文摘

表面的动态异构性问题形成低维结构声子晶体进行了研究。结果表明,声子横向扰动在这个媒介是高度非线性的。他们可以用黎曼的帮助波描述和可能形成稳定的有限振幅波结构。黎曼波变形分析描述。黎曼波时间存在计算梯度灾难的开始。

1。介绍

感兴趣的低维结构是由这些材料的独特性能,允许使用它们在许多领域,首先,在纳电子学包括活性成分的纳米机械系统(NEMS) [1]。声子过程的关键作用在低维结构是众所周知的2,3]。横向热原子的振动方向垂直于这个平面结构的低维结构会导致复杂的地表高程的形成,增加有效的结构厚度,影响其物理性质。例如,在石墨烯原子的横向热振动可能达到相对较高的振幅即使在正常情况下,大约是一个原子间距(4,5]。额外的结构应变通常用于NEMS复杂化晶格更多的横向振动动力学(6]。

因此,声子过程在低维结构复杂的有时甚至是强非线性特征。强大的非线性会导致稳定的波结构的形成与宽频谱。类似的过程的非线性特性的理解甚至在一些简单模型的帧可能认为明确的兴趣的角度定义适当的限制低维材料的应用。

表面非均质性形成的过程中由于非线性振动声子晶体的晶格被认为是。研究了非线性波在原子的概念模型的框架链与弹性债券;提到的模型中描述的部分2。模型的非线性不是有限的。这种模式下,尽管简化的角度结构声子晶体的物理过程,允许识别的许多特性结构声子晶体的非线性行为。非线性黎曼的框架内研究了行波系统的部分3。结果的行波的条件存在梯度灾难的爆发。转换的明确的例子最初正弦扰动分析的部分4。总结了结果的结论。

2。离散的横向振动模型

一个典型的声子晶体可以被视为一个空间管制结构的不连续性时必须考虑声子的动力学研究。离散数学模型是一种有效的工具的理论和实验研究低维结构的行为。横向振荡的基本研究离散模型是一个原子链的运动由指导有限形式的平行直线躺在一架飞机在彼此相等的距离(图1)[7,8]。

原子的运动方程与数字可以写成 在哪里是质量,是质量的偏差从平衡位置沿指南吗,组件横向力的周边群众。力量作用于原子的声子晶体是由原子间相互作用势。在链的小扰动的情况下,可以使用交互潜在的谐波近似,可以计算和部队胡克定律(9]: 在哪里是模拟钩的常数,群众之间的扩展是春天和,是当地的角度偏离轴上的链。扩展春天的群众运动中可以通过一个简单的计算公式: 在哪里扩展在平衡位置相关的初步张力弹簧。的值从几何关系可以发现: 扩展和角在类似的方式计算。因此,我们得到的

让我们考虑小振动(如下面所示,这并不意味着振荡是弱非线性),使用近似和。

以这种方式引入的非线性几何特征(参见[10),而不是依赖于声子晶体的物理性质。

然后(1)可以改写下列形式:

弹性连续体模型提供了一个适当的声学声子在纳米结构的描述2,9]。描述了横向扰动让我们经过连续极限,假设波长与大空间的链。离散坐标,确定原子链的位置,取而代之的是一个连续的协调。

让我们直接轴波的传播,垂直于指南(见图1)。我们将考虑 和扩展变量在一个小段。在长波极限下,声学声子的色散规律很近似的线性相关(9),所以扩张将只保留前两个条件: 因此,我们获得的非线性波动方程(在此之后我们将省略数字): 非线性系数和声音的速度是由以下表达式: 让我们执行转换的非线性波方程的变量(9)不包含常量: 晶格振动的框架(9)可以被描述为两个,要么就站的形式和旅游。的解决方案(9)形式的驻波的小振幅在有界系统得到8,11在[],强非线性振动振幅12]。然而,无疑实际利益推定转移的能量在一个相当长的声子晶体晶格模型,应该描述的解决方案(9)旅游形式的波。

3所示。动态变形的近似黎曼波

在寻找解决方案,(11)将不承担线性低。找到解决办法很方便从一个非线性波动方程(11使用替换)拟线性方程组: 用(12)(11),我们得到两个未知函数的非线性一阶方程: 第二个方程是通过cross-differentiation失踪(12) 系统的(13)和(14)是双曲线,因此承认传播波的形式的解决方案。在每一波,甚至非线性变量有关,所以我们假设。然后,系统的(13)和(14)是减少到 系统(15)是一种线性方程组的衍生品和。为非平凡解的存在是必要的和足够的它的行列式为零,导致测定所需的功能之间的联系: 只提取一个根(16),对应波旅行,我们得到方程: 方程(17)很容易集成到 在哪里是集成的任意常数。的条件是在无穷远处和这个值是。这条曲线显示在图中2。

由于行波(18),系统方程(15)成为相同;因此,以后可以使用他们中的任何一个。它是方便写成 在哪里 解决方案(19),满足初始条件 表达的形式简单的波或黎曼波:

黎曼波在单原子链的形成与纵向位移和first-neighbors交互是在书中详细讨论9]。黎曼波在单原子链横向位移并没有被研究过。然而,一些实验数据,因为在工作13,14),可以被认为是一种间接的证据存在。

计算波剖面让我们搬到隐式黎曼变量: 然后,空间导数成为新变量的函数根据(12),扰动可以发现: 从(23), 导数进入(25)可以计算 然后 和积分(24)被转换为 第二个积分的价值(28)可以找到使用的显式表达式,由公式(23): 和集成的任意常数由于假设如果得到,积分的价值也必须为零。

作为第一个积分的值(28)= 然后我们终于获得位移的表达式 在哪里由公式(23)。公式(22),(23)和(31日)描述一个传播非线性变形波声子晶体。变形的具体的例子的原始干扰谐波脉冲被认为是部分的例子4。

波的非线性变形导致陡峭的前面的形成和随后的解决方案的模棱两可。这一过程,称为梯度灾难,是众所周知的在非线性数学物理15,16]。让我们在这里定义的梯度的灾难。充分使用表达式(26)空间导数的函数,这是方便写成 在哪里再一次被定义为公式(23)。我们可以看到,波的衍生品增加这些行业它变成了无限的期间 波前的“打破”发生在点坐标满足下列条件: 从第一个方程(33由此可见,打破坐标方程的解: 使用(32)和(34打破时间可以计算 在转换到物理时间

因此,波打破时间,这可以解释为环境中的非线性效应的累积时间,不仅取决于初始扰动的形象,而且对介质的参数和初始质量链条张力。

在小扰动(弱非线性黎曼波)的近似公式如下(31日): 和强烈的非线性黎曼波

4所示。谐波扰动的传播

在声子晶体表面结构可以被认为是颞波模型的基础上进化链的质量,摄动后在初始时刻谐波法: 与恒幅和波数。让最初的波剖面分布在正轴方向。黎曼给定初始扰动波是下面的形式: 以下的条件(34),我们发现波破坏将发生在两个点的轮廓和这种模式会重复在波的长度

公式(42)允许我们估计“断”的位置点根据其振幅。当振幅趋于0,这个公式(42可以用以下表达式近似: 在哪里是波长。在大的振幅公式(42)可能会取而代之

因此,点的位置与无限的斜率相对弱依赖波振幅,不尽相同来。

“打破”时间根据公式(36可以显式计算: 或

因此(46)小振幅波的“优惠”很长一段时间,和梯度的增加振幅发生灾难迅速减少。

断裂点的对应值可以找到的40):

然后函数的值此刻的破坏可以通过公式计算(31日)所提供的(41),(42)和(47):

的情节点打破和,归一化的值振幅和振幅波数增加的价值分别根据数量的值如图3。

横向扰动的演化初始扰动的振幅归一化,计算公式(18),(20.),(22)和(31日)的谐波初始扰动值,,,在图表示4。

从图4看到,在谐波扰动的传播波形变得不对称和不对称的功能和显示不同。与时间和传播距离的增加,波前的趋陡发生。最初的正弦波形转换成梯形。这个同意的结果与立方非线性介质中的波变换获得的(17,18]。这个概要文件的转换出现大幅度波动的更快、更明显。

值得一提的是,目前梯度灾难爆发的概要文件奇点的类型形成,就像最近的双曲方程显示相对一般形式(18,19]。因为这个函数的积分是,然后在断裂点奇点是很弱这就是为什么它是不可见的数字4(一),4 (c),4 (e)在数据对比图4 (b),4 (d),4 (f)。

5。结论

考虑声子晶体的离散模型有助于揭示某些一致的热运动能量传递模式在低维结构声子晶体。集体位移long-phononic的横向声子晶体导致旅游浪潮的形成。由于横向晶格振动的非线性稳定的有限振幅波结构可以形成表面的声子晶体。长波近似,横向变形的本质的晶格声子晶体可以被描述为黎曼波。黎曼波的解析表达式允许建立依赖的声子晶体的横向变形参数允许我们控制表面结构的形成。时间确定了黎曼的存在。这一次可以解释为特征的非线性效应的积累应该考虑在确定适当的限制低维材料的使用。较强的非线性,波的振幅越大,这是证明了正弦波的传播和扭曲的形状。获得的结果可能感兴趣的实际,因为横向声子的行为有着至关重要的影响与传导电子的散射表面的晶体(20.,21]。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

大肠Pelinovsky谢谢的支持大众Stiftung RFBR (14-05-00092)。