不动点理论的蓬勃发展领域开始在早期的拓扑由庞加莱开创性的贡献,Lefschetz-Hopf, Leray-Schauder的19世纪和20世纪初。大力发展成一个密集的、多方面的理论的原则,结果和方法从拓扑分析,代数和几何以及离散数学和计算。这种跨学科的理论最卓越的提供了洞察力和强大的工具,在许多领域核心问题的可解性方面的兴趣在数学拓扑因素发挥着至关重要的作用。实际上,线性和非线性问题的存在通常翻译成不动点问题;例如,解决椭圆偏微分方程的存在,封闭在动力系统周期轨道的存在,以及最近的存在逻辑上的回答集编程。

经典的巴拿赫不动点定理,这标志着发展的两个最著名的和互补的方面的理论,即度规不动点理论和拓扑不动点理论。度量理论包含结果和方法,包括一个等距本质的属性。它源自皮卡德连续近似的概念建立非线性初始值问题的解的存在和唯一性的一阶和回到柯西,刘维尔,李普希茨,皮亚诺,弗雷德霍姆,最特别,埃米尔·皮卡德。然而,波兰数学家斯蒂芬·巴拿赫被认为将底层的想法变成一个抽象的框架适合广泛应用的范围远远超出基本微分和积分方程。指标为重要的类映射不动点理论获得尊重和突出,成为一个庞大的专业化领域部分,不仅因为很多有建设性的结果证明,而且还因为它棚屋揭示赋范空间的几何形状,更不用说它的许多应用程序在工业等领域图像处理工程、物理学、计算机科学、经济学、和电信。

固定一个特定的兴趣点集值算子发达对20世纪中期的著名扩展了这和Kakutani和Eilenberg-Montgomery Lefschetz定理,分别。巴拿赫收缩原理被纳德勒后来扩展到多值收缩。多值映射的不动点理论发现了许多应用程序在控制理论中,凸、非光滑优化、微分夹杂物,和经济学。理论也被运用在denotational语义(如给递归程序的意思)。事实上,真正的估计还为时过早的重要性和影响集值一般不动点定理在数学理论仍在增长,找到新的出路。

这个特殊的问题增加了不动点理论的发展通过关注最近的贡献。它包括扩张映射的映射工作在巴拿赫和度量空间,多值映射在巴拿赫和度量空间,单调映射在有序的空间,多值映射在有序的空间,等非度量空间和应用程序模块化的空间,以及应用程序逻辑编程和图形。

默罕默德·a . Khamsi
Hichem Ben-El-Mechaiekh
贝恩德•施罗德