文摘
我们讨论Caristi映射的不动点定理定义度量空间赋予一个图。这项工作应被视为古典Caristi泛化的不动点定理。它扩展了一些近期作品的扩展巴拿赫收缩原理与图度量空间。
教授致力于萨利赫·拉希德Alfuraidan和踩踏Mateljevi 'c为他的65岁生日
1。介绍
这项工作是出于一些近期作品的扩展巴拿赫收缩原理与偏序(度量空间1)或一个图表(2]。Caristi的不动点定理也许是最美丽的扩展之一巴拿赫收缩原理(3,4]。回想一下,这个定理州任何地图这一事实有一个定点提供吗是一个完备度量空间和下半连续映射存在吗这样 对于每一个。回想一下,被称为定点的如果。这个一般不动点定理已经发现许多应用在非线性分析。它显示,例如,这个定理收益率基本上所有已知的灵性的结果(5几何的巴拿赫不动点理论空间。回想一下,灵性条件的断言,在某种意义上,分域映射到域。可能,灵性的最低条件,Leray-Schauder边界条件,是假设地图点的除了外在的部分射线原始的一些内部点并通过。
证明给Caristi的结果不同,使用不同的技术(见[3,6- - - - - -8])。值得提及的是,因为Caristi Ekeland联系密切的(9变分原理,许多作者称它为Caristi-Ekeland定点的结果。更多Ekeland之间的等价的变分原理和Caristi-Ekeland定点结果和度量空间的完备性,建议读者阅读(10]。
2。主要结果
也许最有趣的一个例子使用的度量不动点定理的证明是微分方程解的存在。通常的做法是将这些方程转化为积分方程,描述准确映射的不动点。这样的度量空间映射行为通常是一个函数空间。把规范(在向量空间的情况下)或距离给了我们一个度量结构足够富有使用巴拿赫收缩原理或其他已知的不动点定理。但一个结构自然享有这样的函数空间是很少使用。我们确实有一个秩序功能继承的顺序。巴拿赫的古典使用收缩原理,重点是度规行为的映射。自然秩序的连接通常是忽略。在[1,11),作者给了有趣的例子结合使用的顺序是度量条件。
示例1(见[1])。考虑到周期边值问题 在哪里和是一个连续函数。显然,任何解决这个问题必须连续可微的。所以空间考虑这个问题。上述问题相当于积分问题 在哪里和格林函数给出 定义的映射通过 注意,如果是一个不动点的,然后是原边值问题的解。在适当的假设下,映射满足以下属性:(我)如果,那么我们就有;(2)如果,然后 为一个常数独立的和。收缩条件只适用于类似的功能。它没有抓住整个空间。这种情况导致了作者在1)使用一个较弱的版本的巴拿赫收缩原理证明解的存在原始的边值问题,结果是已知的(12使用不同的技术。
让半序集和。我们会说,是单调递增,如果 的主要结果1下面的定理。
定理2(见[1])。让半序集,假设存在一个距离在这样是一个完备度量空间。让是一个连续和单调递增映射,这样存在与 如果存在,,然后有一个固定的点。
显然,从这个定理,可以看到收缩性质的映射仅限于可比的元素不要整个集合。上面的示例的详细调查表明,这类映射可能存在不收缩对整个集合。因此经典的巴拿赫收缩原则不会工作在这种情况下。模拟Caristi固定的定理在此设置下面的结果。
定理3。让半序集,假设存在一个距离在这样是一个完备度量空间。让是一个连续而单调递增的映射。假设存在一个低半连续函数这样 然后有一个不动点当且仅当存在吗,。
证明。显然,如果是一个不动点的,也就是说,,那么我们就有。假设存在这样。自是单调递增的,我们有什么,对于任何。因此 因此是一个递减的正数序列。让。对于任何,我们有 因此是一个柯西序列。自完成,存在吗这样。自是连续的,我们得出这样的结论:;也就是说,是一个不动点的。
的连续性假设如果我们假设可能放松满足财产(OSC)。
定义4。让半序集。让是一个距离上定义。一个说,满足属性(OSC)任何收敛当且仅当递减序列在,也就是说,,对于任何,一个。
有以下改进定理3。
定理5。让半序集,假设存在一个距离在这样是一个完备度量空间。假设满足财产(OSC)。让是一个单调递增的映射。假设存在一个低半连续函数这样 然后有一个不动点当且仅当存在吗,。
证明。我们继续在定理的证明3。让这样。写,。这一事实减少,存在于。因为我们不承担连续的,然后可能不是一个固定的点吗。这个想法是使用超限归纳法建立超限的轨道来帮助赶不动点。注意,因为满足(OSC),然后我们有。自是单调递增的,那么我们会有吗。到目前为止这些基本事实将帮助我们寻求超限的轨道,在那里是所有序数的集合。这超限轨道必须满足以下属性:(1)
,对于任何;(2)
,如果是一个极限序数;(3)
,每当;(4)
,每当。显然上面的属性是满意的。让是一个序数。假设的属性是通过。我们有两种情况如下。(我)如果,然后设置。(2)假设是一个极限序数。集。然后可以很容易地找到一个增加的顺序序列,,这样。财产将迫使柯西。自是完整的,那么存在于。房地产(OSC)将暗示。我们表明,。让。如果,尽管,那么我们就有
但。因此这意味着。因此。否则,假设存在这样。因此这意味着。在任何情况下,我们有,对于任何。因此我们有
因此。集。让我们证明满足所有属性。很明显和感到满意。让我们关注和。让。我们需要证明。如果是一个极限序数,这是显而易见的。假设的存在。我们有两种情况;如果存在,我们有。自是单调递增,那么;也就是说,。否则,如果是一个顺序的限制,那么。自是单调递增的,那么我们有什么
这意味着,对于任何。因此我们有完成的证明。让我们证明。让。第一个假设的存在。然后,在证明,我们看到。我们的假设将意味着
如果,我们已经完成了任务。否则,如果,然后我们使用感应的假设
三角不等式将暗示
接下来,我们假设是一个极限序数。然后存在越来越序列的顺序,,这样。鉴于我们,假设,尽管。在这个例子中,我们已经看到。否则,我们假设存在这样。在这种情况下,从我们的感应假设和三角不等式,我们得到的
使用的下半连续性,我们得出这样的结论:
完成的证明。超限归纳法我们得出这样的结论:超限的轨道存在满足属性。使用命题([13,284页),存在一个顺序这样,对于任何。特别是,我们有,对于任何。财产将力;也就是说,。因此有一个固定的点。
你可能想知道定理5真的是一个扩展的主要结果(1,2,11]。下面的例子表明,它是如此。
例子6。让是经典的巴拿赫空间与自然生成的逐点的顺序。让积极的锥。定义通过
首先请注意,是一个封闭的子集。因此完成norm-1距离。也很容易检查属性(OSC)在这种情况下。注意,对于任何一个,我们有。我们也;也就是说,是一个不动点的对于任何。注意,对于任何我们有
因此,所有定理的假设5感到满意。但未能满足的假设1,2,11]。事实上如果我们把
然后我们有和,对于任何。因此不是连续的自一致收敛(norm-1)。还请注意,,因为。所以任何李普希兹条件的偏序不满意吗在这种情况下。
3所示。Caristi定理在度量空间图
看来,图论的术语,而不是偏序集可以提供更多清晰图片和屈服于推广上面的定理。在本节中,我们给我们的两个主要结果的图版本。
在本节中,我们假设是一个度量空间,是一个有向图(有向图)的顶点和边包含所有的循环;对于任何。我们还假设没有平行边(弧),所以我们可以确定吗与对。我们的图论符号和术语是标准的,可以发现在所有的图论书,喜欢14,15]。一个有向图被称为一个有向图;如果当,然后。
让半序集。我们定义有向图在如下。的顶点的元素是,两个顶点通过一个有向边(电弧)如果。因此,没有平行的弧线作为。
如果是有向图的顶点,然后直接路径来的长度是一个序列的顶点,这样
一个封闭的路径长度从来,也就是说,,称为循环。一个非循环有向图是一个有向图,没有定向循环。
给定一个非循环有向图,,我们可以定义一个部分订单顶点的集合通过定义,每当有一个路径来。
定义7。一个说一个映射是边缘保护,如果 据说是Caristi吗如果存在较低的半连续函数映射这样
定理8。让是一个有向图的集合与包含所有循环和假设存在一个距离在这样是一个完备度量空间。让是连续的,边缘保护,-Caristi映射。然后有一个不动点当且仅当存在吗,。
证明。 所有的循环。特别是,如果是一个不动点的,,那么我们就有。假设存在这样。自是边缘保护,我们有,对于任何。因此 因此是一个递减的正数序列。让。对于任何,我们有 因此是一个柯西序列。自完成,存在吗这样。自是连续的,我们得出这样的结论:;也就是说,是一个不动点的。
下面的定义是需要证明定理的模拟5。
定义9。让是一个非循环有向图的集合与包含所有循环。一个说,满足房地产(OSC)当且仅当满足(OSC)。
模拟的定理5可以表示如下。
定理10。让是一个有向图的集合与包含所有循环和假设存在一个指标在这样是一个完备度量空间。假设满足财产(OSC)。让是一个边缘保护和Caristi映射。然后有一个不动点当且仅当存在吗,。
定理的证明10类似于定理的证明吗5。事实上,它很容易检查这两个定理是等价的。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。