文摘
本文探讨Schwarzian型差分方程在哪里是一个有理函数与多项式的系数,分别是两个不可约多项式在吗的程度分别。之间的关系和研究了一些特殊情况。表示。让是一个容许的解决方案这样;然后(≥2)独特的复杂的常量,特别是,如果,然后
1。介绍和结果
在这篇文章中,亚纯函数总是意味着亚纯在整个复杂的飞机,和总是意味着一个非零常数。在亚纯函数,我们定义的转变并定义其不同运营商 特别是,的情况下。我们使用的标准符号Nevanlinna亚纯函数理论等,,和所1- - - - - -3]。为一个常数,我们定义Nevanlinna不足
最近的论文数量(见,例如,4- - - - - -12])是致力于考虑复杂的差分方程和差分Nevanlinna理论的类似物。由于一些想法的13),我们认为的容许解Schwarzian类型差分方程: 在哪里是一个有理函数与多项式的系数,分别两个不可约多项式的程度分别。在下面,“容许”总是意味着“先验。“我们表示从现在开始。存在的解决方案(3),我们下面给出一些例子。
的例子。(1)是一个容许Schwarzian类型的解差分方程:
(2)是一个容许Schwarzian类型的解差分方程
(3)让,然后解决了Schwarzian类型差分方程:
这个例子表明,(3)可能承认多项式解决方案。
考虑之间的关系和在上述例子中,我们证明下面的结果。
定理1。Schwarzian类型差分方程(3)和多项式系数,注意以下。(我)如果承认一个容许的解决方案这样,然后 特别是,如果,然后。(2)如果它的系数都是常量,它承认一个多项式的解决方案与学位,然后和。
备注2。从示例(1)和(2),我们猜想在定理1(我)。然而,我们目前无法证明它。从例子(3)之前,我们看到,限制系数定理1(2)不能省略。
Schwarzian微分方程,
在哪里,,正如之前提到的,Ishizaki [13证明了下面的结果(参见定理在[2])。
定理(见[2,13])。让是一个容许的解决方案(8)和多项式系数,让是≥2不同的复杂的常量。然后
Schwarzian类型差分方程(3),我们证明下面的结果。
定理3。让是一个容许的解决方案(3等)和多项式系数,让是≥2不同的复杂的常量。然后 特别是,如果,然后
备注4。从定理1条件下,在定理3,我们有在(11)。0和两极的行为在本质上是不同的吗。我们想知道是否限制可以省略。
2。前题
下面的引理的过程中起着非常重要的作用的复杂的微分方程和差分方程理论。它可以发现在Mohon 'ko [14]和Valiron [15(参见定理在莱恩和杨2])。
引理5(见[14,15])。让亚纯函数。然后,所有不可约理性的功能, 亚纯系数这样 的特征函数满足 在哪里。
以下两个结果可以发现在10]。事实上,引理6是一个特例引理8.3的10]。
引理6(见[10])。让亚纯函数的超订单,和。然后 一组以外的可能与有限的对数测量。
引理7(见[10])。让亚纯函数的超订单,和。然后 一组以外的可能与有限的对数测量。
从引理7,我们可以很容易的得到以下结论。
引理8。让亚纯函数的超订单,和。然后 一组以外的可能与有限的对数测量。
引理9。让是一个容许的解决方案(3)系数。然后,使用符号, 特别是,如果,然后
证明。我们使用的想法Ishizaki [13)(参见[2])来证明引理9。它遵循从引理8那
从这个和引理5,我们得到
因此
如果,因为所有的系数和多项式,也在最有限的许多波兰人吗,无论是两极还是零。因此,我们看到
我们获得(18),(22立即)。
如果最多,有有限的许多波兰人,而不是零,然后
现在(18从()之前22)和(24)。
注意,如果,然后(24)总是持有。这样就完成了引理的证明9。
3所示。定理的证明1
案例1。方程(3承认一个容许的解决方案这样。因为所有的系数和多项式,也在最有限的许多波兰人吗不是波兰人和这意味着。
从引理5,我们得到
我们可以推断(3),(25),(26),引理8那 从这个,它遵循 更多的是,如果是什么,然后我们获得(28),
例2。的系数(3)都是常量,它承认一个多项式的解决方案与学位。集 然后 在哪里 从(29日)和(30.),我们获得
如果,然后收益率,。这是一个矛盾的假设。因此,。
如果,然后,,。现在从(3),我们得到 考虑度方程两边上面,我们可以看到。
如果同样,我们可以推断出这一点 在哪里多项式是这样。
重写(3)如下:
从(34),我们发现的主要系数是
考虑双方的学位(35),我们证明。
4所示。定理的证明3
首先,我们考虑一般情况下。备注1所(13),由于闪避和福16),如果3)承认一个容许的解决方案,然后有最多常见的零和。因为所有的系数多项式,也在最有限的许多波兰人吗0的。因此,从(3),我们有 结合这个引理9应用第二个主要定理,我们得到的 因此,我们证明(10)持有。
其次,我们考虑的情况。从(3)和引理8同样,我们得到 从这个和应用引理9(19),正如之前说的,我们可以证明(11)持有。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢裁判对他们有价值的建议。这项工作是支持的NNSFC(11226091和11226091号),广东省自然科学基金(S2013040014347)和高等教育的基金会杰出的青年才俊广东(没有。2013 lym_0037)。