文摘

的概念Levitin-Polyak equilibrium-like问题的适定性问题介绍了巴拿赫空间。在合适的条件下,它的一些特征Levitin-Polyak建立适定性问题。一些条件equilibrium-like问题在巴拿赫空间Levitin-Polyak适定也。

1。介绍

1966年,Tykhonov [1首先建立一个最小化问题的适定性问题,已被称为Tykhonov。适定性问题因为它是重要的优化问题,介绍了适定性问题的各种概念和研究在过去几十年。更多关于,适定性问题我们参考2- - - - - -4)和引用。

Tykhonov了带约束的最小化问题的适定性问题要求每一个最小化序列应该躺在约束集。在很多情况下,最小化序列产生的数值优化方法通常不能是可行的但越来越接近约束集。列维京和波里亚克5)广义的概念Tykhnov要求适定性问题的存在性和唯一性,最小值和每一个广义最小化的收敛序列对独特的最小值,称为列维京和波里亚克。适定性问题有很多结果关心Tykhonov,适定性问题LP,适定性问题及其推广最小化问题。我们的细节,请参考[1- - - - - -3,5- - - - - -7]。

最近,已经适定性问题的概念扩展到其他领域,包括纳什均衡(8),包含问题,和不动点问题9- - - - - -13]。勒麦尔(12,13]研究了极小化问题的适定性问题之间的关系,包括问题,和不动点问题。方等。11]证明了广义混合变分不等式的等价于适定性问题解的存在和唯一性的希尔伯特空间。最近,曾和姚9)有一些结果广义混合变分不等式的适定性问题,相应的包含问题,和相应的不动点问题。另一方面,李和夏14)认为Levitin-Polyak巴拿赫空间中广义变分不等式的适定性问题。他们表明Levitin-Polyak广义变分不等式的适定性问题相当于独特性和存在的解决方案。然而,没有结果Levitin-Polyak equilibrium-like问题的适定性问题。

动力,灵感来自工作在这一领域的研究,在本文中,我们扩展的概念Levitin-Polyak equilibrium-like问题适定性问题在巴拿赫空间并给出一些度量特征的Levitin-Polyak。适定性问题最后,我们得出一些条件equilibrium-like Levitin-Polyak适定问题。

2。预赛

让是一个真正的双反射性的巴拿赫空间,让是一个非空的,关闭,凸子集。让是一个集值映射,让是一个功能。在本文中,我们考虑以下equilibrium-like问题联系在一起:

定义1。让非空的子集的。豪斯多夫度量之间的和被定义为 在哪里与。

引理2(纳德勒定理7])。让赋范矢量空间,让的分离指标集合所有非空的,关闭,有限的子集,引起的一个指标而言,定义的,因为和在,在那里与。如果和躺在那么,对于任何和任何,存在这样。特别是,当和在紧凑的子集,一个。

定义3(见[9])。一个非空的集值映射据说是(我) -hemicontinuous,如果任何,函数从成是连续的,在那里豪斯多夫度量定义;(2) 均匀连续,如果,存在这样对所有与,一个,在那里豪斯多夫度量定义。

定义4。让和是两个拓扑空间和。一个集值映射据说上半(事项),如果任何邻居的存在一个街区的这样,尽管。如果每个点的事项吗,我们说上事项。

定义5(见[15])。让是一个非空的子集。noncompactness的测量的设置被定义为 在哪里表示集合的直径,因为。

定义6。让是一个真正的双反射性的巴拿赫空间,让是一个集值映射。一个功能据说是单调对吗,如果任何和,。

注7。如果,尽管和,很容易知道单调的对吗这减少了单调。

我们首先证明下面的命题。

8号提案。让是一个非空的,关闭,凸子集,让这是一个非空的compact-valued映射-hemicontinuous。让是单调的在第一个参数、连续,凹的第三个参数。此外,,尽管,。然后,对于一个给定的下面的语句是等价的:(我)存在 这样 ,对所有 ;(2) ,对所有 ,。

证明。首先,我们假设一些,,尽管。因为单调的对吗,我们有
相反,假设,,我们获得
对于任何给定的,我们定义对所有。替换通过在左边的不平等,我们有,, 这意味着 自是一个非空的compact-valued映射,和非空的紧凑,因此在撒谎。从引理2我们得到,和为每一个固定,存在一个这样 自紧凑,不失一般性,我们假设作为。自是-hemicontinuous,我们得到, 这意味着作为。自第一个参数是连续的, 我们获得一个存在这样 这就完成了证明。

3所示。Levitin-Polyak的适定性问题

在本节中,我们扩展的概念Levitin-Poylak equilibrium-like问题的适定性问题,建立其度量特征。让是一个给定的数字,让,,,被定义为一节。

定义9。一个序列被称为一个资讯近似序列为,如果存在与和这样对所有和存在这样
如果,然后每一个资讯LP近似序列近似。当,我们说是一个LP近似序列。

定义10。 强烈LP适定的如果有一个独特的解决方案和每一个资讯近似序列收敛强烈独特的解决方案。续集,强LP 0-well-posedness总是称为强LP。适定性问题如果,那么强大的资讯-well-posedness意味着强大的资讯-well-posedness。

定义11。 强烈LP广义意义上的适定的有非空的解集和每一个资讯强烈近似序列的子序列收敛一些的。续集,强大的LP 0-well-posedness广义意义上的一直是称为强大的LP广义意义上的适定性问题。如果,那么强大的资讯-well-posedness广义意义上意味着强大的资讯-well-posedness广义意义上的。

评论12。如果,尽管,,然后定义10和11减少定义3.3和3.4 (14),分别。此外,当是一个希尔伯特空间,,、定义10和11减少定义3.2和3.3 (11),分别。

获取度量LP的性格特征-well-posedness,我们考虑下面的资讯近似解集的:

定理13。让是一个非空的,关闭,凸子集,让是一个-hemicontinuous和非空的compact-valued映射。让是单调的在第二个参数,降低半连续,凹的第三个参数。此外,,尽管,。然后,强烈LP如果且仅当适定的

证明。首先,我们假设强烈LP适定的,独特的解决方案吗。很容易看到。如果作为,然后存在常数和序列与和与这样 因为的定义,因为,我们获得 和存在这样 自是封闭的、凸的,那么存在这样。让;我们得到了和。这意味着。因此,是一个LP近似序列。类似的论点,我们获得是一个LP近似序列。所以他们不得不收敛强烈的独特的解决方案与条件(13)。
相反,假设条件(12)持有。让是一个资讯近似序列为。然后,存在与这样,存在和这样 自,然后存在这样。很明显,。假设;我们得到。从(12),我们有是一个柯西序列和强烈收敛一点。自单调的对吗和半连续第二个参数低,它遵循从(16),为任何,, 对于任何,让,尽管。自是一个非空的,闭凸子集,我们有吗。然后,(17)意味着 自第三个参数和凹,尽管,, 自是一个非空的compact-valued映射和-hemicontinuous,引理2,对于每一个固定和每个,存在一个这样。自是-hemicontinuous,我们得到作为。自紧凑,不失一般性,我们假设作为。因此,我们获得的 这意味着作为。它遵循从(19), 因此,解决了。
完整的证明,我们只需要证明有一个独特的解决方案。假设有两个不同的解决方案和。然后,很明显,对所有和 一个矛盾(12)。这就完成了证明。

定理14。让是一个非空的,关闭,凸子集,让是一个-hemicontinuous和非空的compact-valued映射。让是单调的和更低的半连续第二个参数。此外,,尽管,。然后,强烈LP当且仅当适定的推广意义

证明。假设强烈LP广义意义上的适定的。让的解集。然后,非空的和紧凑。事实上,让是任何序列。然后,是一个资讯近似序列为。自强烈广义意义上的适定的,强烈的子序列收敛一些的吗。因此,紧凑。很容易看到对所有。现在,我们表明, 很容易看到,每一个, 考虑的密实度,我们获得 证明(23),它能充分显示 事实上,如果作为,然后存在和与,这样 在哪里是封闭的球为中心半径为0。的定义,我们知道,存在这样 因此,存在这样。让;然后,我们有与。所以是一个资讯近似序列为。自强烈LP适定在广义意义上,存在一个子序列的这强烈收敛一些的吗。这与(28),因此
相反,假设(23)持有。我们第一次显示关闭所有。让与;然后,存在这样和 自是一个上半连续和非空的compact-valued映射,存在一个序列的和一些这样。因此,遵循从(31日)和低半连续性的那 很明显,。这意味着所以所有非空的关闭吗。观察到 自,412页的定理15可以应用和一个结论非空的和紧凑的吗 让是一个资讯近似序列为。然后,存在与这样,存在和这样 自,然后存在这样。由此可见, 集;我们得到了。从(23)和的定义,我们获得 自紧凑,存在吗这样 简洁的存在子序列的强烈的收敛。因此,相应的子序列的强烈收敛。因此,强烈LP广义意义上的适定的。证明已经完成。

4所示。条件Levitin-Polyak Well-Posedness

在本节中,我们得到了一些条件在巴拿赫空间Levitin-Polyak适定的。

对于任何,我们表示。我们有下面的结果。

定理15。让是一个非空的,关闭,凸子集,让是一个-hemicontinuous和非空的compact-valued映射。让是单调的在第一和第二参数,降低半连续,凹的第三个参数。此外,,尽管,。如果存在一些与这样是紧凑的,那么强烈LP广义意义上的适定的。

证明。让是一个LP近似序列。然后,存在和与这样 和存在令人满意的 自,然后存在这样。因此, 让;我们可以得到。不失一般性,假设为是足够大的。的密实度存在子序列的和这样。很容易看到。此外,的事项在和密实度存在子序列的和一些这样。自低半连续在第一和第二参数,它遵循从(40), 对于任何,让,尽管;很明显,。现在,从(42),我们有 凸性的因此,对于每个,我们获得 让在过去的不平等;然后,我们有 这表明解决了。因此,强烈LP广义意义上的适定的。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。