文摘

均衡的存在点,基本稳定的均衡的均衡问题,在阿达玛集合管上下界限进行了研究。

1。介绍

让是一个给定的非空的集合,一个给定的函数,和两个实数满足。上下边界的平衡问题是发现这样

如果,,然后问题(1)据说是标量均衡问题:找到这样 在哪里是一个给定的函数满足吗对所有。众所周知,问题(2)是一个统一模型的几个问题,如变分不等式问题,优化问题,鞍点问题,互补问题,和不动点问题(例如,看到1- - - - - -3])。

在1999年直接督导下的et al。4提出了开放问题:如果是一个非空的封闭在局部凸拓扑向量空间semireflexive子集,在什么条件下做问题(1)有解决方案吗?从那时起,一些作者开始研究这个问题。2000年,李5]给出答案通过极值子集的概念。在[6],Chadli等人得到一些结果通过使用不动点定理由于安萨里和姚明(7和风扇引理8]。在[9张),使用的概念还回答了这个问题凸性,不动点定理和引理。上述结果和其他人在10- - - - - -12)所示的拓扑向量空间。因此,有一个问题:什么时候问题(1)在集合管的非线性框架有一个解决方案吗?另一方面,据我们所知,没有一篇论文的基本稳定均衡的均衡问题的设置较低并给出上界在拓扑向量空间或集合管。

本文的目的是开发较低的平衡问题和上界在阿达玛集合管的非线性框架,研究平衡的存在点,和基本稳定的均衡的均衡问题的设置较低,在阿达玛复写上界。我们的研究结果扩展相应的定理由于直接督导下的et al。4),科劳et al。13),和张9]。

2。预赛

在本节中,我们回忆起一些符号,定义,和基本属性中使用,可以发现在14]或[15]。

定义1。一个阿达玛廖是一个完整的单连通负值的截面曲率的黎曼流形。

在本文,我们是一个维阿达玛歧管,让任何给定的点,让表示的切线空间来。我们表示标量产品相关的规范。让是距离的函数;然后根据Hopf-Rinow定理(见[15]),是一个完备度量空间。

定义2。指数映射在被定义为为每一个,在那里大地开始吗与速度(例如,和)。

很容易,我们知道(我)对于每一个实数;(2)指数映射和它的逆矩阵是连续在阿达玛导管;(3)对于任何最小的测地线连接来是(),也是最小的测地线的吗与。

定义3。一个子集据说如果任意两个点测地线凸和在测地线连接来包含在;也就是说,如果是测地线,这样和,然后对所有。

定义4。让任何给定的点。对一组测地线凸包,用,定义如下:

备注5。如果是测地线凸子集,然后对于任何。

定义6(见[16])。让。一个说,是阿达玛的KKM映射集合管,如果任何,一个

引理7(见[13,16])。让是一个非空的闭测地线的凸子集和阿达玛歧管closed-valued KKM映射。如果存在至少一个这样紧凑的,然后

3所示。平衡点的存在性

在本节中,我们显示了较低的平衡点的均衡的存在性问题,利用KKM定理在阿达玛复写上界。

定理8。让是一个非空的有界封闭和阿达玛集合管的测地线凸子集。如果函数满足下列条件:(我)为每一个,一组是封闭的,(2)对于任何一个有限集,,(3)存在,这样是一个紧凑的子集,那么问题的平衡点(1)存在。也就是说,存在,这样

证明。让集值映射被定义为。然后是一个行星的映射。事实上,它遵循的条件(2),任何有限集合和任何,存在一些这样;也就是说,对于一些。因此我们有和。
条件(i),为每一个,是封闭的。条件(3)和完整性,存在这样紧凑。由引理7,我们有;也就是说,对于任何,存在。因此存在这样对所有。完成证明。

示例9。如果对任何,映射满足这一组是测地线凸,,然后(2)满足条件。
事实上,如果不是,那么任何有限集合,存在这样;也就是说,。这意味着对于任何,。测地线的凸性,我们有,这与。因此,对于任何子集,。

定理10。让是一个非空的有界封闭和阿达玛集合管的测地线凸子集。如果函数满足下列条件:(我)为每一个,一组是封闭的,(2)对于任何一个有限集,,(3)存在一个紧凑的子集和一个点,这样或对所有,那么问题的平衡点(1)存在。

证明。让集值映射被定义为。然后通过条件(iii)存在一个点这样。所以它遵循条件(i)和完整性那紧凑。由定理8,我们有这样的存在这样对所有。这就完成了证明。

定理11。让是一个非空的紧凑,阿达玛集合管的测地线凸子集。如果函数满足下列条件:(我)为每一个,是连续的对吗在,(2)对于任何一个有限集,,然后存在,这样对所有。

证明。的连续性,它遵循定理的条件(i)8成立。由定理8,我们有这样的存在这样对所有。这就完成了证明。

评论12。定理8由于张[延伸定理3.19从阿达玛复写的拓扑向量空间。

接下来,我们将展示一些应用程序的结果如下。

推论13。让是一个非空的紧凑,阿达玛集合管的测地线凸子集,,。如果函数满足下列条件:(我)为每一个,是连续的对吗在,(2)对于任何一个有限集,,然后存在,这样

推论14。让是一个非空的有界封闭和阿达玛集合管的测地线凸子集。如果映射满足下列条件:(我)对于任何,,(2)为每一个,一组是封闭的,(3)对于任何,一组是测地线凸,(iv)存在一个紧凑的子集和一个点,这样对所有,那么问题的平衡点(2)存在。

证明。定义了一个映射通过,然后 条件(2),我们有是关闭的。它遵循的条件(我),(iii)和例子9那满足任何有限集合,。此外,通过条件(iv)存在一个点的。所以它遵循从条件(2)的完整性那紧凑。由定理8,我们有,存在这样;也就是说,存在这样。这就完成了证明。

评论15。当映射所有上连续吗、条件(i)持有的推论14。如果是一个紧凑的子集可以省略,那么条件(iv)。因此,定理3.2所示(13)是改善。

4所示。基本稳定

在本节中,我们考虑的基本稳定均衡的均衡问题的设置较低,在阿达玛复写上界。我们可以看到基本稳定的系统性研究拓扑向量空间(17]。

让是一个非空的紧凑,阿达玛歧管的测地线凸子集,表示函数的集合,这是连续的对和满足对于任何一个有限集。

对于任何从定理,它遵循8这存在这样对所有,,在那里据说是均衡的均衡问题较低和上界。让表示平衡的集合点;然后 所以一个映射被很好地定义,在哪里所有非空的紧凑的子集的集合吗。对于任何,我们可以定义一个距离如下: 很明显,是一个度量空间。

定义16。为每一个,让是一个非空的封闭的子集。(我) 被称为一个重要的吗如果任何开放社区的在,有一个这样,对于任何与,。如果所有是至关重要的,那么据说是至关重要的。(2) 被称为一个基本组吗如果开集,,有一个这样,对于任何与,。(3) 被称为一组基本的如果它是一个家庭的基本集的最小元素包含命令集。

引理17。度量空间就完成了。

证明。让是任何柯西序列;然后对任何,有一个这样,对于任何,,或者,,这意味着对于任何,是一个柯西序列。因此,有一个映射这样为每一个。因此。然后在规。
接下来,我们将证明。对于任何,使用 我们可以证明是连续的对吗。对于所有有限集和所有,它遵循的财产存在一些这样。自在规,适用于一些和任何。然后 也就是说,。

引理18。映射是它们的映射;也就是说,在上半和所有非空的契约吗。

证明。自紧凑,我们只需要证明的图像的封闭收获吗();也就是说,与和任何与,应该证明。
对于任何,意味着。因此,对所有的连续性我们有,是封闭的,所以呢;也就是说,适用于所有。它遵循从那适用于所有。因此,。这就完成了证明。

定理19。为每一个,一个(我)存在一个密集的剩余子集的这样,每,是至关重要的,(2)存在至少一个连接的基本子集。

证明。(我)的前题17和18度量空间,我们有完成映射是它们的。因此,它遵循从定理(见[堡18)有一个密集的剩余子集的,这样较低的半连续。从下半连续映射的定义和定义16(我),由此可见,对每个至关重要。
(2)让表示所有的重要子集的家庭命令设置包含;然后。事实上,的上半连续性意味着,对于每一个开集与,存在这样,对于任何与,。因此是一组基本的本身。
简洁的,接下去的交集每减少链中的元素也在和有一个下界。因此,通过该引理,有一个最小的元素,这是基本的。
假设必不可少的最小子集不连接。然后,存在两个非空的子集和与和两个不相交的子集和在这样和。从,此前有一个这样,对于任何与,。
自是一组基本的,然后不也不是至关重要的。因此,对,存在与和,这样,。因此,。
定义了一个映射如下: 在哪里,,的度量。很容易证明,对于任何,和是连续的,,,。的连续性和我们有,是连续的对吗。
对于任何一个有限集和所有,它遵循的财产存在一些这样,然后。因此,。
自 我们有。当,让;然后,,,,这与事实相矛盾。同样,我们可以证明结果在一个矛盾。因此,是连接。完成证明。

续集,利用上述结果,我们认为的基本稳定平衡的问题点(2阿达玛导管)。

让表示函数的集合,这是连续的和满足是测地线凸,对于任何。

对于任何,它遵循从的话15和推论14这存在这样对所有,,在那里据说是平衡的问题(2)。让表示平衡的集合点;然后 所以一个映射是定义良好的。

让,,;由定理19,我们有以下结果。

推论20。为每一个,一个(我)存在一个密集的剩余子集的这样,每,是至关重要的,(2)存在至少一个连接的基本子集。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢裁判建议改善。这项工作是由中国国家自然科学基金支持的(没有。11201379),基础研究基金为中央大学(没有。JBK130401),四川省教育部科研基金(没有。14 za0362),湖南省自然科学基金(没有。2014 jj4044)。