文摘
我们研究可转换债券的定价问题通过倒向随机微分方程(元)。由于反映戈和Malliavin衍生品,我们建立的公式可转换债券的合理价格和明确的对冲组合战略。我们也获得最优转换时没有dividends-paying潜在普通股。此外,我们认为,贷款利率高于无风险利率在金融市场,并得出结论,实际上不影响可转换债券的价格。为了说明我们的结果,最后给出了一些数值模拟和讨论。
1。介绍
后由美国纽约伊利公司于1843年首次发行,可转换债券变得最重要的金融工具之一,现在公司筹集资本基金。一般而言,可转换债券是一种金融衍生品,让持有者有权把它转换成指定数量的普通股的股份放弃未来的优惠券和本金。虽然可转换债券是一种混合组成的安全直接正式对标的股票债券和一个电话,不同的特点使它不可能解耦的股票期权风险的部分。因此,如何可转换债券价格相当吸引全球经济学家和数学家的利益。
的公平价格理论研究可转换债券最早出现在1960年代。主要的思想是,可转换债券的价格应该等于当前最大的值作为一个普通的折现债券或其普通股的价值(转换后)在未来的某个时间点。这个方法或轻微的修改从而受雇于Poensgen [1,2),鲍莫尔et al。3),Weil et al。4),等等。后,可转换债券的价格评估,著名的布莱克-斯科尔斯公式或有债权公司价值观,黑人和斯科尔斯(基本论文工作以来,5金融衍生品定价于1973年出版。也有丰富的文学沿着这条线,例如,Ingersoll Jr。6),布伦南和施瓦茨(7,8),作者把公司的价值观作为变量,确定可转换债券的价格,而在麦康奈尔和施瓦茨(9),Ho和菲10)和Tsiveriotis费尔南德斯(11),可转换债券价值,被视为衍生潜在的股权,这是一般的股票发行公司。
然而,上述所有模型试图给可转换债券公平价格通过求解偏微分方程(pde),最初是由黑色和斯科尔斯开发(5]。正如我们所知,非线性倒向随机微分方程(元),通过引入Pardoux和彭12)和达菲爱泼斯坦(13独立,是另一个强大的工具价格或有要求。研究再加上一个钻,彭(14]给出了概率解释的一种大型二阶拟线性偏微分方程。这个结果广义知名Feynman-Kac公式一个非线性的情况。El Karoui et al。15)给一些重要的属性元及其应用最优控制和金融数学,如约束情况下的欧式期权的定价问题。他们还调查了戈Malliavin衍生产品的解决方案,这是一个导数定义在一个脆弱的感觉。由于可转换债券的价格应该总是大于转换值,它对应于新型向后方程的解决方案称为反映元。越来越过程介绍了保持上述解决方案保持给定的随机过程,称为障碍。Bielecki et al。16)采用双重反映元价格通过分解成可转换债券债券组件和选择组件。然而,在这篇文章中,我们试图评估可转换债券以他们为整个队伍索赔和引入风险中性测度下,可转换债券的价格等于最高贴现未来回报的期望值。事实上,这样的措施的存在性和唯一性是最重要的一个原因,我们可以适应元方法定价的目的。此外,灵感来自El Karoui et al。17),我们还讨论此案,贷款利率高于无风险利率,这是以前从来没有处理。此外,验证本文提出的理论,我们做一些数值模拟。计算密切依赖于概率或向解决方案的解析表示,然而,在另一篇论文18),作者重点评估相应的pde通过一些数值方法,为了给了可转换债券的价格。因此,我们的方法是不同于(18),有特色。
本文的其余部分组织如下。我们介绍一些关键特性可转换债券和现在的一些属性的摘要,以及反映戈,和Malliavin微积分部分2。节3,我们制定可转换债券定价模型,给出公式价格和投资组合策略。此外,我们获得一个重要的事实有关的可转换债券最优转换时间。节4更高的贷款利率,我们研究问题的性质,凸向反映出来。一些与常系数数值模拟部分中所示5。最后一部分是总结本文的新颖和讨论未来在这一领域的研究工作。
2。预赛
在本节中,我们首先描述可转换债券,然后回忆元,包括其Malliavin微积分。此外,我们将介绍反映元及其属性的预赛解决我们的问题。
2.1。可转换债券契约协议
一般而言,可转换债券契约协议声明theexpiry日期之前,持有人可以将债券转换为指定数量的普通股。普通股股票的数量可以获得一股的投降指定可转换债券的转换比率。否则,说,从不练习可转换债券持有人;他可以得到总气球支付等于接受价格根据协议的日期。除此之外,它通常包含术语,允许一个投资者选择持有可转换债券的发行人或把它把价值放在每个前缀指定日期和电话术语,在电话前缀的日期,如果想发行者可转换债券,投资者必须选择接受现金赎回价格或转换的可转换债券的价值。
2.2。倒向随机微分方程
让是一个概率空间赋予过滤完成,这是由一个维标准布朗运动定义在空间和满足通常的条件。表示随着欧几里得范数。为了方便起见,我们在本文中使用以下符号:
考虑一维研究: 数据 满足以下标准条件。
假设1。我们假设(1) ;(2) 对于任何,存在一个常数这样
因此,承认一个独特的解决方案从Pardoux和彭12]。这里让我们想起戈的比较定理El Karoui et al。15),重复使用的续集。
定理2。让和是两个标准数据元,让和是相关的精确性的解决方案。我们假设(我) 。;(2) 。然后我们有响亮的任何时间,。
此外,(15)还存在Malliavin衍生品向解决方案。表示由随机变量组成的空间形式 在哪里和。定义Malliavin导数作为 一年一度的(19]证明了运算符在有一个封闭的扩展空间,关闭关于规范定义的 我们表示的的组成部分。
让的设置价值逐步可测量的过程这样(1)对所有,;(2) 承认一个逐步可衡量的版本;(3) 。
在这些概念,对于研究(2与标准数据),我们作出以下假设除了。
假设3。考虑(1) 和。(2) 是连续可微的及其偏导数有界的。(3)为每一个,是在Malliavin导数用;存在一个常数这样 (4)解决方案满足
然后我们有一个第一个组件之间的关系和第二个的解决方案对研究(2),这是被下面的定理。
定理4。我们的假设3持有。为每一个的版本是由 此外,定义为(10)的一个版本。
2.3。反射倒向随机微分方程
戈的反映研究是一种特殊的解决方案是被迫高于给定的随机过程,称为障碍。让我们介绍一维反映研究的“障碍”: 在标准数据满足相同的条件下,在假设1,是一个价值逐步满足可衡量的持续的过程,其子as。
在El Karoui et al。17),作者证明解的存在性和唯一性的三倍反映研究(11),他们也给了一些反映元的属性。现在我们强调其中之一宣布精确性的解决方案对应的函数值最优停止时间的问题。
命题5。让的解决方案(11)。然后为每个, 在哪里设定的停止时间由吗, 此外,最优停止时间的约定如果,。
我们给一些进一步的解释特定组件的解决方案三反映元,这是一个连续和增加的过程和 直观地说,代表“向上推”,我们的数量增加,所以保持在“障碍”。方程(14)说,推是最小的,在这个意义上,我们将只有当约束是饱和的,即当。
3所示。可转换债券定价公式
在本节中,我们制定可转换债券定价模型,给出最优转换时间在接下来的讨论中扮演着重要角色。
在我们的模型考虑两种资产:一个是银行账户,其过程 ,另一个是一个公司的股票价格过程 在这里,,,是无风险利率、预期的利率,股票波动率,分别和是一维标准布朗运动在概率测度。从现在开始,代表这个布朗运动所产生的自然过滤。
我们还假设金融市场以及可转换债券满足以下。
假设6。在金融市场,(1)它是完美的,没有交易成本,没有税收,和为所有投资者平等获取信息;(2)没有股息或其他支付普通股股东;(3)可转换债券是不允许被称为或对策,和发行人不会违约;(4)可转换债券可以转换在到期日之前的任何时候和转化率是一个常数;(5)无风险利率,预期利率,和波动率股票都是确定的关于有界函数;是可逆的和逆也有界。
因此受到El Karoui et al。20.),为每个时间可转换债券定价是停车时间的选择与回报如果锻炼和如果下,价格在时间的约束应该不少于。表示 那么,对于任何给定的和停止时间,存在独特的对冲组合策略也表示,,复制。事实上,它对应于一个古典与终端相关的研究时间和终端价值: 集 因此,(18)可以写成 对理性和公平,可转换债券的价格由一个右连续给出适应过程令人满意的
由命题5,因此,价格的过程伴随着反映研究的解决方案。
定理7。我们的假设6持有。然后价格过程满足下列反映研究的可转换债券的“障碍”:
此外,停车时间可转换债券的执行时间;也就是说,
一般来说,一个三令人满意的(22),,(但不一定)被称为superhedging战略可转换债券。因此,价格等于所谓上层价格定义为最小的superhedging策略。此外,连续和增加的过程显示最少的额外财富需要为了保持,。从财务的角度,可以解释为在对冲累计消耗过程,和从(23),它可能只发生在消费后转换。
记得,任何没有dividends-paying美式看涨期权,最佳的执行时间总是到期日。所以它的价格等于相应的欧洲看涨期权。事实上,可转换债券具有类似的性质。
定理8。我们的假设6持有。然后给出了可转换债券的合理价格
在哪里是风险中性测度定义为
此外,最佳的执行时间为可转换债券到期日;也就是说,可转换债券不应该提前转换。
证明。我们开始第一个平等(24)。注意的是(22),由(24)满足
这就可以证明
考虑另一个研究:
很明显,独特的解决方案(28),股票的波动率。自要求(27从定理)是2。和第二个平等直接来自Girsanov定理。
可以确认第二个断言定理7由于(24)。这就完成了证明。
从定理8,我们可以看到,如果没有dividends-paying潜在的股票,然后,在理性的投资者来说,最好的策略是保持可转换债券到期日期并决定是否将其转换通过比较面值转换值。此外,没有消费在整个过程。
在介绍中提到的,风险中性的措施扮演一个关键的角色在金融衍生品的定价由于资产定价的基本定理。从(21)和(25),它遵循 方程(29日)意味着公平价格折扣的过程可转换债券正是斯奈尔信封的折扣回报的过程。然后定理8告诉我们,它等于的条件期望在这种情况下。
备注9。事实上,定理8即使有效系数,和是随机的。证明是相似的。我在[定理6对转换时间)也得到了同样的结论,而我们采用不同的方法。
4所示。更高的贷款利率情况
在现实中,贷款利率通常高于无风险利率在金融市场。因此,在本节中,我们讨论了以下的假设下的可转换债券定价问题。
假设10。贷款利率高于无风险利率,这也是一个确定的有界函数对。
类似于上面的程序部分,表示 那么公平的价格可转换债券在这种情况下满足以下反映研究与“障碍”:
注意的是,发电机(31日)是凸的,我们有以下结果的凸分析方法从El Karoui et al。17]。
定理11。我们假设6和10持有。那么公平的价格可转换债券是 在哪里是下面的反映研究的解决方案与“障碍”:
证明。自凸对吗和,极地的过程与是由 因此,独特的解决方案(31日)是由 在哪里的解决方案(33)对应。
通常情况下,它是不容易确定的价值这使得达到基本的上确界。然而,比较(31日)和(33),我们发现,当它们有相同的解决方案,的约束下 此外,该解决方案的同时,(26由定理)8。事实上,通过Malliavin微积分技术,我们有以下。
证明。由定理4的版本,在那里的解决方案(26),是由
和是一个版本的。(37)等价于
表示和为。然后的解决方案是以下研究:
因此,通过定理2(40)和(26),如果终端条件满足
然后(39)和(37)很明显。事实上,如果我们设置,在那里,然后可以近似功能作为
因此我们有
自
由此可见,
因此,我们得到
这就完成了证明。
的话13。请注意,(38)持有的假设,是确定的。因此在假设6是必要的。
总结以上讨论,我们有本文的主要结果。
定理14。我们假设6和10持有。可转换债券的定价公式不受更高的贷款利率。公平的价格是由(24)。此外,投资组合策略是由 在哪里被定义为(25)。
证明。类似于定理的证明8的解决方案(26)的同时,反映研究(33),。因此,通过引理12,接下去,。,。(33)。进一步有相同的解决方案(31日由定理)11。
总之,价格的解决方案是可转换债券(26)。因此第一的说法是正确的。最后,(47)可以很容易地通过引理的证明12。
事实上,如果所有参数(24)和(47)是常数,我们可以得到以下公平价格的显式表示和投资策略。
推论15。让贷款利率,无风险利率,波动率都是常数。那么公平的价格和投资策略是由 在哪里和被定义为 和代表标准正态分布的累积分布函数。
证明。由(24)和(47),结论很容易从通常的古典概率的计算技术。所以我们只省略细节。
5。数值模拟
在本节中,我们在初始时间计算对冲策略明确的情况下,根据推论所有系数是常数15并讨论以下参数的影响,从而进一步说明我们的结果。在这里,我们解决,,,年在本节。
5.1。最初的股票价格的影响
我们设置和元,然后图1描述的影响来和。我们发现最初的股票价格越高,价格越高的可转换债券,和一个应该把更多的钱投入股市投资,相应。例如,当元,可转换债券的价格是619.6元,和对冲风险的可转换债券,一个应该投资35.98元投入股市。当元,645.8元的价格上涨和投资股票是95.16元。这符合我们的直觉,因为后一种情况似乎为投资者带来更多的利润。
5.2。无风险利率的影响
我们设置和元,让无风险利率从0.045到0.055不等。图2表明高无风险利率降低了可转换债券的价格但引发投资股票市场。事实上,在这种情况下,可转换债券的价格降低,因为高折现率;同时投资者倾向于把更多的钱投入股市。
5.3。面对价格的影响
图3说明了另一个因素,面对价格,也让积极的影响可转换债券的价格。这是合理的因为面临价格越高,利润越多的投资者收益的到期日债券可转换债券的特征。因此,投资者把钱投入股市的愿望也将同时被削弱。
从数据1,2,3,我们可以看到,投到股市的总财富总是小于一个投资者在对冲组合,这证实了我们的结果4。
5.4。仿真对可转换债券的价格
修复元,,元,图4给出了4倍的股票价格过程的模拟和相应的价格可转换债券的过程,根据(16)和(48),分别。它显示了可转换债券的价格高于它的转换价值在整个到期一次又一次地投资到股票数量小于总财富的投资者在对冲组合。因此,对于一个理性的投资者,他只需要执行转换的可转换债券,考虑权利只有在到期日,证实了理论上的定理8和14。
(一)
(b)
(c)
(d)
6。结论和扩展
它是第一个尝试无风险利率和贷款利率的差异制定时考虑可转换债券的定价模型,作者的知识。我们的论文有三个鲜明的特点。(1)建立通过反映元可转换债券的定价公式,引入一个增加过程推动的价格向上转换值。(2)由于比较定理,我们得到公平价格和对冲组合明确退化反映元到元。我们也得出最优转换时间可转换债券到期日作为副产品。(3)我们可转换债券的重要事实证明公平价格不受金融市场的更高的贷款利率Malliavin微积分。此外,给出了一些数值模拟和讨论来说明我们的结论。
在本文中,主要有两种假设:一是底层股票没有股息,,另一个是可转换债券是不允许被称为或对策。为了应用我们的结果更好地付诸实践,我们将努力放松限制在我们将来的工作获得更多可用的模型。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持由中国自然科学基金会(11221061和11221061),111项目(B12023),中国的自然科学杰出青年基金(11125102)。