文摘

本文涉及的问题估计分数布朗运动的赫斯特参数当赫斯特指数大于1/2。估计过程是建立在婚姻的自相关方法和最大似然方法。并给出了估计量的渐近性质。使用蒙特卡罗实验中,我们比较我们的现有方法的性能,即R / S方法,估计变化,小波方法。这些比较结果表明,该方法是有效的和高效的。

1。介绍

众所周知,许多时间序列,在不同领域的应用程序中,可能出现的现象长期记忆或远程依赖。结果,目前与长期记忆时间序列作为随机模型在各种应用程序包括电信、流体动力学、经济、和环境。此外,发现长期记忆的应用等众多领域的能源市场分析(1),神经科学和其他生物应用程序(2),和更传统的财务分析和统计理论3- - - - - -6]。我们引用专著Beran (7和饶8)完成博览会在理论和实践方面的长记忆过程。

在文献中,存在许多随机过程具有长记忆性属性。最受欢迎的自相似随机过程,展示远程依赖当然是分数布朗运动(fBm),这是一个众所周知的高斯自相似和平稳随机过程的增量。事实上,乘法常数,fBm是唯一的高斯过程,这两个属性。显然,如果某些现象可以通过fBm模型,赫斯特的估计参数fBm是一个重要的问题。换句话说,避免使用一个任意值未知的赫斯特fBm参数,我们应该估计赫斯特指数。这导致fBm要求严格的评估程序,这是本文的目的。

实际上,有几个估计程序获取fBm赫斯特参数(见,例如,(9])。估计值得一提的是著名的新范围分析(R / S分析),因为它是非常受欢迎的调查人员,直到今天。事实上,还有许多其他方法在文献中估算的赫斯特指数。例如,variance-time分析、Higuchi的方法、相关图法、周期图方法,惠特尔估计,小波方法,去趋势波动分析方法。最近,Chronopoulou,来吧10)提出了一种新的估计基于离散的赫斯特参数变化。实际上,这些评估方法的比较,报纸上也被调查。Taqqu et al。11)表示,惠特尔的方法比传统方法使用实证研究而Abry和维奇(12)表明,小波方法比惠特尔的方法。傅里叶和小波方法的一般比较,看到费等。9]。

据估计而言,还没有一个完美的方法所达成的所有人员。每种方法都有自己的缺点,不能作为唯一的估计在所有情况下。更详细的讨论,请参见工作Beran [7]。本文估算fBm赫斯特系数,提出了一种新的估计过程,它是建立在婚姻的自相关方法和最大似然方法。具体地说,当,我们现在估计量的渐近正常借贷的想法霍斯金表示:“13]。此外,当,我们建议极大似然估计量的渐近正态性严格弱条件下比受雇于赖(14]。我们还描述了数值实现基于我们的方法和比较我们的方法的性能与其他已知的方法,即R / S方法,估计变化,小波方法。

本文的其余部分组织如下。节2,我们给一个简短描述的关键结果和现在我们估计量的渐近分布。节3,提出了估计量的性能如下一些数值试验。最后,部分4得出了结论。所有技术细节都附录。

2。估计基于离散的观测

急剧增加的应用时间序列的长记忆的重要性,fBM模型已成功应用于许多领域的经济、金融、物理、化学、医学、和环境研究。实际上,当fBm是用来描述一些现象,一个关键问题是如何确定赫斯特参数。因此,赫斯特参数的参数估计问题是极大的兴趣在过去十年中,成为一个具有挑战性的理论问题。接下来,我们考虑的问题估计fBm的赫斯特指数。

现在,让我们回想一下,分数布朗运动与赫斯特系数概率,定义在一个完整的空间中心,是一个高斯过程。因此其法律特征是其协方差函数,给出的

在哪里和和表示长记忆参数。此外,让被观察到的列向量时间序列实例的上标表示一个向量的转置。

2.1。估计当

在本节中,我们开发赫斯特参数使用自相关函数的估计量。

从(1),我们可以看到,协方差可以写成为,这一过程是一个普通的布朗运动。在这种情况下的增量过程不相交的时间间隔是独立的。然而,对于增量并不是独立的。集。然后是一个高斯平稳序列和单位方差和自协方差函数吗

此外,简单的计算表明,

作为。

因此,自协方差函数nonsummable。这种现象被称为远程依赖,指示(相对)缓慢衰减的协方差函数。自是二阶自相似,我们有从(2),

因此,我们可以解出得到

现在,给定数据,让

样本协方差表示样本均值,样本方差,和样本自相关。基于(4),我们可以写在fBm赫斯特的估计参数

评估提议的性能估计,由于霍斯金表示:“我们呼吁以下结果13]。

定理1。让是一个完全二阶高斯自相似过程,也就是说,一个分数高斯噪声。假设在(2),。然后一个大样本的大小,大约是,在那里 当和 当。

证明。这是一个特殊情况的霍斯金表示:13]。

2.2。估计当

接下来,我们处理这个问题估计fBm当的赫斯特指数。我们采用的技术是最大似然方法。选择这种方法的原因是,这种技术已经应用有效地在一个大集合。由于fBm是高斯分布的离散对数似观察可能是显式计算。借贷的想法赖(14),我们可以得到准确的极大似然估计量的赫斯特fBm参数。然而,由于我们的假设稍有不同于在赖14),我们提供详细的推导和做一些比较。

注意,对于任何,是高斯。这样的联合概率密度函数是 在哪里

因此,对数似函数给药

此外,让的极大似然估计量。然后,基于泰勒展开 在哪里是一个随机点之间和;一个'和' '表示第一个和第二个衍生品与尊重,分别。从赖14),我们有下面的结果。

引理2。为的期望对数似函数的一阶导数,,是零和方差。

下面我们将建立的渐近分布。首先我们列举一些技术条件。

假设3。让表示矩阵的最大特征值。然后一个假设。

实际上,我们应该验证假设的可行性3。

命题4。假设3是合理的,当

证明。首先,他指出,最大的特征值的下界可以获得的结果沃克和Mieghem [15),我们有 在哪里系数和矩阵的最小值。
另一方面,我们获得前往最大的特征值就越高由Gerschgorin圆定理(见[16]:定理P395) 与作为一个积极的常数。
因此,我们获得
从(16),很明显,假设3时是可行的。

我们现在准备状态的关键结果,其证明是推迟到附录。

定理5。假设的假设3很满意,。极大似然估计量的参数大约是正态分布,这样吗
作为趋于无穷时,表示分布的收敛。

3所示。模拟研究

在本节中,我们进行蒙特卡洛模拟研究的性能估计和比较我们的估计量与现有方法(本文仿真已经在Matlab语言实现。读者应该联系作者的人如果有兴趣获得本研究的代码)。尽管有许多方法可用于评估赫斯特的参数,这里我们比较这些方法的一些使用模拟时间序列。特别是,我们考虑R / S,估计量的变化,小波方法,和我们的估计。首先,对于一个固定的时间步,我们为不同的值生成fBm参数对于不同的样本大小:= 50和100。此外,对于每一个情况下,我们考虑独立的实现。因此,对于一个给定的估计方法获得为估算值。我们计算 在哪里是单一的估计价值的实现。我们计算标准差(美国)

在哪里意味着结束了所有的实现和平均平方误差(MSE) 在哪里参数的值是用于生成模型。

用这种方式我们可以获得近似的标准偏差值和估计的均方误差。这些结果很重要,因为它们是必要的调查估计的性能。仿真结果在表中进行了总结1和2均值,标准差(美国),平均平方误差(MSE)的估计。CPU时间(以秒为单位),平均也在这些表(所有的程序都使用电脑编程与英特尔双核2.4 GHz CPU核心和2 gb RAM)。

从这些数值计算,我们可以得出结论,迅速模拟均收敛于真实值,偏差往往很快就为零当样本容量也在不断增加。事实上,通过仔细观察表1和2,我们可以看到,我们获得的平均值法和小波法更接近真实值比获得基于R / S方法和变异方法。此外,金丝和MSE通过我们的方法和小波方法更小比获得基于R / S方法和变异方法。此外,有趣的是,我们的方法和小波方法有相同的准确性和偏见当样本路径的数量足够大。因此这两种方法都是有效的。然而,最重要的发现是,计算时间的花费,我们的方法比这低的小波方法。因此,我们的方法是有效的和高效的。总之,蒙特卡洛模拟验证我们的理论表明,我们估计在有限样本表现相当不错。

我们下一个调查的渐近分布当不是太大了。在这里,选择参数,0.70,0.80,0.90和我们= 120,= 1/12(即)。我们只是执行100年蒙特卡洛模拟生成的样本路径fBm的过程。结果呈现在图1。

从图1我们可以看到,正常的赫斯特的分布参数的近似基于是合理的,即使不是太大了。这证实了我们的理论分析:这两个估计分布的收敛快。总之,我们的仿真结果表明,估计以来表现良好匹配所选的参数估计结果准确。

4所示。结论

研究估计fBm一直在持续的赫斯特参数计量经济学和统计文献二十多年。但是得到了最大的关注在过去的十年中,作为实证金融研究人员试图使用fBm来捕获的远程依赖金融资产的价格。本文考虑了fBm基于推理问题的婚姻自相关方法和最大似然方法。本文的主要贡献是在建立的渐近正态性,当赫斯特参数满足。本文因此延长了赖(14开创性的贡献,这是强烈的条件下完成的。最后,我们还展示了我们的现有方法的性能,表明该方法是有效和高效。当然,在未来的研究中,以改善方法应使用不同的计划估计的高阶收敛。因此领域越来越重要的理论家和实践者。

附录

定理的证明5。让。然后我们获得 在哪里欧几里得范数表示。的计算计算如下所示: 在哪里矩阵的坐标吗。最后渐近词之前。
Gerschgorin圆定理(见[16]:定理P395),结合(a .),意味着 在哪里是一个积极的常数。因此,我们有作为。
现在我们。然后一个简单的计算显示。计算的方差我们首先计算的方差: 在哪里系数,特征值,是最大的特征值,然后呢光谱是常态。最后一项的渐近关系遵循Gerschgorin圆定理和矩阵的积极的明确性。
实际上,通过应用(a .)和使用(各),我们立即获得 在哪里是一个积极的常数。因此,我们获得作为→∞时。现在,我们得到,这是情人的条件(C1) (17]。此外,连续性条件(C2)在情人17)持有非常自和的连续函数。
推论1的情人(17),我们获得期望的结果。

利益冲突

作者宣称他们没有金融和个人关系与他人或组织不当会影响他们的工作;没有专业或其他任何性质的个人利益或在任何产品,服务,和/或公司可能被视为影响的位置或本文的评论。

确认

作者感谢匿名裁判非常有益的建议和意见,改进了原来的纸。这项研究得到了国家自然科学基金(没有。71171086)和广东省自然科学基金、中国(没有。S2013010016270)。