个广义河口,长度是20公里,宽度在上游是2公里,河口的宽度是10公里,水深10米。流计算网格的非结构化三角形共有588个节点和1064个细胞。最低的网格是大约100米(图2)。

在数值实验中,万有引力常数为9.8米/秒;初速度和自由表面高程以上水位仍将是零初始条件。的时间步骤提出模型和伴随模型都是40秒。潮汐组件在东河口的开放边界是给定的2米的振幅。上游的吸收边界条件的外推,并反射边界条件用于实心墙边界。

提出模型集成五个时期。当流沿直线传播渠道,形成涌潮。如前所述(20.),在短时间内潮汐高度达到3米(涌潮)9公里远离河口。

伴随数据同化,血统获得的成本函数的梯度是ANM的计算。因此,应该伴随模型和代码的正确性验证,这可以通过一个梯度进行检查(14,21];也就是说,数量 被认为是确认订单吗。成本函数在一般意义(在这项研究中,底摩擦系数),计算梯度,是一种干扰量,是一个任意单位向量(例如)。

表1显示了典型的价值观和减少的值序列。很明显,是。图3的曲线和不同的干扰。可以看出一阶精度和曲线不同与也显示了明显的v字形,也如预期在文献[14]。因此,它因此可以得出结论,至少对于这个模型的问题设置,新ANM基于有限体积法和罗伊的计划是正确的和可行的。

6。在广义怒潮河口同化效果

在本节中,为了讨论和显示性能伴随模式同化的广义潮汐河口,我们执行“孪生实验”转化曼宁粗糙系数的同化观测水位或速度;观测值的四种类型:水位或速度在所有的细胞,在细胞与奇数(网格)的一半,在细胞数量以3(1/10的网格),和四个细胞(3公里,0)、(8公里,0)、(13公里,0)和(18公里,0)域和实验设置是一样的5。

双胞胎实验过程如下。(1)给真正的底摩擦系数(0.02),计算模型然后保存5期水位和流速的最后时期,“观测值”。(2)给定的初始或校准底摩擦系数,计算模型5周期和计算代价函数基于过去周期的计算值和观测值。“如果指定的成本函数满足终止条件,则同化过程结束;否则,继续下一个过程。(3)计算ANM和校准底摩擦系数。然后回到步骤(2)继续同化。

6.1。吸收不同的水位数据的数量

在本部分中,曼宁粗糙系数是反向通过同化不同的水位数据的数量。

4例的初始值和反向结果表2。从表可以看出2同化算法收敛于真实值(0.02)给出初始值为0.01时四个测试。它还可以发现更多的观测同化时,同化算法更快地交谈。最近的结果的真正价值最低同化次(21),当吸收水在所有细胞水平。同化水位数据时也获得了满意的结果,只有四个细胞,尽管同化*(51)更大。当初始值为0.02、0.05和0.15,也得到了类似的结果。

应该指出,伴随同化算法对初始值很敏感,当吸收水位数据只有四个细胞。在这种情况下,初始值应接近真实值,或者是算法不收敛。

6.2。吸收不同数量的当前速度观测数据

同化观察当前的速度,如果我们让初始猜测阻力系数等于该值用于同化观测水位、同化过程不能交谈。当我们让最初的猜测阻力系数接近真实价值,它的工作原理。通过同化观测流速的细胞,我们最初的猜系数是0.015;29日同化后,我们得到倒置的结果是0.019977。所有细胞的一半,最初的猜测是0.015;37同化后,反向的结果是0.00045。在十分之一的细胞,初步猜测是0.0015;52同化后,反向的结果是0.019964。在四个细胞,我们让它成为0.017;73年同化后,我们得到倒置的结果是0.019959。 The initial values and inverted results for the four cases are given in Table3。

图4显示了前十五迭代的成本函数与同化水位观测值在所有细胞(实线)和同化流速观测值在所有细胞(虚线),分别。可以看出,同化观测值的两种类型的性能表现不同。同化流速时,成本函数下降快,但其收敛速度慢;当水位被同化,顺利成本函数收敛到最小值。现象可能导致这一事实的观察流速比的水位更敏感系数。所以当流速同化,成本函数反应更迅速;也正因为如此,很难收敛。结果表明,两种类型的观察应该融入到一个合适的平衡。

7所示。结论和展望

本研究给出了详细的分析和总结的伴随方程的性质,分析了伴随方程的特征结构,双曲率方程,方程的同质性,将雅可比矩阵的特征。已经证明属于双曲型方程和伴随方程证明了要注意解决不连续的双曲型方程构造伴随数值模型。我们还演示伴随方程的同质性和证明ANM通量向量分裂可以直接构造。基于理论分析,我们验证的准确性和同化效应ANM由有限体积格式。关于从两种不同施工方法的ANMs纠纷,我们相信,这是与数值算法的设计和选择,大大影响ANM的准确性和有效性。因此,在伴随方程理论分析前要实施ANMs发展。然而,这项研究只是初步研究伴随方程理论。进一步研究需要伴随方程的有关问题,包括伴随方程的解决方案的基本性质,伴随方程的关系,和某些数学物理方程和伴随方程的物理意义。澄清这些问题可以提供必要的指导建设合理的伴随数值模型。

广义的“孪生实验”涌潮河口转化曼宁粗糙系数的表明,底摩擦系数的空间分布会影响反演精度;大量的观测数据可以提高反演的准确性。结果还表明,两种类型的观察应该吸收合适的平衡。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作联合主办的973计划(2013 cb430102),中国国家自然科学基金(41205082,41205082),淮河流域气象开放基金,优先级的学术程序开发江苏高等教育机构(PAPD)。