文摘

'轨道定理和莫顿的定理,证明了无限动力系统转变的类型称为戴克转变。不同的和更直接的方法被用于证明没有任何复杂的理论讨论。

1。介绍和预赛

回想一下,在数论,功能 一个说, 意味着 是有界的对吗 对于所有足够大 。也就是说,存在常数 和 这样 和 是渐近 ,用 ,如果 prime-counting函数,给出了质数数目小于或等于 任意的实数 ,是用 。素数定理(PNT)声明

然而,质数的渐近公式 , 在哪里 欧拉常数和吗 ,被称为莫顿的解析数论定理。莫顿的对数等价定理 和莫顿的常数 。

让 是一个非空的并集 一张地图。这一对 据说是一个动力系统。在动力系统技术,是一个抽象的数学模型描述了时间依赖的点在空间的位置。这是传统建模的地图 迭代的表示时间的流逝。许多动力问题涉及计算封闭轨道的数量或映射的周期点受迭代。一个封闭的轨道(周期) 的长度 连续映射 是一组的形式 在哪里 对于一些 和 。

让 是一个地图,和定义 这是最小的点集期吗 下 的点集 下 和封闭的轨道长度的设置 下 ,分别。众所周知,莫比乌斯函数, 的 ,是

的确, 对于任何一个自然数 。此外,对所有的积极因子求和 除非莫比乌斯函数的零 。默比乌斯反演公式(1)定义如下。如果 两个运算功能满意吗 然后

让

由此可见, 因此 因此,通过默比乌斯反演公式, 类比后封闭的轨道和质数,表达式的渐近行为 可能被视为一个素数定理的动态模拟和动态模拟的莫顿定理的担忧渐近估计表达式 在哪里 表示映射的拓扑熵 。

帕里(2)发起的研究使用思想和技术解析数论的攻击这种性质的问题。当 一个度量结构对吗 双曲线或有限类型的转变(将在后续部分详细),结果帕里和Pollicott3]和Noorani [4]显示相似的类比闭合轨道的数目和素数定理。它已被证明 夏普在[5)也获得一个类比闭合轨道和莫顿对双曲映射如下的定理 为一个常数 。

数的渐近行为(orbit-counting结果14)和(15)等其他地图quasihyperbolic托拉尔自同构(遍历性但不夸张)可以发现,例如,在[6- - - - - -9]。

本文类比的闭合轨道无限类型的转变称为戴克转变,(3)和(4)取得了。本文组织如下。在第一节中给出了一些介绍和预赛。第二部分介绍了戴克转变。'轨道定理和莫顿定理证明的部分3。

2。戴克的转变

让 是一个有限字母表。在 发送点行为的转变 入点 。的动力系统,关闭移不变的子集 ,转移的限制作用,被称为子。这些都是在符号动力学进行研究。一个元素的 将被称为一个字,或一块长度 。一个字的长度 被称为一个空字,用吗 。所有有限的单词与字母来自 是一组 。一个词叫做容许构造 如果它出现在一个点 。让 ,让 表示所有容许的集合的长度 在 。的语言 是集 。构造的拓扑熵 是由

子也可以使用禁止的概念定义集。让 是一组单词 ,也就是说, ,也就是任何这样的禁止设置。 ,定义 序列的子集 不包含任何词 。然后,构造一个子集 完整的转变 这样 对于一些收藏 禁止块在 。如果此外 是有限的,然后我们电话吗 有限的构造类型。黄金意味着转变这被定义为字母系统的转变 有一个禁止设置 是有限的构造类型。

构造包含很多sft(有限类型的转变)转移空间,据说是从房地产a类nonsofic系统,称为戴克系统,首先提出了克里格(10)和早期贡献者的名字命名自由组织和形式语言的研究,总结的规则匹配的括号,这是其中一个空间的转变。戴克的转变 来自语言理论是轮班制的定义在一个字母吗 ,由 负的符号和 积极的象征。对于一个 在完整的转变 , 是在 当且仅当每一个出现在有限的块 有一个非零的形式。因此,约束 不能有界。一个漂亮的方法来描述戴克转变的语法独异点。

让 。字母组成 对匹配左右分隔符或符号。让 是一个独异点(零)和发电机 , , 。独异点上的关系

我们使用一个映射 : 这样,

定义1。戴克的转变 (10)被定义为 在哪里 。

当 , 两个符号是完整的转变;我们将默认假设 。戴克的拓扑熵的转变 已经计算 在[10]。

定理2(见[11])。戴克转变点的数量 有时间 是由

3所示。计算封闭轨道

在本节中,我们证明了两个定理,涉及轨道的计算戴克转变,其中第一个是'轨道定理和第二个是莫顿的轨道定理。然而,为了证明这些定理,我们首先证明以下引理中扮演一个重要的角色在证明我们的主要结果。

引理3。存在常数 和 这样,下面的不平等适用于所有 :

证明。假设 是偶数。的情况 可以证明类似地是奇数。
我们首先要注意到 因此,我们获得 也 估计这个词 使用二项式定理得到 我们设置 使用二项式系数的定义很容易证明 也 利用(29日)和(30.我们获得 应用不平等(31日)(27),我们得到 因此,不平等(26)意味着 因此,如果我们把 和 ,那么我们就做完了。

定理4('轨道定理)。让 在一组戴克的转变 对和 一个封闭的轨道 。让 被封闭的轨道的数目 不超过 和 点有时间的数量 下 由定理2。然后

证明。利用引理3,我们得到 同样的, 通过结合(35)和(36),我们得到 因此,通过莫比乌斯反演公式 减去的主导方面,我们获得 自 , ,然后 ,所以 估计占主导地位的条款,让 。然后 最后 事实上 然后 是一个几何级数 作为第一项;然后我们有 自 。
因此,可以看出,从40),(41)和(45) 因此 自 ,然后 利用引理3,我们获得 因此,让 意味着 所以 因此 相当于 是必需的。

定理5(莫顿的轨道定理)。让 在一组戴克的转变 对和 点有时间的数量 下 给出的定理2。然后 在哪里 。

证明。动力莫顿的定理断言 首先我们要估计这个词 请注意, 因此 因此 现在 为了估计这部分和下面的引理是极其必要的。
引理6。如果 是一个复数的模量,而不是团结的根,然后呢
自 ,然后 ;因此我们可以应用上述引理。因此 由此可见, 事实上,从渐近估计的性质,我们有 因此,我们得出这样的结论:

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢马来西亚Kebangsaan大学通过格兰特没有提供金融支持。德意志联邦共和国/ / ST06 / UKM / 01/1和1/2014模型人山Berpusat (NIC1)。作者感谢裁判他/她仔细阅读论文的和有用的建议。