文摘

捕食模型的横向扩散和时间延迟。我们给新兴的条件详细图灵不稳定。此外,我们通过数值模拟说明了空间模式,表明模型的动态展览推迟和扩散控制不仅增长形成的斑点和stripe-like模式,而且两个共存。结果表明,该系统具有丰富的动力学;这些模式显示,它是有用的扩散捕食模型与延迟的影响,揭示了在现实空间动态模型。

1。介绍

近年来,生态模型的一个重要的捕食模型。然而,这个模型有不可避免的局限性来描述许多现实的生物学现象。为了很好的形容真正的生态捕食者-猎物物种之间的相互作用,以下捕食模型已经提出和研究[1]: 在哪里和分别代表猎物和捕食者密度。第一个方程,在没有捕食猎物生长在逻辑上与承载能力和内在增长率。饱和的捕食功能反应用于(1)是在es Michaelis-Menten类型的动力学。的参数是最大的特定产物的生成速率和(half-saturation常数)的基质密度half-maximal产物的生成速率。第二个方程表明,捕食者在逻辑上与内在增长率增长。的参数是猎物的数量需要支持一个捕食者在平衡时什么时候=(2- - - - - -4]。

徐后和黄4),下一个扩展 我们到达以下方程包含无量纲量:

空间模式在本质上是无处不在;这些模式修改时间动力学和稳定性能的人口密度的空间尺度。他们的影响必须纳入时间并不代表空间明确的生态模型。结合空间因素和扩散的条件时,原始空间扩展模型写成以下系统: 在哪里或拉普拉斯算符通常是在一维或二维空间。扩散系数是用和,分别。

另一方面,时间延迟起着重要的作用在许多生物动力系统,在生态尤其相关,时间延迟已经公认的贡献极其结果在捕食猎物密度稳定或不稳定(5]。时间延迟由于妊娠中包含一些捕食模型,因为通常持续时间时间流逝的时间单位个体猎物死亡,当捕食者相应的增加人口是意识到6]。这种延迟的影响对种群的动力学行为研究的论文数量(5- - - - - -8]。

然而,我们所知,很少有工作的动力行为时间延迟和扩散的捕食模型。因此,在本文中,我们的目标是研究捕食模型横向扩散和时间延迟。更具体地说,本文主要是探讨空间模式。并给出模型 在哪里由于妊娠是一个常数延迟。

模型(5)需要分析的初始种群

我们还假设没有外部输入从外部强加。因此,作为边界条件 在哪里和是空间域。

本文组织如下。节2,通过使用线性稳定性分析的方法,我们推断可能发生不稳定的条件。节3我们执行一系列数值模拟显示,猎物的演化过程。最后,在节4,我们给出一些结论。

2。分析模型

在本节中,我们将讨论的稳定性模型(5)。很容易看到,模型(5)具有相同的平衡模型(3)。然而,我们发现模型(3)展览两个平衡:(我) ,这是相应的食肉动物的灭绝;(2)内部平衡点,对应于共存的猎物和捕食者

有一些工作的稳定性分析模型(3)[4]。然而,本文的主要目的是探讨交叉扩散和时间延迟的影响在空间格局。后(9,10),假设是足够小;我们替换如下:

用(9)模型(5),我们得到

扩大(10在泰勒级数,忽略高阶非线性(10)成为 在哪里,。

从(11),我们终于获得了

了解系统稳态时的反应摄动,我们考虑小时空扰动和在稳定状态如下:

线性化模型(13周围),我们获得

从(14),我们得到 在哪里,,。方程(12)可用于分析的动态行为模型(5)当很小,所以我们只考虑的情况吗(例如,),摘要。

假设的解决方案(15)的形式 在哪里增长速度扰动的时间吗,和代表振幅和波数的解决方案。和在插入(15),我们获得的特征方程的模型(5): 在哪里

的根(17)可以通过以下形式:

图灵不稳定意味着非空间模型(它是稳定的3),但不稳定的解决方案的空间模型(5)。稳定的非空间模型(3)保证如果 在哪里 和图灵不稳定设置在至少一个和是违反了。因此,我们认为不稳定的出现在以下两种情况:(我) 是违反了;(2) 是违反了。

首先,我们考虑是违反了。

从 简单的代数计算导致

自一些值是负的,从(19),我们注意到,必须满足下列条件: 相当于

上面使用的事实

因此,在这种情况下,必须满足

如果下列条件(22),(25)和(29日),积极的平衡的模型(5)是不稳定的。

看到横向扩散的效果和时间延迟,我们画出色散关系保持固定在图的参数值1。从图可以看出1,图灵模式可以提供。

接下来,我们考虑第二种情况下,是违反了。的基础上与上述相同的讨论,众所周知,时违反以下不平等是满足: 也就是说,

注意,如果

是有效的。

如果下列条件(22),(32)和(33),积极的平衡的模型(5)是不稳定的。

此外,第二种情况是类似于第一种情况。在下一节中,我们只讨论第一种情况,即。

3所示。模式结构

在实践中,在二维空间连续问题定义的反应扩散系统解决了在离散域格子(即。,abscissa axis and ordinate axis, resp.,和)。格点之间的间距是由晶格常数定义。为方法的差异衍生品。时间演化也离散;一步的时间的推移。在本文中,我们设置,,。注意,当进一步减少,不改变动力学。

我们运行模拟,直到他们达到静止状态或者直到他们表现出的行为,似乎并没有改变其特性了。在模拟不同类型的动态观察,我们发现的分布和总是相同的类型。因此,我们可以限制我们的分析模式形成的一个分布(在本文中,我们展示的分布,例如)。

在图2,我们设置,,,,,和稳态解,。不规则的瞬态模式后,我们可以看到,经常发现模式具有相同半径战胜整个域最后,和系统不接受任何进一步的动态变化。

在图3,我们设置,,,,,和稳态解,。不规则的图案形式后,条纹和斑点模式出现在感染的分布和人口密度,和系统不接受任何进一步的动态变化。

在图4,我们设置,,,,,和稳态解,。我们可以看到,常规条带模式战胜整个域最后,和系统不接受任何进一步的动态变化。

4所示。讨论

在本文中,我们分析的时空动态空间捕食模型与时间延迟和横向扩散。一系列的数值模拟表明,人口密度的典型动态变化是孤立的群体的形成,也就是说,发现或stripe-like共存的。我们已经提出了三种数据显示不同模式使用不同的延迟时。也就是说,延迟之间的相互作用和扩散可以创建固定模式。

虽然还需要做更多的工作,原则上,似乎延迟和扩散是能够产生许多不同种类的时空模式。等原因,我们可以预测,延迟和扩散可以被视为一个重要的机制复杂的时空动态生态模型的外观。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由美国国家科学基金会支持的中国(10471040)和美国国家科学基金会的山西省(2009011005 - 1)。