文摘

切换系统的稳定性与无限的子系统的一些结构是很重要的系统,如模糊系统、神经网络等等。因为一组矩阵的稳定性之间的关系和转换系统,本文首先研究一组矩阵的稳定性,那么,结果申请切换系统的稳定性。一些新的全局一致渐近稳定的条件(卦)与无限的离散时间线性切换系统的子系统。本文认为一些例子和仿真结果。

1。介绍

切换系统是一个动态系统,由一个有限或无限数量的子系统和逻辑规则,协调这些子系统之间的切换。数学上,这些子系统通常被索引的集合描述微分或差分方程。切换系统进行分类的一种方便的方法是基于动力学的子系统,例如,连续或离散时间线性或非线性等等(1]。近年来,许多研究人员研究切换系统的稳定性。林和Antsaklis提出了一个渐近稳定的充分必要条件的切换线性系统(1]。在[2]绝对渐近稳定性的离散线性夹杂物在巴拿赫(有限和无限维)空间和绝对的渐近稳定性之间的关系,研究了渐近稳定、一致渐近稳定性,并建立了统一的指数稳定性。

国家标准的概念估计平均欢迎切换信号下切换非线性系统研究[3]。Liberzon Trenn显示稳定子系统之间切换可能导致不稳定和代数约束的存在会导致一个更大的各种可能的失稳机制(4]。

一些新的充分条件指数线性切换系统在任意切换下的稳定性提出了(5]。阿娴等人考虑问题的切换线性时滞系统的指数稳定性和稳定。他们认为系统时变参数不确定性和未知但规范有界(6]。

一个新的充分条件,保证切换线性系统的全局指数稳定性提出了基于Lyapunov-Metzler不等式(7]。一类不确定脉冲系统研究了延迟输入(8]。结果表明,这些系统可以转化为切换系统没有延时。

Hante Sigalotti考虑切换系统在巴拿赫和希尔伯特空间由强烈连续单参数线性进化运营商的半群。他们提供了必要的全局指数稳定性的充分条件,统一对开关信号,用李雅普诺夫函数的存在共同模式(9]。

杜等人提出了限定时间切换线性系统的稳定性和稳定问题。首先,他们扩展的概念限定时间线性切换系统的稳定性。然后,充分必要条件限定时间切换线性系统的稳定性,提出了基于系统的状态转移矩阵(10]。稳定和获得一个类的属性的切换系统由正常离散子系统进行了研究[11]。结果表明,当所有子系统舒尔稳定,是一种常见的二次李雅普诺夫函数的子系统和切换正常系统指数稳定在任意切换。

指数稳定性和稳定问题的一类非线性脉冲切换系统的时变干扰进行了研究[12),得到了一些充分条件通过切换李雅普诺夫函数代数不等式约束和线性矩阵不等式方法。

Santarelli研究了稳定的状态反馈控制律LTI系统任意维度的13]。统一为切换线性稳定性分析方法描述符系统在任意切换下研究了连续时间和离散时间域(14]。该方法是基于共同的二次李雅普诺夫函数和线性矩阵不等式(lmi)合并。非线性切换延迟系统的有界性和吸引力的子系统有不同的平衡进行了研究[15]。结果表明,非线性时滞切换系统是吸引力,获得有吸引力的地区。作者提出了三种方法的存在的常见二次李雅普诺夫函数的鲁棒稳定性分析模糊Elman神经网络(16]。

由于切换系统是用在许多应用,如机器人、集成电路设计、制造、电力电子,开关电容网络混乱发电机,和自动公路系统,线性或非线性切换系统的一些应用程序被进一步研究,并取得了许多有价值的结果和模拟;参见[17- - - - - -20.)和一些参考。

在[17),一个最优控制问题与动力学之间切换几个子系统的非线性微分方程。结果表明,这种最优控制问题的一个近似解可以通过解决一系列常规计算动态优化问题。

被认为是一个最优控制问题的控制需要从一组离散值,状态和控制受到持续的不等式约束,并提出了一种新的计算方法求解最优discrete-valued控制问题(18]。

在[19)的方法与现有的混合动力系统模型解释道。的问题选择一个操作计划以减少发电机,蓄电池,转换成本是首次提出混合离散动态优化问题。一些最新的计算机技术来生成最优控制律与非线性动力学和连续切换系统综述了不等式约束(20.]。

在[21,22),一些定理啧啧的稳定性分析和作者提出的语言模糊模型。

近年来,有许多文章切换系统稳定的有限数量的开关但没有研究切换系统的稳定性当子系统的数量是无限的。因为这类切换系统的研究是很重要的在某些系统的结构,如模糊系统,等等,所以在本文中,离散线性切换系统的稳定性分析与无限的转换研究和一些新条件提出了全局一致渐近稳定(卦)这些系统。

本文组织如下。

部分2介绍了基本的定义和概念。节3收敛到零,我们得到一些条件的无限的产品矩阵。节4,我们提取一些新方法线性切换系统的稳定性分析与无限数量的子系统,并提供一些说明性的例子。部分5给出的结论。

2。问题陈述

考虑一组矩阵的并选择一个初始点,在。切换线性系统是一个动力系统的类型: 在哪里是一个无限索引集,转换法,状态和对所有(23,24]。

这意味着,在每一个瞬间,这个矩阵定义为进化的系统可以被另一个取代。

切换系统的稳定性时没有限制开关信号通常被称为稳定性分析在任意切换。这一分析,它是必要的,所有的子系统是渐近稳定的。然而,即使所有的子系统切换系统指数稳定,仍有可能构建一个从任何初始条件不同的轨迹。所以,一般来说,假设子系统的稳定是不足以确保稳定的切换系统在任意切换,除了一些特殊情况,如两两交换系统和对称的或正常的系统(子系统)。因此,如果存在一个常见的李雅普诺夫函数所有的子系统,然后交换系统的稳定性是保证在任意切换23]。

定义1。线性切换系统(1)是全局一致渐近稳定(卦)如果任何初始条件和任何转换法(23,25]:
因为这是应该持有任何初始矢量,它相当于说从矩阵所有产品收敛到零矩阵;也就是说,

卦的问题是确定联合谱半径密切相关(JSR)矩阵的集合,用(26]。

联合谱半径特征点的最大增长率渐近报在离散时间切换线性系统。另一方面,它描述了最大的渐近增长率长期规范的产品矩阵为一组。系统的稳定性是保证增长率小于1时(25,27]。

让表示欧几里得向量范数和表示27] 然后联合谱半径的定义是

交换系统(1)是卦当且仅当(26]。

一些结果表明计算甚至近似JSR是极其困难25]。这里提出一些矩阵结构的子系统切换系统的稳定性得到保证。

考虑到离散时间切换线性系统如下: 在哪里,。

交换形式的动力系统(6如果对于任何初始条件)是稳定的和任何序列矩阵,(25]。

引理2。让是一个方阵。如果存在这样对所有,,然后

证明。submultiplicity属性的规范, 下面的方程是正确的:
因为,尽管,因此,
所以, 规范的连续性,是提取

下一个证据是基于几何级数。它证明了矩阵的可逆性的充分条件。的空间与真实或复数矩阵元素被认为是。

引理3。让是一个真实的或复杂的矩阵,让是单位矩阵。如果,然后是可逆的。

证明。让,,。
自,,因此,是收敛的。
如果,然后 而
作为一个结果,
同样的,。
所以是可逆的,。
最后,(更多细节见28])。

3所示。无限的产品矩阵

在本节中一些条件研究了收敛于零的无限的产品矩阵。

定理4。让是一个序列矩阵和矩阵范数。如果序列满足(1)和(2):(1) ,(2) ,在哪里,,的任何重排序列呢。
因此,这个序列收敛于0,所以收敛于0 (27]。

定理5。让是一个紧凑的矩阵集。然后每一个产品从无限收敛于0敌我识别,在那里是一组矩阵的联合谱半径(27]。

推论6。让是一个紧凑的矩阵集。然后每个无限的产品,从收敛于0敌我识别标准这样(27]。

下一个定理是指一个特定的结构矩阵。

考虑到离散时间切换线性系统(6),这样 在哪里,和是一个无限指数,。 ,和,国家。

定理7。让是一个序列的矩阵形式(16),让存在两个数字和这样,,,对于一些矩阵范数。序列(无限矩阵的乘积)当且仅当收敛于零。

证明。证明了充分条件,通过建设从如下: 在哪里
这个定理的假设和引理2,因为,在那里,
因此意味着所以
通过一些计算,两者之间和实现以下关系:
分,上述方程
根据引理3因为很明显,是可逆的。因此,
从(20.)和(23), 因此
也就是说,通过考虑这个定理的假设条件7,收敛到零,如果。
为了证明这个定理的必要条件,它必须验证,如果收敛于零,那么。
为了证明这一点,首先必须证明
通过定义之间的差异在(18),, 和作为
从(27)和(28)是获得
所以,,这样,因此,
通过重复上述的不平等是获得
因此, 因为。
通过考虑由于,所以序列有界;也就是说,存在这样对所有,。此外对所有。
因此,序列是有界的。所以存在这样。
现在,让
事实上,我们有。通过双方的限制比上面的方程,它是获得,因此,自,那么它意味着。
意味着上述方程从(27),
所以,如果,然后和定理的假设7和引理2,
因此,
这就完成了证明。

4所示。切换线性系统的稳定性与无限数量的子系统

下列条件提取时切换线性系统的稳定性由无穷多的子系统。他们达成条件收敛到零的无限的产品矩阵。

推论8。切换线性系统(6)是卦如果满足下列条件:(1) ,(2) 。

证明。从而建立这两种情况,从定理4,获得。从推论6,引理2,通过定义1,,。因此,根据定理5,,所以系统(6)是卦。

推论9。让是一个序列的转换系统的形式(16),,。离散时间切换线性系统(6)与无限的交换系统任意切换下卦
任意切换是指切换系统,没有任何限制离散事件动态。

证明。通过定义1和定理7无限,任何产品的切换线性系统在这些条件下收敛于0。根据定义中提到的联合谱半径(5), 因为,
然后,
所以,切换线性系统是卦。

引理10。考虑到离散时间切换线性系统(6)与矩阵的结构形式(16),。切换系统是卦当且仅当,卦。

证明。让的形式在哪里和。
然后, 这样的状态。所以 当且仅当, ,。
事实上,离散时间切换线性系统(6),卦是当且仅当吗,卦。

结果1。离散时间切换线性系统(6)与无限的切换系统的形式(16)是任意切换下卦如果存在两个数字和这样,,,是有界的。

结果2。因为离散时间切换线性系统(6)与无限的切换系统形式(16)是任意切换下卦,。

例11。考虑切换线性系统(6)与两个子系统的形式(16),让是一组三角块矩阵与对角块:
所以
因为 切换线性系统在任意切换下卦。

图1给出了仿真结果的示例11。

示例12。考虑一个离散时间切换线性系统的形式(16),,
根据结果2本文,这无数的交换系统子系统任意切换,因为下卦
所以对所有。图2给出了一些仿真结果、100、1000和2000年子系统切换开关系统。

5。结论

本文提出了一种新的充分必要条件收敛到零的无限的产品矩阵。使用矩阵的条件收敛到零,切换线性系统的稳定性与无限的子系统进行了研究。一些充分条件提取全局一致渐近稳定(卦)的离散时间线性切换系统。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。