文摘
这项工作涉及抽象柯西问题取决于参数。目的是研究连续性在柯西问题古典解的参数。情况考虑在这个工作是当操作员的柯西问题不在于人口的定义。通过应用集成半群理论和结果的参数的连续性C0半群和集成半群,我们获得的结果参数的存在性和连续性的经典解决方案柯西问题。获得抽象结果应用抛物型偏微分方程是在论文的最后一部分讨论。
1。介绍
许多动力系统(1- - - - - -4)如微分方程,积分微分的方程,和泛函微分方程涉及参数方程和边界条件。例如,考虑到抛物型偏微分方程 在哪里和被认为是作为参数。
在进行变量的变化我们有,满足的方程 在哪里。
然后,制定从抽象柯西问题(2)是 在,,在那里 方程(3)表明,运营商是依赖于参数。因此,它是自然调查的影响参数对柯西问题的传统解决方案。一个自然的问题是确定参数的连续性条件对经典的抽象柯西问题的解决方案 在哪里是参数。
根据半群理论,半群(我。e、强连续半群)和集成半群在确定参数属性扮演关键角色的古典或柯西积分解决方案取决于参数的问题。因此,大量的工作都集中在研究参数的连续性半群和/或集成半群。Lizama [5),他(6],Busenberg和吴7)建立了近似定理涉及一维半群综合参数。这些结果可以解释为暗示连续性参数集成半群。他([严峻和/或2- - - - - -4),和参考其中)在多参数连续性作了系统的研究半群和集成半群。在本文中,我们将重点讨论确定条件,可以直接获得连续性的柯西问题古典解的参数(5)。事实证明定理的条件下直接对柯西问题的操作符(5),这是非常方便和容易验证。因为它将说明在应用程序的结果(1),连续性的条件参数是自然被(1)。和许多方程研究([1- - - - - -4],其中参考)也自然满足连续性条件参数。
此外,(3)表明,操作员人口是没有定义的。然而,集成半群理论是一种强大的工具在处理疏的定义操作符。节2,我们将提供背景信息集成半群和国家需要一些现有的定理,证明我们的主要定理。节3,我们应用的连续性的结果对参数半群和集成半群我们推导出类似的柯西问题古典解的结果。我们将首先讨论齐次柯西问题 应用连续性的结果半群和集成半群理论,我们证明了独一无二的经典解决方案(6)是连续的参数。使用获得的结果(6),我们将研究非齐次柯西问题(5)和现在的一个定理古典解的连续性对参数的非齐次的柯西问题(5)。在上一节,我们将讨论的应用获得了抽象的结果(1)。你将看到,获得抽象的结果很容易申请。
2。预赛
我们开始提供背景信息集成的半群和国家一些结果,将在以下部分中使用。
让巴拿赫空间,让是一个开放的有限维赋范线性空间的子集与规范。
定义1(见[8])。 被称为一个集成的半群如果(一) ,(b) ,每,(c)对于任何,是连续的。
定义2(见[8])。一个集成的半群被称为非简并如果对所有意味着。
定义3(见[8])。发电机非简并集成半群被定义为让,然后和如果
定义4(见[8])。一个集成的半群据说是类型的吗,在那里敌我识别,,
定理5(见[8])。定义。定义部分的作为
假设对所有是大的,
然后是密集的,如果生成一个半群上,然后生成一个非简并综合类型的半群在。
在我们使用”的续集是Hille-Yosida算子”意味着存在和这样意味着(溶剂组),
注意,豫解的有界性意味着是关闭的。
定理6(见[9])。以下两个语句是等价的:(一) 非简并半群的发电机吗类型的,(b) 是一个Hille-Yosida算子。
定理7(见[8])。如果Hille-Yosida运营商,那么部分的在生成一个半群在令人满意的
此外,生成一个非简并集成半群在与
有关通过
为,。此外,和。
考虑到非齐次柯西问题
在哪里是一个连续函数。
定理(见[810])。让是一个非简并的发电机综合类型的半群;是连续可微的,。然后 独特的经典解决方案(15);这是是唯一一个连续可微的函数值这样,(15)是满意的。
3所示。在参数柯西问题古典解的连续性
我们首先研究了齐次抽象柯西问题 在哪里的参数是。为每一个,操作员是一个封闭的线性和疏的巴拿赫空间上算子定义。
为每一个,定义部分的作为 下列命题是定理的直接结果5- - - - - -7。
9号提案。假设( )为每一个 ,存在 和 这样 意味着 和 然后,对于(一)部分 的 在 生成一个 半群 在 令人满意的 (b) 生成一个非简并集成半群 在 令人满意的 (c) 是一个连续可微的 价值函数 ,(d) 在 。
下列关于参数的连续性定理半群中获得的(4]。我们将使用这个定理来证明一个定理,柯西问题(17)。
定理(见[104])。假设(1)为每一个,是人口的定义;这是,(2)
,尽管,(3)有常数和这样
(4)为每一个,是连续的。
然后是连续的为每一个。因此,半群生成的强烈连续在,连续性是一致有界时间间隔。特别是,对于任何,与,对于任何,
现在我们提出的定理(17)。
定理11。假设(2)-(4)的定理10持有。
然后和独特的经典解决方案(17)。此外,是连续的对吗。特别是,对于任何,与,对于任何,
证明。因为(3)定理10,命题9(b)表示生成一个非简并集成半群在。因此,它遵循从定理8那
独特的经典解决方案(17)。
从命题9(d),我们有在,在那里是生成的半群的一部分的。因此,我们有
因为,对于每个人口的定义,是吗条件(1)的定理10是满意的。(2)-(4)表明,所有其他条件的定理10感到满意。现在,通过应用定理10经典解决方案,我们有对参数是连续的吗。
接下来,我们将讨论非齐次抽象柯西问题 在哪里的参数是。为每一个,操作员是一个封闭的、线性和疏的巴拿赫空间上算子定义。是连续可微的,,因为。
定理(见[124])。假设(2)-(4)的定理10感到满意,那么积分半群生成的强烈连续在,连续性是一致有界时间间隔。特别是,对于任何,与,对于任何,
现在我们目前的主要定理(27)。
定理13。假设(2)-(4)的定理10持有。
独特的经典解决方案(27)是连续的对。特别是,对于任何,与,对于任何,
证明。(2)的定理10和主张9(b),我们有生成一个非简并集成半群在。它遵循从定理8那
独特的经典解决方案(27)。
注意,从命题9(d),我们有在,在那里是生成的半群的一部分的。自,。使用类似的论点作为定理的证明11,我们看到,是连续的。因此,是连续的。
现在我们只需要显示是连续的。
很明显,是连续的。因此,我们有
它能充分显示是连续的。注意,条件(2)-(4)的定理10表明,所有定理的假设12感到满意。自从定理,它遵循12那是连续的。
总之,我们有对参数是连续的吗。
4所示。抛物型偏微分方程的应用
考虑边界条件的抛物型偏微分方程
在本节中,我们将在部分应用抽象的结果3显示的经典解决方案(32)是连续的参数和。
我们开始做变量的变化。然后满足的方程 在哪里。
抽象柯西问题制定(33)是 在,,在那里
首先,对于每一个,操作员人口是没有定义的。考虑 然而,域名的所有都是一样的吗;这是。
其次,它很容易看到与域是一个Hille-Yosida算子。特别是,对方程,考虑 然后,在那里。我们可以假设。然后和 因此,
此外,由于是有界的,然后由“有界扰动定理”(见[11,76页),我们有是Hille-Yosida运营商为每一个。现在对于一些我们有,满足统一Hille-Yosida条件()的命题9。
第三,这是显而易见的是连续的对吗为每一个。
因此,从定理11,它遵循经典的解决方案是连续的对吗。显然,传统的解决方案(32)也是连续的对。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。