文摘

我们使用本地分级级数展开方法来解决克莱因-戈登方程在当地部分衍生品康托尔集。nondifferential条款内的解析解进行了讨论。结果显示目前的技术与应用程序的简单性和效率问题的班轮微分方程在康托尔集。

1。介绍

克莱因-戈登方程(1]被应用到数学物理等固态物理、非线性光学和量子场论。的一些分析方法求解克莱因-戈登方程包括变分迭代法(2),双曲正切和正弦余弦方法(3),分解法(4)、微分变换方法(5],和homotopy-perturbation方法[6]。

最近,部分的解决方案克莱因戈登与卡普托分数阶导数方程被认为是在7- - - - - -9]。Golmankhaneh等人使用homotopy-perturbation方法获取解决方案部分克莱因戈登方程(7]。Kurulay [8]指出了解决方案部分克莱因戈登方程利用同伦分析方法。Gepreel和默罕默德9)提出了非线性时空部分克莱因戈登方程的解的同伦分析方法。

当一些域名不能被平滑函数,经典方法和分级方法基于Riemann-Liouville(或卡普托)衍生品是不可接受的。在这种情况下,当地的分数微积分建模是一种有效的技术这些物理问题(10- - - - - -23]。使用部分复杂的变换方法(20.),一个将古典克莱因戈登方程转换成克莱因-戈登方程在康托尔集以下形式: 受初始值条件: 当地运营商的分数导数算子,它被定义为(16- - - - - -23] 与 和 和 当地的分段连续函数和吗 是非线性的混合条件和班轮功能。

鉴于(1)- (2),康托集的线性克莱因戈登方程: 受初始值条件: 正在考虑,在哪里 和 是地方分段连续函数。

另一方面,地方分级级数展开方法应用于解决波和扩散方程在康托尔集21),当地部分在一维薛定谔方程Cantorian系统[22),和当地部分亥姆霍兹方程23]。在本文中,我们的目标是调查这项技术的一个新的应用程序来解决线性克莱因戈登方程在康托尔集。本文组织如下。节2,当地部分级数展开方法。节3,康托集的线性克莱因戈登方程的解决方案。最后,部分4是结论。

2。当地部分级数展开方法

为了说明当地分级级数展开方法的想法(21- - - - - -23),我们认为当地的分数微分算子方程形式如下: 在哪里 是当地部分线性算子和 是一个当地的分段连续函数。

从(6),对多项分离功能 , 解读为 在哪里 和 是当地的分段连续函数。

从(7),我们有 这 鉴于(9),我们得到 利用(10),我们有 这 因此,从(12),我们得到 我们现在重写(4)在当地的分数算子形式如下: 受初始值条件: 当地的线性分数算子定义如下: 因此,(16(的)是一个特例6),它是用于线性克莱因戈登方程在下一节康托尔集。

3所示。对线性克莱因戈登方程解析解康托尔集

在本节中,我们提出了nondifferentiable解线性克莱因戈登方程在康托尔集。

例1。让我们考虑克莱因-戈登方程在康托尔集以下形式: 受初始值条件: 从(12)和(18),我们可以构造迭代公式如下: 因此,我们可以计算 等等。
因此,我们有 和相应的图形如图1。


图1
的情节 为参数 。

例2。我们考虑以下克莱因戈登方程在康托尔集: 受初始值条件: 从(12)和(23),我们得到以下迭代公式: 因此,我们得到 等等。
在此,我们获得的解决方案(22): 和相应的图在图中进行了描述2。


图2
的情节 为参数 。

例3。我们提出以下克莱因戈登在康托尔集方程: 受初始值条件: 从(12)和(27)- (28),我们得到以下迭代公式: 从(29日我们获得 等等。
因此,我们获得的精确解(27) 和它的图形如图3。


图3
的情节 为参数 。

例4。克莱因-戈登方程给出了康托尔集 和初始值条件写成 从(12)和(27)- (28),下面的迭代公式如下: 从(29日),我们给 等等。
因此,我们给的精确解(32): 和它的图形如图4。


图4
的情节 为参数 。

4所示。结论

在这个工作克莱因-戈登方程在康托尔集当地分数微分算子分析利用当地分级级数展开方法。nondifferentiable解决当地部分克莱因戈登方程得到。目前的方法是一种强大的数学工具解决当地部分线性微分方程。

利益冲突

作者宣称他们没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作受到了国家科技支撑项目(没有。2012 bae09b00),中国国家自然科学基金(没有。51274270),国家自然科学基金委河北省(没有。E2013209215)。