文摘
一维热传导方程的傅里叶法在媒体的分形研究。一个近似解一维当地部分第二类沃尔泰拉积分方程,这是来源于傅里叶变换的通量方程在不连续的媒体中,被认为是。皮卡德逐次近似法应用于解决基于给定的温度场Mittag-Leffler-type傅里叶流量分布分形介质。nondifferential近似解给出了显示了当前方法的有效性。
1。介绍
工程问题在数学上可以用微分方程描述。许多最初和微分方程边值问题可以转化为问题的解决一些近似积分方程。传热是由积分方程理论描述。积分方程产生与光滑传热条件是有效的连续媒体(1- - - - - -4]。常见的方法求解热传导方程是纯粹数学是其中;有限差分技术(FDT) [5),回归分析(RA) (6],Adomian分解方法(ADM) [7),合并后的Laplace-Adomian方法(蛤)(8),同伦分析方法(火腿)9,10)、微分变换法(DTM) [11],spline-wavelets技术(SWT) [12),边界元法(BEM) [13),热平衡积分方法(HBIM) (14,15、变分迭代法(VIM) [16),当地部分变分迭代法(LFVIM) [17),皮卡德逐次近似法(PSAM) [18]。
另一方面,纳米热的问题可以作为分形特征的行为。像往常一样,这些材料被称为康托的材料。在分形介质传热非光滑条件是一个热门话题。例如,介质的传热方程与分形几何19)和分形域(20.被认为是。当地部分瞬态热传导方程基于傅里叶法在当地产生的分数导数不连续的传热媒体提出了(21- - - - - -24]。
分数微积分被成功用于解决现实世界问题[25- - - - - -30.]。有其限制,运营商不应对当地的分段连续函数(nondifferential功能)。因此,当地的分数傅里叶变化(21)不是由使用一些方法从古典和部分运营商。本文着重于分析解决当地分数傅里叶变化分形媒体通过使用皮卡德的逐次逼近法18]。本文组织如下。节2,我们给当地的分数导数和积分符号,研究分形介质的传热。部分3致力于当地皮卡德的逐次逼近方法基于分数积分。分析解决方案部分所示4。结论部分5。
2。传热在分形媒体与当地分数导数
为了研究non-differential解决热的问题在媒体分形与当地分数导数,我们这里开始与傅里叶通量方程在不连续的媒体。
温度场读取(21] 在哪里在分形域是本地部分连续吗。
对于一个给定的温度场当地部分温度梯度(21)可以写成: 当地部分偏导数的定义(21- - - - - -24] 在哪里。
这里,当地的分数导数定义设置的分形康托尔集。例如,当我们考虑到康托尔集,我们可以找到当地的分数阶导数不连续函数(然而,是一个本地分段连续函数)。
我们考虑热流单位分形区域分形介质温度梯度成正比。傅里叶热传导定律与当地分数导数是分形介质表达的(21] 在哪里表示分形材料的导热系数,它与材料的分形维数。结果表明,材料的分形维度是一个重要的特征值。在这里,我们考虑分形傅里叶流,这是不连续的;然而,它是发现,当地部分连续的。喜欢古典傅里叶流动,其导热系数是分形的一个近似值——当一个。
一维热传导方程的傅里叶法在分形媒体读取21] 在哪里表示分形材料的导热系数。
当,从(5)我们有 在而在,在那里是分形材料的导热系数。也就是说,是bi-Lipschitz映射,给出了分形特征的行为(21]。
当地部分热传导方程和热代在分形介质可以写成21] 当地部分热传导方程没有热生成的分形媒体建议(21,22] 在哪里是本地部分拉普拉斯算子21]。
3所示。该方法
在本节中,我们讨论了皮卡德逐次逼近方法。同时,我们将傅里叶法分形介质的一维热传导方程为当地部分第二类沃尔泰拉积分方程。
3.1。皮卡德的逐次逼近方法
该方法首次提出在18]。这里我们将给一个简短的介绍在当地皮卡德的逐次逼近方法分数微积分。
在这种方法中,我们设置 我们给第一个近似通过 当地部分的积分在哪里的订单在这一期间是定义如下21- - - - - -24]: 与,,,,。
在这里,我们发现平等是当地分段连续函数如果,和是地方分段连续函数。
继续以这种方式,我们有无限的序列的功能 这样的递归方程 在哪里相当于任何选定的功能,这是当地的分段连续函数。
因此,我们已经连续近似如下: 因此,限制,解决方案被编写为
3.2。另一种方法从当地当地部分分数导数沃尔泰拉积分方程
我们直接观察到当地的分数微分方程订单 立即可以写你的本地部分沃尔泰拉积分方程第二种形式 在哪里。
米塔格-莱弗勒型傅里叶通量分布分形介质可以写成: 利用(18),我们可以得到当地部分沃尔泰拉积分方程的第二种形式:
4所示。为当地的分数沃尔泰拉积分方程近似解的第二种
让我们假设零的近似 然后可以编写第一个近似如下: 我们获得第二个近似,读取 以这种方式进行,我们有第三近似以下形式: 因此,继续以这种方式,我们获得 限制, 在这个术语是一种米塔格-莱弗勒傅里叶通量分布分形媒体,这是有关分形粗粒度的质量函数(21,24]。当,我们得到。nondifferentiable解决方案(25)参数,,如图1;不可能的解决方案(25)参数,,如图2;不可能的解决方案(25)参数,,如图3;不可能的解决方案(25)参数,,如图4。
5。结论
这项工作研究了傅里叶法分形介质的一维热传导方程。米塔格-莱弗勒型傅里叶通量分布分形与温度场效应被认为是媒体。当地部分沃尔泰拉积分方程的近似解的第二种来源于傅里叶热传导一维热传导定律方程在不连续的媒体使用皮卡德的逐次逼近方法进行了研究。non-differential近似的解决方案显示了本方法的有效性。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作受到了国家科技支撑项目(没有。2012 bae09b00),中国国家自然科学基金(没有。51274270),国家自然科学基金委河北省(没有。E2013209215)。