文摘
我们整个函数的唯一性定理证明分享两个截然不同的小函数变化。定理的推论证实构成的猜想和李高(2011)。
1。介绍
让是一个非常数的亚纯函数在复平面。我们将使用标准的符号等Nevanlinna亚纯函数理论,,(见[1,2])。的符号定义是量满意吗作为可能外面的一组有限的线性措施。亚纯函数被称为一个小功能相关前提是。
让和是两个非常数亚纯函数,让是一个小函数有关和。我们说和分享厘米,如果和有相同的零相同的多样性。和据说分享我如果和有相同的零忽视多样性。
让是所有常见的计数函数零相同的多样性和。如果 然后我们说和分享CM几乎。
对于一个复杂非零常数,我们定义不同运营商和,,。
1977年,鲁贝尔和杨3]证明了下面的结果。
定理。让是一个非常数的全部功能。如果和分享两个截然不同的有限值厘米。
事实上,结论仍然成立,如果两个厘米值替换为两个IM值(见甘德森[4,5),μ和斯坦梅茨6])。
最近,许多文章关注的亚纯函数的值分布的变化或不同运营商(见[7- - - - - -11])。特别是一些论文研究了亚纯函数的唯一性与他们共享价值观变化或不同运营商(见[12- - - - - -14])。2009年,Heittokangas et al。12有关变化]证明了下面的结果。
定理B。让是一个非常数的整函数的有限顺序,。如果和分享两个截然不同的有限值厘米。
2011年,李和高14有关不同运营商]证明了下面的结果。
定理C。让是一个非常数的整函数的有限顺序,,让是一个正整数。假设和分享两个截然不同的有限值,CM和满足下列情形之一:(我)
;(2)
和
。
然后。
在[14),李高和猜想的限制的情况下可以删除。在本文中,我们证实自己的猜想。事实上,我们证明以下更一般的结果。
定理1。让是一个非常数的整函数的有限顺序,让是一个正整数,让,是两个不同的小功能相关,让非零复数和不同的有限值,让 如果和分享,厘米,然后。
推论2。让是一个非常数的整函数的有限顺序,让是一个非零的有限的复数,让是一个正整数,并让,是两个不同的有限值。如果和分享,厘米,然后。
推论4。让是一个非常数的整函数的有限顺序,让是一个非零的有限的复数,让,是两个不同的小功能相关。如果和分享,厘米,然后。
2。一些前题
定理的证明1,我们需要以下结果。
引理5(见[15])。让和是两个非常数亚纯函数满足 如果和分享厘米差不多,然后要么或。
引理6(见[15])。让和是两个非常数亚纯函数满足 如果和分享和厘米差不多, 在哪里是一组无穷线性测量呢 在哪里,,,是常数满足。
引理7(见[10])。让是一个非常数的亚纯函数的有限顺序,。然后 对所有外一组可能的例外与有限的对数测量。
在下面,表示任何函数满足作为外,可能与有限的对数测量一组。
3所示。定理的证明1
我们证明定理1的矛盾。假设。然后它遵循从和是两个不同的全部功能和分享,,厘米。Nevanlinna第二基本定理的三个小功能, 同样,我们有。因此,。
集 因此,分享,,CM几乎。
显然,我们有 通过Nevanlinna第二基本定理,我们
自 ,从而 由(11),我们有 由此可见, 另一方面,通过Nevanlinna第一基本定理,我们 所以我们得到
集
如果,我们可以推断出,(16),
如果,设置
然后我们有
此前从(16),
由引理6,我们有 在哪里,,,复数是令人满意的。
现在,我们考虑三种情况。
案例1。考虑。因此
同样,我们有
由引理5,我们得到或。
如果,我们可以很容易地推断出与我们的假设,这是一个矛盾。
如果,这是 然后我们有
从(28),我们有
由此可见,,一个矛盾。
例2。考虑。使用相同的参数中使用情况1,我们推断出,一个矛盾。
例3。考虑,。自和分享,厘米差不多,我们推断(24),
如果,然后;也就是说,,一个矛盾。
因此。因此我们有
很明显,,。因此通过Nevanlinna第二基本定理和(14),我们得到
由此可见,,一个矛盾。因此我们证明。这就完成了定理的证明1。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者感谢裁判仔细阅读论文,指出本文的先前版本的差距,并给许多有价值的建议。研究支持中国NNSF(批准号11371149)和NSF广东省,中国(批准号S2012010010121)。