文摘
分数布朗运动与赫斯特指数是一个很好的候选人与远程依赖金融时间序列建模和自相似性。本文的主要目的是解决股权的估值索引年金(EIA)设计根据分数布朗运动驱动的市场。结果,本文提出了一个明确的定价表达式点对点环境影响评价设计和定价的界限high-water-marked环评设计。给出了一些数值例子来说明参数参与定价的影响问题。
1。介绍
索引年金是一种延税型年金的认为兴趣是股票指数通常与标准普尔500指数或国际指数。它保证最低利率(通常在1%至3%之间)如果举行投降的最后期限和防止损失本金。股票指数年金(简称EIA)是一种与保险或年金公司合同。回报可能高于固定工具,如cd、货币市场账户和债券,但不像市场高回报。合同中的担保是由保险人的相对实力。合同可能适合的一部分资产组合对于那些想要避免风险,在退休或接近退休年龄。采购股票指数年金的目标是实现更大的收益比提供的cd,货币市场,或债券,同时还保护本金。
因为他们提供最低保证投资回报和信贷利率锁定,环评设计有吸引力的产品给客户。销售大幅增长自1995年引入。事实上,环境影响评价2007年销售近美元,超过2000年的水平增加了380%欧元(见Marrion [1])。一个行业调查显示,索引年金喜欢记录2010年销售增长;39索引年金运营商参与第54版AnnuitySpecs.com的索引销售&市场报告,代表索引年金产量的99%。第四季度总销量十亿,从去年同期的19%。
EIA往往复杂而回报的机制可以根据月、年差异很大,购买年金。评估(定价)的环境影响评价的一个主要方法就是所谓的结构方法。的方法是引入一个随机过程建模股本参与环境影响评价产品的行为。原创作品在这方面可以在张晓卿[2]。加强工作可以在博伊尔,田3),嘉宝和虚4),哈代(5],Jaimungal [6),木岛和黄7,李8),林和褐色(9),和摩尔10]。这些作者研究了定价,套期保值和风险管理环境影响评价的各种特征。还存在各种各样的文献在EIA估值将随机利率或随机死亡率模型;详情,请参阅Biffis[的工作11),Biffis et al。12),埃诺和Devolder13),罗斯和Mamon [14)和引用。
在上述论文,股票被认为是由动态漂移布朗运动,布朗运动和泊松跳跃,或征收过程。所有这些过程是独立的增量,因此他们半,这使经典的Ito微积分为半申请股票市场建模。另一个流行的工具,环评是Esscher变换的估值;看到林和褐色的工作(9),钱等。15],张晓卿[2)和引用。Esscher变换的目的是获得Radon-Nikodym导数构造一个新的措施。根据新措施,潜在风险资产是嵌入到一个风险中性世界。这也是著名的Black-Scholes-Merton期权定价的概念框架。Esscher变换要求的返回过程风险资产(也叫对数的资产价格过程)应独立增量。然而,行为金融学和计量经济学实证研究发现,并不是所有的财务数据都符合这一基本特征。在过去的几十年中,大量文献表明,许多金融市场时间序列显示远程依赖和动量和自相似特性;看到Ait-Sahalia[的工作16,安德鲁17),而格兰杰(18例如,]。在这种情况下,古典金融独立增量模型是无效的,因此,由Esscher推导风险中性测度变换的方法是不可用的。因此,人们很自然地提出新的模型来描述这种新型的金融时间序列。通过理论分析和实证检验,结果表明分数布朗运动(fBm)模型是好的候选人,因此,部分布莱克-斯科尔斯模型提出了。部分布莱克-斯科尔斯模型是一个泛化的布莱克-斯科尔斯模型,基于分数布朗运动取代标准布朗运动的金融模型。
在本文中,我们介绍fBm环评评估框架,获得两种主要的定价表达式环评设计。本文组织如下。节2,我们很快把一些初步结果显示为什么fBm捕捉金融数据与远程依赖和自相似性。fBm不是半以来,传统Ito微积分方法是无效的。因此,部分2也提出了一些现有基本fBm演算结果稍后将是非常重要的在我们的讨论。节3点对点环境影响评价,明确定价公式设计和约束估计high-water-marked环评设计。给出了一些数值例子来比较我们的结果与经典模型在这一节中。节4,我们提出我们的结论和一些遗留问题。
2。预赛:远程依赖和fBm
本节仅作为一个快速的调查显示的内容在Sottinen和Valkeila [19)和引用。
定义1(远程依赖)。一个平稳序列据说展览统计远程依赖,如果其自相关函数满足 对于一些和。这是说之间的依赖和衰变缓慢。特别是,
在一些文献中,(2)也称为远程依赖的定义。
定义2(自相似性)。为中心的一个随机过程据说是和赫斯特指数统计自相似吗,如果 对所有。在这里,表示的等效分布。
下面的引理3和4演示了分数布朗运动的重要性在建模与远程依赖财务数据;详情我们将Sottinen和Valkeila19)和引用。
引理3。一平方可积的自相似过程与固定增量承认 由(4),你可以很容易地发现这是一个必要条件的过程是定义良好的。
引理4。假设自相似过程集中与固定增量的平方可积的过程;然后增量 与自相关函数是静止的吗。然后,当,一个 因此,只有在的增量展览远程依赖。
让一个完整的过滤概率空间,fBm与赫斯特指数是一个连续、集中和协方差函数高斯过程吗 我们认为,,对于一些,满足一般条件和是现实世界的概率。
如果,那么相应的fBm是通常的标准布朗运动。此外,静止的增量,H自相似。环评模型驱动下的估值标准布朗运动都进行了广泛的研究,当我们提到的介绍。如果,这个过程,展品远程依赖。中提到的是愿意等。20.),数据与远程依赖广泛分布在经济和金融,因此是一个活跃的研究课题(例如,看到10]详情)。远程依赖似乎还一个重要特性,解释了波动持久性和动量效应的证据确凿的证据。从今以后,我们只会考虑这样一种情况在本文的其余部分,这是最经常遇到真实的财务数据。
定义一个部分经典的布莱克-斯科尔斯定价模型的模拟,我们需要知道如何整合对(简称w.r.t.) fBm这是连接到套期保值。主要有两种方式定义fBm随机整合。一个是明智的道路,随机积分w.r.t. fBm Riemann-Stieltjes细化的积分使用变异;,达德利和Norvaisa21]。另一个是基于白噪声分析和芯产品;邓肯,et al。22),应用程序,看到胡锦涛和Øksendal [23]。假设;以下路径的改变变量公式明智的集成对fBm扮演重要的角色在下面: 在期权定价或环评估值,Girsanov定理为半的重要性将标的资产价格过程转换为一个风险中性世界;除了Girsanov定理,Esscher变换也是一个主要的方法获取风险中性测度。自Esscher fBm变换是无效的,继续我们的讨论,类似Girsanov定理fBm是必要的。我们开始我们的讨论通过定义所谓的基本鞅,这是由 现在,是鞅与二次过程 在哪里和某些常数根据赫斯特指数吗。以下两个定理给fBM Girsanov变换推导过程和fBM鞅表示;读者被称为Norros et al。24详细讨论)。
引理5 (Girsanov定理)。让是一个确定性的函数,定义一个度量通过 然后这个过程 是一个fBm,当且仅当在测量。
引理6(鞅表示分数布朗运动)。定义;然后 在哪里
3所示。定价环境影响评价
3.1。环境影响评价设计和模型
有变量环评产品;在本文中,我们讨论一些最常见的定价在市场上可用的环境影响评价政策。最简单的一个是点对点的设计,政策收入实现回报指数(或其他风险资产)在一段时间在规定的参与率,但最低保证。例如,如果标普500指数的5年实现回报率100%,我们假设80%的参与率,然后实际所得利息政策将是80%。即使市场表现不佳,政策仍然赚至少保证利率的回归。另一种类型的设计,我们还将涉及本文回顾或high-water-marked。这也被称为“没有后悔”类型的政策,中收入最高的回报指数达到生命的政策。最有利的一种环境影响评价产品设计似乎是一年一度的重置。然而,由于技术上的困难,我们不能满足框架和结果评估年度重置环境影响评价产品。
价格一个环评设计,提出了动态索引股本。据我们所知,大多由半高风险资产。由于long-dependence的属性,以及一些金融时间序列的自相似性,是很自然的和迫切需要引入适当的过程建模这样的财务数据。因为它是部分所示2,fBm是理想的连续时间候选人。因此,我们代替布朗运动的随机性的来源由fBm与指数然后我们给出了风险资产的动态 的解决方案(15)称为几何分数布朗运动。类似于经典的假设模型中,我们假设参数,,,是常数。
注7。因为我们的想法是为评估环境影响评价应用期权定价公式的设计,一个不可避免的问题是套利定价模型是免费和定价模型是否完成。邓肯的灯芯产品框架下et al。22),解决方案(15)是
和套利定价模型是免费的和完整的。然而,在智慧的集成框架,解决(15)是
和存在套利定价模型。1997年,罗杰斯(7]表明,分数布朗运动不能用作价格过程风险安全不引入套利机会。
虽然框架下经典资产定价基本原理,“fBm不是适合驾驶过程的金融市场;仍然是有意义的考虑下fBm驱动的市场定价问题。我们列出的原因如下。(我)(Nonarbitrage fBm模型是可行的。)由于年后)等的工作。25),可以找到一个一般类的过程,不需要半,不允许套利。这个想法是不允许连续交易,此外,需要连续交易之间的最小的固定时间。固定时间可以小至一个喜欢,但是一旦选择,它不能被改变。不允许一个集群的交易在一个短暂的套利机会。但值得注意的是,连续的交易策略生成无限交易成本在合理的模型的成本,和无限的变化产生无限的流动性成本在任何有限的时间间隔(由儿子et al。26])。因此,这些交易策略不可能被用于实践。因此,提出的方法避免套利年后et al。25是自然地接受了在现实世界中实践。(2)(实际需要)价格过程不是半更有规律地出现在实证文献评估股票价格过程(见Ait-Sahalia [16,安德鲁17],格兰杰[18]达德利和Norvaisa [21),和引用其中);因此有必要引入fBm金融时间序列建模。
注8。可以计算出路径的环评价格明智使用弱分级模型的定价原则,在广义的同时,获得的定价模型提出了由胡锦涛和Øksendal [23]。虽然道路明智的集成理论不是灯芯一样令人满意的产品,前一个人自己的优势。首先,功能分析方法使它不可能考虑路径的积分几乎肯定限制的过程在某些分区积分。应该注意的是,这在布朗运动的解释是可能的。其次,主观地,一个想要模型的路径属性索引股票的价格。芯产品集成不适合这一目标路径属性没有中央作用以来积分。
3.2。点对点的设计
在这里,我们只讨论简单的点对点的设计,该指数水平成熟度被简单地看作是结束索引。在所有情况下开始指数的指数水平的政策。让是一个资产的价值(或价格)这需要兴趣的力量;也就是说,支付股息之间的时间和时间,在那里是负的。让的参与率,在实践中,几乎总是小于或等于1。假设在时间,1,给出一个初始溢价,我们有一个政策,支付,或一个固定的行使价格(=),哪个更高。因此,在成熟,政策获得一定比例的实现资产回报率时间(的政策),提供最低保证收益率,。因此,我们可以表达这一政策下分形模型的估值 在经典定价公式,如果市场无套利,在风险中性测度下,折扣价格的过程是一个鞅关于布朗运动所产生的自然σ过滤。特别是,我们有 在派系背景下,我们不能有鞅性质。然而,Girsanov定理分数布朗运动提供了一个独特的概率测度,相当于这样,(19)持有。通过简单的计算,可以发现(19)认为,如果过程 fBm下测量吗。Grisanov定理,被定义为 在测量,我们有 注意,以下措施,,是一个分数布朗运动;整合其自相似性产权收益 鉴于,,,,表示EIA的估值和参与率。不失一般性,假设。然后,我们得到的估值公式EIA在点对点的直接设计(23)。考虑 请注意, 因此,(24)可以新配方
备注9。如果我们考虑股息支付,我们让是负的股息收益率,资产支付股息在很小的时间间隔,那么“纯”无风险资产的收入。你可以很容易地发现,在这种情况下,点对点设计重新定价公式
通过将,那么我们的模型是著名的布莱克-斯科尔斯定价模型,这也是张晓卿中的索引股本模型(2),张晓卿[2)是一种特殊情况(27),将。
现在让我们假设客户保证最低到期值,这是一个百分比,,最初的溢价复合至少保证回报率,政策的持续时间。我们可以把这个功能融入政策通过设置行使价格 假设的初始溢价。对于大多数的环评设计保险公司卖的,设置在90%左右,在3%。现在,我们要做一些观察。一般来说,设计的价格增加对参数,,。至于和,情况并不明确。可以增加或减少对吗和,这取决于其他参数。尽管我们可以给一些直观的理解这些关系通过数值例子,正如在张晓卿做法2),在这里,我们要强调不同的环境影响评价估值模型由布朗运动驱动和下一个由fBm驱动的。因此,我们以相同的参数为一个在张晓卿(图1和图22),分别。
在数据1和2,红色曲线代表fBm模型下的定价曲线和蓝色曲线代表布朗运动模型下的。从这两个数字,这是很容易,当参与率把小价值,例如0.2或0.3,两个定价模型没有明显的区别。时的值是相对较大的,例如0.6和0.9,然后,两个定价模型有很大的不同。一般来说,在同一投降,fBm模型的估值高于布朗运动之一。
3.3。High-Water-Marked设计
另一个流行的设计在环境影响评价产品是回顾或high-water-marked方法。我们的想法是,在成熟,政策的利息将基于索引值达到最高的增长率在政策指数的生命价值在学期的开始,我们假设这是一个在我们的计算中。在实践中,该方法通常在每个策略看起来在指数级的纪念日,然后是最高的,算在到期日的指数水平。在这里,我们考虑连续回顾情况下。让 在指数达到最高的回报率超过的时间间隔。我们假设的回报政策是或一个固定的最低保证金额,,哪个是更大的。在这种情况下,在时刻0,表示这一政策的价值;然后 在哪里是一个测量下fBm。因此,获得high-water-marked设计的定价公式,它是足以获得最大的分布的fBm非线性漂移。不幸的是,据我们所知,没有主题上的现有结果,这对我们来说也不是一件容易的事。另外,我们致力于推出一个下界和上界定价high-water-marked设计下的环境影响评价。
让。表示由的分布在测量并通过的尾部分布;也就是说,。然后(30.)是新配方 请注意, 在哪里是标准正态分布。表示由的最小值;然后是一个上限的。这个上限似乎很粗糙;然而,正如在Narayan证明(27)和Norros et al。24),这样的束缚很紧。因为的权力指数不是一个整数,它是不容易得到的显式表达式,但它很容易得到数值解。
另一方面, 斯莱皮恩不平等的fBm漂移(例如,看到Michna [28),它遵循 在哪里布朗运动是符合标准的。表示作为 然后 利用积分方程的第一通道密度对布朗运动障碍(见,例如,Ferebee [29日]),我们能够找到一个低密度的说,,需要的形式 在哪里是标准正态分布的密度函数。通过集成(33),(35)和(37),我们有 一起的定义和(38),我们有 通过集成(30.)和(39),我们的定价有以下约束估计high-water-marked设计: 在哪里
4所示。评价和结论
high-water-marked EIA设计的评估是高度依赖于分布的上确界漂流(线性或非线性)fBm,尽管读者可以依靠纳的结果(27)和引用其中的渐近分布的上确界fBm和他们的应用程序。例如,看到愿意et al。20.]他们的应用程序的性能评估,看看Michna [28为他们的应用程序在保险)。但是,据我们所知,fBm的上确界分布的非线性漂移仍然是个问题。甚至好估计上确界分布的范围没有解决。在某种程度上,我们的定价范围估计下的环评high-water-marked设计是有意义的。事实上,估计也是经典风险理论和风险管理的研究课题,例如,破产概率;看到Asmussen [30.]。
通常有三种环境影响评价设计:点对点,high-water-marked、年度重置。在本文中,我们只关注前两种设计。到目前为止,我们不能得到一个显式表达式对定价公式或任何适当的边界估计等设计,因此它是一个剩余的问题。时是非常重要的考虑随机利率定价环境影响评价。林和褐色(9)考虑随机利率模型的提出Vasicek模型相关的几何布朗运动风险资产。他们认为,随机利率的影响是至关重要的在EIA定价由仿真结果。木岛和黄7)采用普通无套利定价原理简单和复合年重置价格环评当短期汇率遵循扩展Vasicek模型。在上述文献中,死亡风险被认为是确定性的,甚至不包括在内。然而,许多国家的预期寿命长度大大增加在过去几十年的进步健康科学和医学;人寿保险和年金暴露在不可预料的变化随着时间的推移,在适当的参考人口的死亡率,人寿保险公司不得不使用一个随机模型来描述死亡的法律。存在各种各样的关于这个主题的文献,例如,Biffis [11),Biffis et al。12),埃诺和Devolder13),罗斯和Mamon14,钱等。15]。以来到目前为止,我们还没有清楚的力学fBm和随机死亡率过程或兴趣的过程,所以我们只专注于简单情况。但这些主题是有趣的和值得进一步研究。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者非常感谢编辑和匿名裁判的建议和帮助,这大大地提高了本文。林徐由人文社会科学项目支持中国教育部(12 yjc910012)和中国国家自然科学基金(11201006)。沈Guangjun支持由中国国家自然科学基金(11271020)和安徽省自然科学基金(1208085 ma11)。Dingjun姚明是由中国国家自然科学基金(11101205)。