文摘
本文的目的是展示的强收敛定理算法希尔伯特空间单调算子的数学规划的混合方法。主要结果推广和改进了相应的结果。此外,我们的结果较弱的假设条件比相应的结果。
1。介绍
在本文中,我们展示在希尔伯特空间算法求解包含问题。包容的问题是找到的零解;也就是说, 这个问题许多问题密切相关,比如变分不等式,不动点问题,和互补的数学规划问题,它扮演着一个重要的角色在凸分析和偏微分方程。包含问题(1)单调算子和极大单调算子被很多研究人员广泛的调查。看到曾(1),Kamimura et al。2- - - - - -19),等等。
2003年,方舟子和黄20.)首先介绍单调算子,并讨论了这类操作符的一些性质。
出于方和黄20.],最近,我们首先考虑的问题的单调算子寻找在希尔伯特空间的解决方案(21]。
在[21),我们主要介绍了强和弱收敛定理Halpern类型和曼类型算法,分别和极大单调算子之间的关系单调算子进行了详细分析。同时,我们将这些结果应用到最小化问题并提供一些数值例子来支持理论发现。这些结果开始一个新的研究分支包含问题,我们为这个问题做进一步扩展研究。
出于Nakajo和高桥的主要结果22),我们提出一个所谓的迭代算法如下: 在哪里和。
本文的目的是建立近似零点的强收敛定理单调算子,即找到这样。
2。预赛
定义1。多值操作符据说是(我)单调,如果 (2)最大单调,如果是单调,对所有,在那里表示身份映射。
我们注意到,最大单调当且仅当吗是单调和图 不是正确的图像中包含的其他单调算子吗。
定义2(见[20.])。让是一个单独的映射和多值映射。据说是(我) 单调,如果是单调,适用于每一个;(2)强烈单调,如果是强单调,适用于每一个。
定义3。让是一个单值算子。据说是(我)严格单调,如果是单调, (2)如果存在一个常数强烈单调这样 (3)如果存在一个常数李普希兹连续这样
备注4。我们注意到如果是强单调呢严格单调,但副不是。如果强烈和常数单调吗李普希兹连续和常数,那么我们就有。作为,然后满足
让是一个单值,让运营商是一个强烈的单调和李普希兹连续算子常数。让是一个单调算子的预解算子被定义为 为每一个。我们可以定义以下称为运营商Yosida近似: 我们给的一些基本性质和。
引理5(命题4.1 (21])。让是一个强烈的单调和李普希兹连续算子常数,让是一个单调算子。然后以下属性持有:(我) ,尽管 ;(2) ,尽管 ,或 ,尽管 ;(3) 是单调, (iv) ,尽管 。
引理6(命题4.2 (21])。考虑当且仅当满足的关系 在哪里是一个常数,是预解算子定义为(9)。
引理7(命题2.1 (20.])。让是一个严格单调单值算子和一个单调算子。然后是最大的单调。
引理8(见[23])。让是一个真实的巴拿赫空间。然后对所有
3所示。强收敛定理算法
我们考虑下面的算法和序列是由 在哪里和。出于Nakajo和高桥22和方舟子et al。12,13,20.),我们得到以下的结果。
定理9。让是一个强烈的单调和李普希兹连续算子常数。让是一个单调算子;让和是一个序列定义为(14),和满足,,,。如果,然后强烈收敛,在那里规的投影吗到。
证明。证明可以分为三个步骤。
步骤1 (
定义良好的,
)。基于的定义和,我们可以得到是一个封闭的和凸集的对于每一个。
由于不平等
相当于
因此,是封闭的、凸的,所以是什么对于每一个。
从引理6,存在这样对所有,并根据引理5,我们知道是一个扩张映射的为本身。
对所有,接下去
然后为每一个。因此,对于每一个。
接下来,我们证明定义良好的,数学归纳法。
为,我们有和。因此,,因为。
为,假设给出对所有。然后,存在一个唯一这样,因为是封闭的、凸的。
基于投影算子的性质,我们可以得到相当于
对所有。的假设,我们有。
因此,
步骤2 (
是有界的,
)。由引理5,我们得到是扩张。从引理6我们有,相当于。所以,是一个封闭的凸子集。
这个步骤可以遵循的其他证明引理3.2和3.3 (22]。
步骤3 (
)。从,我们得到是有界的。所以,是有界的。
现在,我们假设一个子序列的弱收敛于。自,我们有
从步骤2和假设,我们获得
因此,
同样的,它遵循步骤2,
因此,
这意味着
因此,
接下来,我们证明。自是单调,由于对所有,我们获得
对所有。由于假设和不平等(24),我们有
所以,和
由引理5,我们知道是一个极大单调算子;的极大性属性;我们有
如果下半连续性的常态,我们得到的
因此,我们获得
添加,我们可以得到。
因此,。
备注10。主要结果,定理9本文的假设条件,我们可以得到的结论。然而,结论通过假设条件出现在[2,20.]。
值得注意的是,条件是弱于条件
通过观察
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持的基础研究基金为中央大学,没有。K5051370004和美国国家科学基金会中国年轻科学家,11101320号,61202178,61373174。