文摘
状态反馈最优极点配置的问题是设计一个反馈增益的闭环系统期望的特征值等,某些二次性能指标最小。最优极点配置控制器能保证良好的动态响应和闭环系统的鲁棒性属性。一类线性矩阵方程的帮助下,存在的必要和充分条件提出了最优极点配置问题的解决方案。通过适当选择的自由参数参数解决这类线性矩阵方程,完整的解决方案,可以获得最优极点配置问题。一个数值的例子是用来说明该方法的有效性。
1。介绍和问题公式化
线性系统的线性二次最优控制问题是设计一个线性状态反馈控制器使得二次性能指标函数最小化。众所周知在文献(见,例如,1)线性二次最优控制器具有很好的鲁棒性属性;例如,它至少有6分贝增益裕度阶段为单输入线性系统(保证金2]。另一方面,nonoptimal设计方法,极点配置方法可以任意分配两极闭环系统的任何地方,这样一个非常满意的闭环系统的瞬态性能。然而,当性能指标函数中的权重矩阵在线性二次最优控制问题是固定的,控制器是独一无二的,因此,所得的最优闭环系统的极点位置唯一确定。因此,权重之间的关系矩阵和两极的位置产生的最优闭环系统还不清楚。因此,利用线性二次最优控制方法和极点配置方法,所谓的问题设计一个反馈增益的变化两极给定线性系统的一些规定位置,同时最小化二次成本函数被广泛研究在过去几十年中,尤其是在多输入系统的情况下(见[3- - - - - -8),在其中的引用)。
明确这个问题,让我们考虑以下线性系统: 在哪里和分别系统矩阵和输入矩阵。让二次性能指标函数给出的 在哪里是一个常数对称正定矩阵和是一个常数对称积极(或semipositive)定矩阵。著名的线性二次最优控制设计这样在(2)是最小化。此问题的解决方案可以概括如下。
定理1。假设是可控的,,是给定的,而是可观测的。然后无限时间线性二次最优控制问题的解决方案是由 在哪里是独一无二的正定解代数黎卡提微分方程如下: 此外,产生的最优闭环系统 是这样的最优性能值吗
通过下面的定理,我们知道闭环系统(5)是渐近稳定的。
定理2(见[1])。假设条件的定理1感到满意。然后,闭环系统(5)组成的线性系统(1)和线性状态反馈(3)是渐近稳定;即所有的闭环系统矩阵的特征值有负的真实部分。
反馈增益矩阵的二次最优控制器能保证闭环系统有很好的鲁棒性属性。此外,对于单输入线性系统,已经证明闭环系统有一个阶段的60度和幅值裕度至少。对于一般应用系统,我们可以很容易地证明下面的结果。
定理3。二次最优控制器(3)至少有幅值裕度;也就是说,乘以一个任意常数的二次最优控制状态反馈增益,由此产生的闭环系统是渐近稳定的。
证明。我们只需要证明,对于任何闭环系统 保持渐近稳定。选择一个李雅普诺夫函数。对时间的沿着轨迹的闭环系统(7)可以评估 在哪里是正定的,,因此,。请注意,是正定;然后,。此外,正如,然后。因此,。李雅普诺夫稳定性定理,闭环系统(7)是渐近稳定的。证明已经完成。
从上面的定理,我们知道二次最优控制器具有良好的鲁棒性财产;后,即增加一个因素反馈增益,所得到的闭环系统是渐近稳定的。因为参数漂移和延迟效应的共同存在工程系统(见,例如,9- - - - - -13]),反馈控制器设计的理论方法往往受到参数扰动经过一段时间的运行时间。但如果扰动满足一定条件下,线性二次最优控制器仍能保证闭环系统的稳定性。线性二次最优控制器是非常有效的在工程应用中。然而,很容易被一些反例证明控制器设计的普通钢管放置技术有良好的鲁棒性性能。另一方面,有限维线性系统的瞬态性能是完全由闭环系统的特征值的位置。然而,闭环系统的极点所引起的二次最优控制器仍不清楚;也就是说,如果权重矩阵和规定,反馈增益矩阵唯一确定,而闭环系统的极点的位置不能确定通过指定吗和提前。
因此,如果我们能结合线性二次最优控制方法和极点配置技术,设计了反馈增益,那么这样的获得不仅可以将闭环系统的极点到所需的位置,但也减少一定的二次性能指标函数。然后,这种反馈增益矩阵控制器的优点设计的极点配置方法和线性二次最优的方法。这种方法通过结合极位置和线性二次最优控制是命名为最优极点配置。明确这一问题,我们状态如下。
问题4。让是一套规定,和意味着。找到一个状态反馈控制器这样 和二次性能指标(2对一些人来说)是最小化和。
这个最优极点配置问题研究文献中多年(见[14- - - - - -19),在其中的引用)。现有的解决方案基本上是使用逆最优控制方法,在频域(应该解决的15,18,19]。时域的方法通常是基于优化,例如,[中给出的方法16]。然而,这种方法不能保证闭环系统的极点的确切位置。
在本文中,我们提出一个最优极点配置问题的新方法。的主要思想是使用之间的关系代数黎卡提微分方程和相应的哈密顿矩阵。然后,通过选择合适的自由参数的参数解的一类线性矩阵方程,得到的反馈增益矩阵可以同时减少一些二次性能指标和闭环系统的极点到所需的位置。该方法的优点是总结如下。(我)当杆位置规定,所有可能的权重矩阵在二次性能指标函数在理论上可以解决。不失一般性,我们假定被称为所有的其他方法。(2)对于一个给定的,相应的正定的解决方案代数黎卡提微分方程可以获得。(3)不同于其他数值方法,该方法可以给出解析解在某些情况下的代数黎卡提微分方程。记住,众所周知,代数黎卡提微分方程的解析解一般是不可用的。
2。代数黎卡提微分方程和哈密顿矩阵
考虑下面的代数黎卡提微分方程: 在哪里和给出了系统参数矩阵,是正定的,semipositive定。定义一个矩阵如下: 这被称为哈密顿矩阵的代数黎卡提微分方程(10)。
假设,哈密顿矩阵的特征值和相应的特征向量。表示相应的约旦标准型通过和定义矩阵如下: 然后,根据上述定义,我们得到的
让矩阵和与维满足以下分区: 然后,为解决代数黎卡提微分方程(10),我们可以发现有以下结论的证明(20.]。
定理5。让独特的正定解代数黎卡提微分方程(10)。然后,可以表示为。
哈密顿矩阵(11),我们记得以下结论。
引理6(见[20.])。哈密顿矩阵的特征值与关于原点对称的;也就是说,如果的特征值,然后,,所有特征值的。
3所示。主要结果
我们本文的主要结果如下。
定理7。假设是可控的。然后,问题4是可以解决的,当且仅当存在两个矩阵和这样下面的不平等是满足: 在哪里是矩阵,这样吗和满足以下线性矩阵方程: 此外,如果是一个可行的解决方案,上述两个条件,那么二次性能指标的权重矩阵(2)可以选择
证明。让
设置的任意特征值表示为约旦和相应的规范形式来标示。然后,必须存在一个特征向量矩阵这样,下面的公式是:
让根据(分区14)。然后,上述公式可以写成
基于哈密顿矩阵的关系和相关的代数黎卡提微分方程,我们知道代数黎卡提微分方程
有一个正定解当且仅当吗是可逆的,在这种情况下,解决方案可以表示为
让我们证明,下面的公式是:
通过扩大(20.),我们得到两个方程如下:
作为是可逆的,增加双方的第一个方程(24)在右边了
通过使用(22),上述方程可以简化为
因此,我们有;也就是说,(23)是满意的。
第二个方程(24),我们两边同时乘以矩阵在右边
第一个方程(24),我们得到
用(28)(27)和简化给
自非奇异的,我们知道吗正定当且仅当吗是正定;也就是说,
这是第一个条件(15)。另一方面,要求是对称正定,根据(22),相当于
乘左边和右边上面的方程,分别和给了
这是第二个条件(15)。此外,第一个方程(24)就是一个(16)。因为上面的过程是可逆的,证明已完成。
从上面的定理,我们知道,为了解决最优极点配置问题,关键的一步是解线性矩阵方程的形式(16)。如果我们将 则方程(16)可以表示为 通常称为广义西尔维斯特矩阵方程和有许多先进的应用程序在控制理论21),例如,约束控制(见,例如,22,23])和稳定的时滞系统(见,例如,24,25])。关于线性矩阵方程的解决方案(34),我们记得以下结果(26]。
定理(见[826])。让是可控的,让是一对coprime多项式矩阵等 让被扩展为 在哪里,,常数矩阵。然后,线性矩阵方程的完整解决方案(34)可以表示为 在哪里是一个任意的参数矩阵。
(33),我们让。此外,为了获得,我们需要解决以下线性矩阵方程: 在哪里和。作为不存在一般,即使是满秩的,解决方案(38)不是独一无二的。为了获得所有的解决方案,我们介绍下面的引理。
引理9(见[27])。矩阵被称为广义逆矩阵的如果它满足。如果是一个完整的行秩矩阵,矩阵方程的通用解决方案可以表示为 在哪里是一个任意的矩阵。
因为我们可以假设不失一般性是一个满列秩,以上引理的状况满意。因此,我们得到 在哪里是一个任意的矩阵,然后呢
4所示。一个数值的例子
我们考虑一个线性定常系统的特点是(1)中,,和实值约旦标准型与所需的相关特征值集合是由
解决的右互质分解令人满意的(35)给和如下: 然后,所有的解线性矩阵方程(16可以表达的 的参数矩阵, 可以任意选择。让。因此,基于引理9和(40),我们可以获得 在哪里是任意的标量。以确保是对称的,我们解下列方程: 得到以下三个方程: 在哪里,分别给出了吗
这三个方程(48)表明,实际的自由参数,可以任意选择 通过搜索区间,我们可以得到18组的解决方案如果选择步长为1.0,其中一个是由 用上面的参数和使用(17),一组对称正定解代数黎卡提微分方程可以得到如下: 此外,给出了相应的状态反馈矩阵
大量的数值计算表明,有许多解决方案和满足条件的定理7。这个额外的设计自由也可以优化来实现其他控制目标,例如,减少反馈矩阵的规范。为此,通过搜索区间以步长为0.1,可以得到一组最优解如下:
5。结论
本文考虑了最优反馈控制器的设计问题,给出了线性系统。基于属性的代数黎卡提微分方程和相应的哈密顿矩阵,最优极点配置问题转化为解决问题的一种线性矩阵方程,非线性不等式约束。通过选择适当的自由参数的参数解决这类矩阵方程,解决原可获得最优极点配置问题。以来产生的最优反馈控制律可以保证良好的瞬态性能和鲁棒性性能的闭环系统,预计该方法在工程实践中找到重要的应用。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持部分由中国国家自然科学基金批准号61203007和部分下的陕西省自然科学基金批准号2013 jm8045。作者感谢编辑和匿名评论者的有益的意见和建议在纸上,这帮助他们显著提高论文的质量。