文摘

用样条元法的几何适应性差、几何精度样条方法,它使用rational贝塞尔曲线补丁显示解决方案领域,提出了二维粘性未压缩的n - s方程。除了等待未知数少,精度高,计算效率,具有等优点的准确表示isogeometric分析对象边界和统一的几何建模和分析。与此同时,b样条基函数的选择和网格的定义进行了研究和离散化格式满足inf-sup稳定条件。样条函数逼近速度场的程度是一个秩序高于接近压力场,和这些函数是定义在一次性细化网格。狄利克雷边界条件施加通过Nitsche弱形式的变分原理由于缺少插值b样函数的性质。最后,用一些示例验证了该方法的有效性。

1。介绍

与传统有限元法比较,样条元法的基础上(伽辽金原理和样条函数理论)需要更少的计算,更高的精度,更少的悬而未决的未知数,更容易构造高阶协调单位。因此,它吸引了大量关注,和中国学者获得了很多成就1,2]。然而,它主要关注结构性问题(3),如弹性梁、壳振动,动态响应和非结构化问题研究流体远远不够。目前,两个主要的应用样条函数方法在流体力学搭配法和伽辽金法。

样条搭配方法类似于切比雪夫谱方法在计算和更高的效率。所以Botella4应用它来计算不可压缩n - s。针对解决虚假振荡抑制压力值,Botella [5)提出了交错网格搭配方案,取得了稳定的数值结果。对比的搭配方法,伽辽金方法具有较高的数值精度和成熟误差分析理论。然而,一个元素类型(例如,Taylor-Hood元素)满足inf-sup稳定条件(6)需要构建当伽辽金方法适用于n - s方程。领域的花键元素,Kumar et al。7采用加权扩展b样(WEB-spline)来计算斯托克斯。然后,他们扩展到n - s方程(8)包含非线性对流项和构建稳定的网格离散格式。基本的想法是,样条函数逼近速度场的程度是一个秩序高于接近压力场只有两种离散格式,即线性常和quadratic-linear设计。与此同时,WEB-spline法是一种无网格法。它避免了繁琐的网格划分代替非结构化网格的有限元与普通网,但是边界元素需要特殊治疗。b样条元法通过Kravchenko et al。9,10]分析湍流问题减少计算量的大涡模拟和直接数值方法以及提高分辨率的边界层嵌入分区网格。此外,他们采用divergence-free b样条扩张和消除压力项控制方程减少数值计算结果的干扰。

此外,样条元法已经注意到的两个缺点。之一是,它是由“低几何多才多艺”限制,只适合于求解域的特别简单的几何形状(例如,矩形或那些可以被转换成矩形)。另一个是没有b样条函数插值性质,函数值是凸包。所以狄利克雷边界条件不能直接实施结。Mingquan [13)解决第一个问题将四边形区域转化为矩形区域通过双线性坐标变换。Ronglin et al。14)计算通过极地与弧边界的边值映射。然而,这些尝试都未能完全解决这个问题。休斯等。15]提出Isogeometric分析方法桥梁几何建模和有限元分析。它可以应用在任何复杂的几何区域,但需要有理函数的主要功能和效率不及有限元,花键的元素。

本文旨在解决不可压缩n - s方程和主要观点如下。Isogeometric分析方法的基础上,解决方案域可以精确表示通过理性的贝塞尔曲线补丁几何映射和花键的几何元素可以确定均等的b样条函数逼近物理领域。可以更灵活地选择适当的函数空间分离几何求解域和物理场的表达式;构建稳定的样条离散格式元素满足inf-sup条件;施加本质边界条件通过Nitsche变分原理对b样条函数的插值性质的缺乏。

2。流的n - s

假设的边界连接的一个二维封闭区域满足李普希茨继承。不可压缩n - s流动方程的无量纲形式 指的是流体的速度矢量,指的是压力,指的是体积力源项。代表无标度粘度系数、雷诺数是一个无量纲数表征流体性质。非线性项的对流形式摘要采用,主要是因为其高雷诺数的简单格式和数值稳定性。额外的边界条件和压力场的分布约束应该添加到解决上面的方程: 在哪里是指狄利克雷边界速度边界条件。第二个方程意味着平均压力为零。

假设一个函数空间和一个向量函数空间,存在;然后不断的n - s方程的弱解可以表示为搜索功能,它满足 在任意函数方程,加勒金离散化假定项目物理量到有限维子空间,速度和压力约表示为和,分别。和分别代表有限元空间的主要功能的速度和压力场。和是主要功能的数字。本研究不同于传统有限元法在采用b样条函数作为主要的函数。

3所示。n - s方程的解决方案

3.1。Nitsche型变分弱形式

为了简化推导变分的弱形式,非线性项可以忽略,骑马是减少斯托克斯流方程:。它相当于变分极值弱形式:搜索然后获得

那么应该遵守以下限制:不可压缩的条件:;压力约束:。应该注意到,上述结论是由自然变分原理的基础上,所以狄利克雷边界条件时应满足有限元空间构造。但从上面的分析可以知道,没有插值b样条属性,所以很难直接施加的约束作为传统的多项式单元(例如,拉格朗日插值单元)。

本文获得的无约束函数通过施加狄利克雷边界条件与Nitsche方法(16)和不可压缩性和压力条件与拉格朗日乘数法: 的方程,,,代表了拉格朗日乘数法和常数是惩罚因子取决于网格的尺寸吗。后的固定价值高于无约束功能和几个转换、拉格朗日乘数和可以确定,这意味着速度梯度和压力的正常组成部分。在这里法向量是指外单位。后替换成变分弱形式和增加非线性对流项,可以得到以下方程: 方程(6)不同于(29日)(17在拉格朗日乘数包含压力部分,这使得上述前两个方程公式包含边界压力项,,。应该注意到修改后的弱形式方程可以确保最佳数值解的收敛性。

假设速度和压力场采用样条函数可以近似表示: 在上面的方程,速度组件,和压力采用不同的主要功能,即,,。然后非线性联立方程可以通过替换成公式后结算 的方程,,,向量需要解决。分块矩阵:,。矩阵的元素:;矩阵的元素:;矩阵的元素:;非线性矩阵的元素:。矩阵的元素:、元素的矩阵:;矩阵的元素:。元素的向量:。右手的术语:;元素的向量:;元素的向量:;元素的向量:;元素的向量:。

3.2。非线性方程的求解

本研究采用牛顿迭代法解非线性方程(9),因为矩阵含有非线性项的位移场。首先,(9)表示为向量的形式,在这和矢量: 进行泰勒展开向量而忽略高阶项,然后获得,雅可比矩阵 的方程,矩阵、元素的矩阵:,矩阵,它的元素:,矩阵、矢量。对矩阵,它的元素:,矩阵中,元素的矩阵:,、矢量。对矩阵,矩阵,矩阵、矢量。向量、矢量、矢量,标量。

方程和牛顿迭代法可以解决: 的方程,指迭代时间和是指松弛因子。

4所示。稳定的网格离散化

近似函数空间,满足激光弯曲条件(6)(或称为inf-sup条件)时应构建混合有限元法应用于求解n - s方程 的方程,指的是无关的常数网格离散化。理论上很难证明某些单元格式满足以上条件。此外,完美的误差分析的样条元法理论尚未建立,只有少量文献[18]。因此,电网稳定性的离散化的数值试验来验证被称为“inf-sup测试”,这是类似于斑贴试验证明不相容的有限元是否收敛。它是一种有效的工具来验证单位质量。

这里inf-sup测试中提到的方法(19简要介绍了。上面的激光弯曲条件可以表示为一个离散的版本 元素的矩阵:,矩阵,矩阵。然后广义特征值问题可以通过一系列的转换: 的方程,矩阵。如果以上问题的特征值序列,然后inf-sup常数,即最小的非零特征值的平方根。Inf-sup测试要求Inf-sup常数应该独立的网格大小。

样条函数的逼近能力取决于功率和网格密度的函数,所以近似精度可以通过促进提高功率和网格密度。假设参数区域同样是分为股票在任意坐标方向;然后单位的总数和网格大小,初始网格用。如图1,从网格单元(图1(一)同样),然后把它们分成四个小单元(图1 (b))。改进后,单位的总数网格的大小,新网格用。

本文采用这样一个稳定的离散格式,即样条函数的力量关闭速度场是一个秩序高于样条函数关闭压力场吗。更重要的是,速度场吗采用一个网格加密和压力场采用原始网格。作为对比,在另一个不稳定的离散格式,速度场和压力场共享相同的网格密度和相同功率的主要功能。为方便以后参考,稍后我们称为前4/1的格式和1/1的格式。更重要的是,这样一个马克吗了,是指速度场是指压力场。的上标(或)是指样条函数和下标的力量(或)是0或1,值0指起源嘲骂和值1是指细化网格。

现在,测试一组数据进行了使用两种几何区域显示在图2。同样把他们在参数区域和采用对样条函数的力量封闭压力场,分别。为每个组的样条函数,不断定义网格将被采纳,单位的数量在每个方向是什么。计算结果如图所示3:横纵坐标是筛孔尺寸和垂直坐标是恒定的inf-sup。图中所示,inf-sup常数格式独立于网格大小的4/1,但1/1的inf-sup常数格式与连续细化网格逐渐减少。

5。数值计算的例子

5.1。矩形区域

以二维n - s流中定义单元矩形区域考虑,假设流函数的分析公式和压力函数是 所以速度场的组件和组件的体积力源项和。采用网格划分如图所示3(一个)并添加狄利克雷速度边界条件假设的粘度系数。

一组测试后,发现每个方向的单元号当程度的样条函数关闭压力场,。图4(一)显示的收敛曲线近似速度场下L2-norm,横纵坐标是指网格大小和垂直坐标指的是错误的规范。和收敛速度值被标记在每一个曲线。同样,图4 (b)和图5(一个)显示的收敛曲线近似速度场下规范和压力场的近似解L2-norm之下。应该注意到,如果4/1采用离散格式,然后通过样条函数可以解决n - s方程最优收敛速度(最优收敛速度指的是收敛的下订单规范,收敛下订单规范)。但不稳定的1/1离散格式,错误的数值振荡将存在于压力场(特别是和,如图所示5 (b))。

5.2。空泡流

单位正方形区域内Lid-driven流在这部分接触。作为显示在图6、侧墙和空腔底部是修复(,),盖以恒定速度运动(,),腔中的液体流动的驱动表面粘性力。在温和条件下的数量,除了主涡(PV)腔的中心广场,那里仍然存在二次涡(SV)腔底部的角落里。

现在,后处理。由于流函数和速度场之间的关系 的方程,、边界切向量。解决这样一个方程狄利克雷毒药后,流函数的分布可以通过后处理。

stream-functions的分布和分别是,如图7中,样条函数关闭压力场的力量从每个方向,单元号。值数据的轮廓线8(一个)和8 (b)0.07−0.10、0.09−−−0.05−0.03−0.01−0.001−0.0001,,,0.11、0.001和0.115−−−0.10−0.09−0.07−0.05−0.03−0.01−0.001,,0.001,0.002,0.005,0.001,0.0015,0.0017,分别。清单后的最小流函数值在表主涡涡中心地位1和比较文学的日期(11,12),发现结果基本上是相同的。

最后,为了直观地比较结果,速度大小在中心线平行和垂直中心线。在图8横纵坐标是指协调和垂直坐标是指速度分量。在图9,横纵坐标是指速度分量和垂直坐标指的坐标垂直中心线。的网格采用的计算,和权力的样条函数关闭压力场是什么。数据作为测试基准从文献[11,12),恰逢结果摘要。

5.3。单位圆面积

二维n - s流动单元循环区域(中心在原点)的定义。假定流函数的分析公式和压力函数是 速度分量是和;组件的体积力源项和。假设狄利克雷边界条件和粘度系数是补充道。参数化二级理性的贝塞尔曲线雕刻表面应采用在单位圆面积,及其控制顶点和体重因素是显示在表中2。

样条函数的集合力量和参数网格截面是一样的5。1。图10显示的收敛曲线近似速度场下规范和规范,这两个达到最优收敛速度。相比之下,图11显示了数值解的收敛曲线压力下规范计算网格和网格1/1,4/1。很明显,虚假的数值振荡不稳定收敛格式导致降解率(图11 (b))。

5.4。圆库爱特流

最后,循环库爱特流的典型问题。作为显示在图12,有两个无限长的同心圆筒之间的粘性不可压缩流体。外筒和内筒的半径和他们的恒定的角速度旋转和。假设流体的旋转速度是缓慢和稳定的层流阶段;然后是切向速度的解析解: 的方程,指的是径向坐标。本文假定固定外缸和内缸的角速度。由于其对称性,1/4的设置进行分析和几何定义,网格,和边界条件如图所示13。请参考表3为控制顶点和体重因素定义几何区域内。

图14显示的切向速度分布。样条函数逼近的压力场的力量网格是。图15显示的切向速度分布与45°角径向坐标。它可以注意到他们配合分析解决方案。

6。结论

本文解决的问题不可压缩n - s流过几何精确的样条元法。该方法克服了穷人几何样条元法的多功能性;采用合理的贝塞尔曲线表面贴片映射函数可以准确表达复杂的几何区域。它提供了一个稳定的离散网格格式会议in-sup条件,扩大了样条方法成液体。

本文只讨论了二维流体问题,但其结论可以直接推广到三维情况。需要解决的问题随时间变化的瞬态问题;multiarea铺瓷砖问题,适应更复杂的拓扑计算面积;复杂的解决方案域参数化方法。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

支持的项目是中国陕西省自然科学基础研究计划(2012 jq7002)和中国国家自然科学基金(51205320)。